5.3.2 极大值与极小值
课标要求
素养要求
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
通过理解函数的极值及其应用导数求极值的过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.
自主梳理
1.函数极大(小)值的概念
一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；类似地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.
函数的极大值、极小值统称为函数的极值.
2.函数的极值与导数的关系
(1)极大值与导数之间的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)>0
f′(x)＝0
f′(x)<0
f(x)
?
极大值f(x1)
?
(2)极小值与导数之间的关系
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)<0
f′(x)＝0
f′(x)>0
f(x)
?
极小值f(x2)
?
函数的极值是函数的局部性质，可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)导数为0的点一定是极值点.(×)
提示 反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
(2)函数的极大值一定大于极小值.(×)
提示 反例：如图所示：
极大值f(x1)小于极小值f(x2).
(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(×)
提示 反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.
(4)函数f(x)＝有极值.(×)
提示 可以画出其图象，也可以求导，既无极大值也无极小值.
2.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有( )
A.两个极大值，一个极小值
B.两个极大值，无极小值
C.一个极大值，一个极小值
D.一个极大值，两个极小值
答案 C
解析 由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x
0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x10，当x20，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；又当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.
3.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A.在(1，2)上函数f(x)为增函数
B.在(3，4)上函数f(x)为减函数
C.在(1，3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点
答案 D
解析 根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.
4.函数f(x)＝x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.
答案 －3
解析 f′(x)＝x2－2x－3，
令f′(x)>0，得x<－1或x>3，
令f′(x)<0得－1故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，
故f(x)的极大值为f(－1)＝，极小值为f(3)＝－3.
题型一 求函数的极值
角度1 不含参数的函数求极值
【例1】 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；
(2)f(x)＝＋3ln
x.
解 (1)∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，
∴f(x)的定义域为R，f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
f(x)
?
2
?
1
?
∴当x＝1时，f(x)有极小值，为f(1)＝1，f(x)无极大值.
(2)函数f(x)＝＋3ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
3
?
从表中可以看出，当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值.
思维升华 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
【训练1】 求函数f(x)＝x2e－x的极值.
解 函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
4e－2
?
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)取得极大值，且极大值为f(2)＝4e－2＝.
角度2 含参数的函数求极值
【例2】 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2a当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
综上，当a>时，f(x)的单调增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，单调减区间为(－2a，a－2)，f(x)的极大值为f(－2a)＝3ae－2a，f(x)的极小值为
f(a－2)＝(4－3a)ea－2；
当a<时，f(x)的单调增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，单调减区间为(a－2，－2a)，f(x)的极大值为f(a－2)＝(4－3a)ea－2，f(x)的极小值为f(2a)＝3ae－2a.
思维升华 讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2是否相等入手进行.
【训练2】 已知函数f(x)＝x－aln
x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值.
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln
x，f′(x)＝1－(x>0),
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1),
即x＋y－2＝0.
(2)f′(x)＝1－＝，x>0.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;
∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln
a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln
a，无极大值.
题型二 利用函数极值确定参数的值
【例3】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系，得
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x，x∈R，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1，1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
思维升华 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
【训练3】 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.
解 因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解之得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
题型三 极值的综合应用
【例4】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围.
解 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图.
则应有
解得－2【迁移1】 (改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
解 由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，
若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
【迁移2】 本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围.
解 由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2.故a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
思维升华 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
【训练4】 已知函数f(x)＝，且x＝是函数y＝f(x)的极值点.
(1)求实数a的值；
(2)若函数y＝f(x)－m仅有一个零点，求实数m的取值范围.
解 (1)x>0时，f(x)＝(x2－2ax)ex，
∴f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex.
由已知，得f′()＝0，
∴2＋2－2a－2a＝0，解得a＝1.
(2)由(1)，知当x>0时，f(x)＝(x2－2x)ex，f′(x)＝(x2－2)ex.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去).
∴当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，f(x)∈((2－2)e，0)，
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，f(x)∈((2－2)e，＋∞).
