5.3.3 最大值与最小值
第一课时 函数的最大(小)值
课标要求
素养要求
1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与函数单调性、极值、最大(小)值的关系.
通过解决函数的最大(小)值问题，提升学生的数学运算和直观想象素养.
自主梳理
1.函数的最大值与最小值.
(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.
函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值唯一.
2.利用导数求函数的最值
求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.
极值与最值的区别和联系
(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.
(2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性.
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.(√)
(2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(×)
提示 也可能在极值点处取到.
(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(×)
提示
有极值的函数不一定有最值，如图所示，函数f(x)有极值，但没有最值.
(4)函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.(√)
2.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
3.连续函数y＝f(x)在[a，b]上( )
A.极大值一定比极小值大
B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值
D.最大值一定大于极小值
答案 D
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.
4.函数f(x)＝x3－x2－3x＋6在[－4，4]上的最大值为________，最小值为________.
答案 －
解析 f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，得x<－1或x>3；令f′(x)<0，得－1
题型一 求函数的最值
【例1】 求下列各函数的最值.
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；
(2)f(x)＝x＋sin
x，x∈[0，2π].
解 (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上为增函数.故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
(2)f′(x)＝＋cos
x，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝，
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，
f＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
思维升华 求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
【训练1】 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数.
解 (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
－2
(－2，0)
0
(0，2)
2
(2，4)
4
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－37
↗
极大值3
↘
极小值－5
↗
35
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数.
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.
题型二 含参数的函数的最值问题
【例2】 已知f(x)＝ax－ln
x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－ln
x，f′(x)＝1－＝，
∴所求切线的斜率为f′(2)＝，切点为(2，2－ln
2)，
∴所求切线的方程为y－(2－ln
2)＝(x－2)，即x－2y＋2－2ln
2＝0.
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln
x，x∈(0，e]有最小值3.
f′(x)＝a－＝.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝(舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a；
②当0<时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝f＝1＋ln
a＝3，解得a＝e2，满足条件；
③当≥e，即0综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.
思维升华 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
【训练2】 已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值.
解 f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
(1)当≤0，即a≤0时，
f(x)在[0，2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
(2)当≥2，即a≥3时，
f(x)在[0，2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
(3)当0<<2，即0从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
题型三 由函数的最值求参数问题
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.
∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
(1)当a>0时，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗?
b
↘?
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.
∴f(0)＝3，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，∴b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
思维升华 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
【训练3】 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求实数k的取值范围.
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
?↗
28
?↘
－4
?↗
当x＝－3时，f(x)取极大值28；
当x＝1时，f(x)取极小值－4.
而h(2)＝3所以k的取值范围为(－∞，－3].
1.牢记2个知识点
(1)函数的最大值与最小值.
(2)利用导数求函数的最值.
2.牢记2种方法
(1)求最值的方法.
(2)分类讨论的思想方法.
3.注意1个易错点
混淆极值与最值致误.
一、选择题
1.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A.f(a)－g(a)
B.f(b)－g(b)
C.f(a)－g(b)
D.f(b)－g(a)
答案 A
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).
2.若函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则实数a的取值范围是( )
A.[0，1)
B.(0，1)
C.(－1，1)
D.
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，
又∵x∈(0，1)，∴03.函数f(x)＝x＋2cos
x在区间上的最小值是( )
A.－
B.2
C.＋
D.＋1
答案 A
解析 f′(x)＝1－2sin
x，因为x∈，
所以sin
x∈[－1，0]，所以－2sin
x∈[0，2].
所以f′(x)＝1－2sin
x＞0在上恒成立.
所以f(x)在上单调递增.
所以f(x)min＝－＋2cos＝－.
4.(多选题)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A.f(x)>0的解集是{x|0B.f(－)是极小值，f()是极大值
C.f(x)没有最小值，也没有最大值
D.f(x)有最大值，无最小值
答案 ABD
解析 由f(x)>0得0f′(x)＝(2－x2)ex，
令f′(x)＝0，得x＝±，
当x<－或x>时，f′(x)<0，
当－0，
∴当x＝－时，f(x)取得极小值，
当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确；
当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0，且f()>0，
结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值，无最小值，故C不正确，D正确.
5.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1
B.
C.
D.
答案 D
解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln
t(t>0).
y′＝2t－＝＝.
当0＜t＜时，y′＜0，可知y在上单调递减；
当t＞时，y′＞0，可知y在上单调递增.
故当t＝时，|MN|有最小值.
二、填空题
6.设函数f(x)＝，x∈[1，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________.
答案 0
解析 由f(x)＝得f′(x)＝，
令f′(x)>0，则1－ln
x>0，解得0令f′(x)<0，则1－ln
x<0，解得x>e.
∴函数f(x)在[1，e]上单调递增，在[e，4]上单调递减，
且f(1)＝0，f(4)＝>0，∴f(x)的最大值为f(e)＝＝，f(x)的最小值为f(1)＝0.
