培优课 导数方法研究恒成立、能成立问题
恒(能)成立问题的转化策略：
若f(x)在区间D上有最值，则
(1)恒成立：?x∈D，f(x)>0?f(x)min>0；
?x∈D，f(x)<0?f(x)max<0.
(2)能成立：?x∈D，f(x)>0?f(x)max>0；
?x∈D，f(x)<0?f(x)min<0.
恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同.
类型一 不等式恒成立求参数的值(取值范围)
【例1】 已知函数f(x)＝(x≠0).
(1)判断函数f(x)在区间上的单调性；
(2)若f(x)
解 (1)f′(x)＝，
令g(x)＝xcos
x－sin
x，x∈，
则g′(x)＝－xsin
x，
显然，当x∈时，g′(x)＝－xsin
x<0，故函数g(x)在区间上单调递减，又g(0)＝0.
从而g(x)在区间上恒小于零，
所以f′(x)在区间上恒小于零，
所以函数f(x)在区间上单调递减.
(2)不等式f(x)即sin
x－ax<0恒成立.
令φ(x)＝sin
x－ax，x∈，
则φ′(x)＝cos
x－a，且φ(0)＝0.
当a≥1时，在区间上φ′(x)<0，即函数φ(x)单调递减，
所以φ(x)<φ(0)＝0，故sin
x－ax<0恒成立.
当0x－a＝0在区间上存在唯一解x0，
当x∈(0，x0)时，φ′(x)>0，故φ(x)在区间(0，x0)上单调递增，且φ(0)＝0，
从而φ(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sin
x－ax<0恒成立相矛盾.
当a≤0时，在区间上φ′(x)>0，即函数φ(x)单调递增，又φ(0)＝0，故sin
x－ax>0恒成立，这与sin
x－ax<0恒成立相矛盾.
故实数a的最小值为1.
思维升华 1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.
2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围.
类型二 不等式能成立求参数的值(取值范围)
【例2】 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln
x(a∈R).
(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)函数g(x)＝(1－a)x，若?x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.
解 (1)f′(x)＝，当导函数f′(x)的零点x＝a落在区间(1，2)内时，函数f(x)在区间[1，2]上就不是单调函数，即a?(1，2)，
所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).
(2)由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，
即x2－2x＋a(ln
x－x)≥0在区间[1，e]上有解.
因为当x∈[1，e]时，ln
x≤1≤x(不同时取等号)，x－ln
x>0，
所以a≤在区间[1，e]上有解.
令h(x)＝，则h′(x)＝.
因为x∈[1，e]，所以x＋2>2≥2ln
x，
所以h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上单调递增，
所以x∈[1，e]时，h(x)max＝h(e)＝，
所以a≤，
所以实数a的取值范围是.
思维升华 1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法
a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；
a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.
2.含全称、存在量词不等式能成立问题
(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；
(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
尝试训练
1.已知函数f(x)＝.
(1)若函数f(x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围.
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＝－，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，
所以0故(2)由题意知当x≥1时，k≤恒成立.
令g(x)＝(x≥1)，
则g′(x)＝＝，
再令h(x)＝x－ln
x(x≥1)，
则h′(x)＝1－≥0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，
所以g(x)在[1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)≥g(1)＝2，
故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2].
2.已知函数f(x)＝m－2ln
x(m∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)解 依题意，不等式f(x)∴mx<2ln
x在区间[1，e]上有解，
即<能成立.
令h(x)＝，x∈[1，e]，
则h′(x)＝.
当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上是增函数，
∴h(x)的最大值为h(e)＝.
由题意<，即m<时，f(x)∴实数m的取值范围是.(共16张PPT)
培优课 导数方法研究恒成立、能成立问题
恒(能)成立问题的转化策略：
若f(x)在区间D上有最值，则
(1)恒成立：?x∈D，f(x)>0?f(x)min>0；
?x∈D，f(x)<0?f(x)max<0.
(2)能成立：?x∈D，f(x)>0?f(x)max>0；
?x∈D，f(x)<0?f(x)min<0.
恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同.
类型一 不等式恒成立求参数的值(取值范围)
即sin
x－ax<0恒成立.
当x∈(0，x0)时，φ′(x)>0，故φ(x)在区间(0，x0)上单调递增，且φ(0)＝0，
从而φ(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sin
x－ax<0恒成立相矛盾.
即函数φ(x)单调递增，又φ(0)＝0，故sin
x－ax>0恒成立，这与sin
x－ax<0恒成立相矛盾.
故实数a的最小值为1.
1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.
2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围.
思维升华
【例2】 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln
x(a∈R).
类型二 不等式能成立求参数的值(取值范围)
(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
当导函数f′(x)的零点x＝a落在区间(1，2)内时，
函数f(x)在区间[1，2]上就不是单调函数，即a?(1，2)，
所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).
(2)函数g(x)＝(1－a)x，若?x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.
解 由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，
即x2－2x＋a(ln
x－x)≥0在区间[1，e]上有解.
因为当x∈[1，e]时，ln
x≤1≤x(不同时取等号)，x－ln
x>0，
因为x∈[1，e]，所以x＋2>2≥2ln
x，
所以h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上单调递增，
1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法
a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；
a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.
2.含全称、存在量词不等式能成立问题
(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；
(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
思维升华
尝试训练
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，
解
由题意知当x≥1时，
所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，
所以g(x)在[1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)≥g(1)＝2，
故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2].
解 依题意，不等式f(x)∴mx<2ln
x在区间[1，e]上有解，
当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上是增函数，
本节内容结束