而当x≤0时，f(x)＝x单调递增，f(x)∈(－∞，0].
∵函数y＝f(x)－m仅有一个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m仅有一个交点，
∴m>0或m<(2－2)e，
即实数m的取值范围为(－∞，(2－2)e)∪(0，＋∞).
1.牢记2个知识点
(1)极值的概念.
(2)极值与导数的关系.
2.掌握2种方法
(1)求极值的方法.
(2)已知极值求函数解析式的方法.
3.注意1个易错点
对极值的充要条件把握不准致错.
一、选择题
1.下列函数中存在极值的是( )
A.y＝
B.y＝x－ex
C.y＝2
D.y＝x3
答案 B
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，
令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；
在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点.
2.(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A.－3是f(x)的一个极小值点
B.－2和－1都是f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)
答案 ACD
解析 当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD.
3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是( )
A.(0，4)
B.[0，4)
C.[1，4)
D.(1，4)
答案 A
解析 f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.
4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的单调增区间是(－2，0)，(2，＋∞)
B.函数f(x)的单调增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)
C.x＝－2是函数的极小值点
D.x＝2是函数的极小值点
答案 BD
解析 由题意，当02，f′(x)>0；当－20；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.
5.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，0)
B.(0，1)
C.(－∞，－1)
D.(1，＋∞)
答案 B
解析 由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意.
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln
a，
∴当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln
a为f(x)的极值点，∴ln
a<0，∴a∈(0，1).故选B.
二、填空题
6.函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为a＝________，b＝________.
答案 1 －3
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋b，又当x＝1时有极值－2，
∵f′(1)＝3a＋b＝0，①
a＋b＝－2，②
联立①②，解得
7.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
8.函数f(x)＝ax－1－ln
x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________.
答案 0
解析 因为x>0，f′(x)＝a－＝，
所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.
三、解答题
9.求函数f(x)＝－2的极值.
解 函数的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
－3
?
－1
?
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln
x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
解 (1)∵f(x)＝aln
x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：
f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解得，a＝－，b＝－.
(2)x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点，理由如下：
由(1)可知f(x)＝－ln
x－x2＋x，
且其定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；
当x∈(1，2)时，f′(x)>0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，
x＝2是函数f(x)的极大值点.
11.设函数f(x)＝ex(sin
x－cos
x)(0≤x≤4π)，则函数f(x)的所有极大值之和为( )
A.e4π
B.eπ＋e2π
C.eπ－e3π
D.eπ＋e3π
答案 D
解析 ∵函数f(x)＝ex(sin
x－cos
x)，0≤x≤4π，
∴f′(x)＝(ex)′(sin
x－cos
x)＋ex(sin
x－cos
x)′＝2exsin
x.
∴当x∈(2kπ，2kπ＋π)，k∈{0，1}时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(2kπ＋π，2kπ＋2π)，k∈{0，1}时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.
∴当x＝2kπ＋π，k∈{0，1}时，f(x)取得极大值，且极大值为f(2kπ＋π)＝e2kπ＋π[sin(2kπ＋π)－cos(2kπ＋π)]＝e2kπ＋π×[0－(－1)]＝e2kπ＋π.
又∵0≤x≤4π，
∴函数f(x)的各极大值之和为eπ＋e3π.
12.若函数f(x)＝ex(x－aex)恰有两个极值点x1，x2(x1答案
解析 ∵函数f(x)＝ex(x－aex)，∴f′(x)＝(x＋1－2aex)ex.
∵函数f(x)恰有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不相等的实数根.
令x＋1－2aex＝0，可知a≠0，∴＝ex.
设y1＝(a≠0)，y2＝ex，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.
要使这两个函数图象有两个不同的交点，应满足>1，解得013.已知函数f(x)＝x2＋aln
x.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方.
(1)解 易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，
因此函数f(x)在(0，1)上是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
因此函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数.
故x＝1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x＝1处取得极小值.
(2)证明 设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln
x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝＝.
显然由2x2＋x＋1＝2＋及x>0可知，
当x>1时，F′(x)<0，故F(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，
又F(1)＝－<0，所以在区间[1，＋∞)上，F(x)≤F(1)<0，即F(x)<0恒成立，
即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方.
14.(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )
A.a＝－3，b＝2
B.a＝－3，b＝－3
C.a＝－3，b>2
D.a＝1，b＝2
答案 BCD
解析 记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.
当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)＝0必有一实根，D项满足题意；
当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.
此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，
故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，
只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
则b<－2或b>2，B，C项满足.故选BCD.(共60张PPT)
5.3.2 极大值与极小值
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
课标要求
素养要求
通过理解函数的极值及其应用导数求极值的过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.函数极大(小)值的概念
一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有___________，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；类似地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有____________，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.
函数的极大值、极小值统称为函数的_______.
f(x)≤f(x1)
f(x)≥f(x2)
极值
2.函数的极值与导数的关系
(1)极大值与导数之间的关系
>
＝
<
(2)极小值与导数之间的关系
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)____
0
f′(x)___
0
f′(x)____
0
f(x)
极小值f(x2)
<
＝
>
点睛
1.思考辨析，判断正误
×
(1)导数为0的点一定是极值点.(
)
提示 反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
(2)函数的极大值一定大于极小值.(
)
×
提示 反例：如图所示：
极大值f(x1)小于极小值f(x2).
(3)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(
)
提示 反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.
×
×
提示 可以画出其图象，也可以求导，既无极大值也无极小值.
2.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有( )
C
A.两个极大值，一个极小值
B.两个极大值，无极小值
C.一个极大值，一个极小值
D.一个极大值，两个极小值
解析 由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x0，
所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x10，当x20，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；又当x>x3时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.
3.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A.在(1，2)上函数f(x)为增函数
B.在(3，4)上函数f(x)为减函数
C.在(1，3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点
D
解析 根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.
－3
解析 f′(x)＝x2－2x－3，
令f′(x)>0，得x<－1或x>3，
令f′(x)<0得－1故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求函数的极值
角度1 不含参数的函数求极值
【例1】 求下列函数的极值：
解 (1)∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，
∴f(x)的定义域为R，f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
f(x)
2
1
∴当x＝1时，f(x)有极小值，为f(1)＝1，f(x)无极大值.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
3
从表中可以看出，当x＝1时，函数f(x)有极小值，为f(1)＝3，f(x)无极大值.
求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.
思维升华
【训练1】 求函数f(x)＝x2e－x的极值.
解 函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
4e－2
因此当x＝0时，f(x)取得极小值，且极小值为f(0)＝0；
角度2 含参数的函数求极值
解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
单调减区间为(－2a，a－2)，f(x)的极大值为f(－2a)＝3ae－2a，f(x)的极小值为
f(a－2)＝(4－3a)ea－2；
单调减区间为(a－2，－2a)，f(x)的极大值为f(a－2)＝(4－3a)ea－2，f(x)的极小值为f(2a)＝3ae－2a.
讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2是否相等入手进行.
思维升华
【训练2】 已知函数f(x)＝x－aln
x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1),
即x＋y－2＝0.
(2)求函数f(x)的极值.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;
∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln
a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，
函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln
a，无极大值.
题型二 利用函数极值确定参数的值
【例3】 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1，1)上是减函数，
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
思维升华
【训练3】 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.
解 因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
【例4】 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围.
题型三 极值的综合应用
解 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图.
解得－2【迁移1】 (改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
解 由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，
若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
【迁移2】 本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围.
解 由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2.故a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
思维升华
(1)求实数a的值；
解 x>0时，f(x)＝(x2－2ax)ex，
∴f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex.
(2)若函数y＝f(x)－m仅有一个零点，求实数m的取值范围.
解
由(1)，知当x>0时，f(x)＝(x2－2x)ex，f′(x)＝(x2－2)ex.
而当x≤0时，f(x)＝x单调递增，f(x)∈(－∞，0].
∵函数y＝f(x)－m仅有一个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝m仅有一个交点，
1.牢记2个知识点
(1)极值的概念.
(2)极值与导数的关系.
2.掌握2种方法
(1)求极值的方法.
(2)已知极值求函数解析式的方法.
3.注意1个易错点
对极值的充要条件把握不准致错.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.下列函数中存在极值的是( )
B
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，
令y′＝0，得x＝0.
在区间(－∞，0)上，y′>0；
在区间(0，＋∞)上，y′<0.
故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点.
2.(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所
示，以下结论正确的是(
)
ACD
A.－3是f(x)的一个极小值点
B.－2和－1都是f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)
解析 当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，
∴－3是极小值点，无极大值点，
增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD.
3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是( )
A.(0，4)
B.[0，4)
C.[1，4)
D.(1，4)
A
解析 f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.
又∵f(x)在(－1，2)内有极值，
∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，
∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.
4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是( )
BD
A.函数f(x)的单调增区间是(－2，0)，(2，＋∞)
B.函数f(x)的单调增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)
C.x＝－2是函数的极小值点
D.x＝2是函数的极小值点
解析 由题意当02，f′(x)>0；当－20；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.
5.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是( )
A.(－1，0)
B.(0，1)
C.(－∞，－1)
D.(1，＋∞)
B
解析 由题意知f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意.
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln
a，
∴当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)>0.
可知x＝ln
a为f(x)的极值点，∴ln
a<0，∴a∈(0，1).故选B.
二、填空题
6.函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为a＝________，b＝________.
1
－3
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋b，又当x＝1时有极值－2，
∵f′(1)＝3a＋b＝0，①
a＋b＝－2，②
7.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_____________________________.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，
∵函数f(x)有极大值和极小值，
∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，
即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
8.函数f(x)＝ax－1－ln
x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________.
0
所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.
三、解答题
令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－3
－1
由上表可以看出：
当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln
x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
解
∵f(x)＝aln
x＋bx2＋x，
由极值点的必要条件可知：
f′(1)＝f′(2)＝0，
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
解
x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点，理由如下：
且其定义域是(0，＋∞)，
当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；
当x∈(1，2)时，f′(x)>0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，
x＝2是函数f(x)的极大值点.
11.设函数f(x)＝ex(sin
x－cos
x)(0≤x≤4π)，则函数f(x)的所有极大值之和为( )
A.e4π
B.eπ＋e2π
C.eπ－e3π
D.eπ＋e3π
D
解析 ∵函数f(x)＝ex(sin
x－cos
x)，0≤x≤4π，
∴f′(x)＝(ex)′(sin
x－cos
x)＋ex(sin
x－cos
x)′＝2exsin
x.
∴当x∈(2kπ，2kπ＋π)，k∈{0，1}时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(2kπ＋π，2kπ＋2π)，k∈{0，1}时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减.
∴当x＝2kπ＋π，k∈{0，1}时，f(x)取得极大值，且极大值为f(2kπ＋π)＝e2kπ＋π[sin(2kπ＋π)－cos(2kπ＋π)]＝e2kπ＋π×[0－(－1)]＝e2kπ＋π.
又∵0≤x≤4π，
∴函数f(x)的各极大值之和为eπ＋e3π.
12.若函数f(x)＝ex(x－aex)恰有两个极值点x1，x2(x1________.
解析 ∵函数f(x)＝ex(x－aex)，∴f′(x)＝(x＋1－2aex)ex.
∵函数f(x)恰有两个极值点x1，x2，
∴x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不相等的实数根.
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在(0，1)上是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数.
因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方.
14.(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是(
)
A.a＝－3，b＝2
B.a＝－3，b＝－3
C.a＝－3，b>2
D.a＝1，b＝2
BCD
解析 记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.
当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)＝0必有一实根，D项满足题意；
当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.
此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，
故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，
只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
则b<－2或b>2，B，C项满足.故选BCD.
本节内容结束