7.已知函数f(x)＝－x2＋mx＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f(x)的极大值，则实数m的取值范围是________.
答案 (－4，－2)
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题意得∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2).
8.已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则函数f(x)图象在点(1，f(1))处的切线方程是________.
答案 15x－3y－2＝0
解析 ∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
又f(1)＝－＋2＋3＝，
∴所求切线方程为y－＝5(x－1).
即15x－3y－2＝0.
三、解答题
9.已知函数f(x)＝aln
x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在上的最大值.
解 (1)f′(x)＝－2bx(x>0).
由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
得即解得
(2)由(1)，得f(x)＝ln
x－x2，定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝－x＝.
令f′(x)>0，得01，
所以f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在上的最大值为f(1)＝－.
10.已知函数f(x)＝2ex(x＋1).
(1)求函数f(x)的极值；
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值.
解 (1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝2ex(x＋2)，
由f′(x)>0，得x>－2；由f′(x)<0，得x<－2.
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值.
(2)由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.
∵t>－3，∴t＋1>－2.
①当－3∴f(x)min＝f(－2)＝－2e－2.
②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)，
∴f(x)min＝
11.(多选题)已知函数f(x)＝x3－4x＋2，下列说法中正确的有( )
A.函数f(x)的极大值为，极小值为－
B.当x∈[3，4]时，函数f(x)的最大值为，最小值为－
C.函数f(x)的单调递减区间为[－2，2]
D.曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线的方程为y＝－4x＋2
答案 ACD
解析 f(x)定义域为R，f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，
所以f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，
在[－2，2]上单调递减，故C正确；
f(x)极大值＝f(－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋2＝，
f(x)极小值＝f(2)＝×23－4×2＋2＝－，故A正确；
f(3)＝×33－4×3＋2＝－1，
f(4)＝×43－4×4＋2＝，
所以当x∈[3，4]时，f(x)的最大值为，最小值为－1，故B不正确；f′(0)＝－4，曲线在点(0，2)处的切线的方程为y－2＝－4(x－0)，
即y＝－4x＋2，故D正确.
12.已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln
x－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为________.
答案 1
解析 由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1.
当x∈(0，2)时，令f′(x)＝－a＝0，得x＝.
∵a>，∴0<<2，
∴当00；
当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f＝－ln
a－1＝－1.
解得a＝1.
13.已知函数f(x)＝ln
x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值.
解 函数f(x)＝ln
x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增.
∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间.
(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝a≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当10，f(x)单调递增，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln
a＋1，由ln
a＋1＝，得a＝.
③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋≥2，与最小值是相矛盾.
综上所述，a的值为.
14.(多选题)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－eD.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
答案 ABC
解析 A.令f(x)＝0，解得x＝，所以A正确；
B.f′(x)＝－＝－，
当f′(x)>0时，－1当f′(x)<0时，x<－1或x>2，
所以(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1，2)是函数的单调递增区间，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；
C.当x→＋∞时，y→0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知
，当－eD.由图象可知，t的最大值是2，所以不正确.故选ABC.(共52张PPT)
5.3.3 最大值与最小值
第一课时 函数的最大(小)值
1.能利用导数求某些函数的在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
2.体会导数与函数单调性、极值、最大(小)值的关系.
课标要求
素养要求
通过解决函数的最大(小)值问题，提升学生的数学运算和直观想象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.函数的最大值与最小值.
(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)___
f(x0)，那么称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.
(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)___
f(x0)，那么称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.
函数的最大(小)值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大(小)值，那么函数的最大(小)值_____.
≤
≥
唯一
2.利用导数求函数的最值
求可导函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f(x)在区间(a，b)上的______；
(2)将第一步中求得的____与_____，_____比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.
极值
极值
f(a)
f(b)
点睛
1.思考辨析，判断正误
√
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.(
)
(2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(
)
提示 也可能在极值点处取到.
(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(
)
×
×
提示
有极值的函数不一定有最值，如图所示，函数f(x)有极值，但没有最值.
(4)函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.(
)
√
2.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值
D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
3.连续函数y＝f(x)在[a，b]上( )
A.极大值一定比极小值大
B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值
D.最大值一定大于极小值
解析 由函数的最值与极值的概念可知，
y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值.
D
解析 f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，得x<－1或x>3；令f′(x)<0，得－1故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求函数的最值
【例1】 求下列各函数的最值.
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；
解 f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1，1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1，1]上为增函数.故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
求解函数在定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
思维升华
【训练1】 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；
解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
－2
(－2，0)
0
(0，2)
2
(2，4)
4
f′(x)
?
＋
0
－
0
＋
?
f(x)
－37
↗
极大值3
↘
极小值－5
↗
35
∴当x＝4时，f(x)取最大值35.
当x＝－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数.
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数.
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
即f(x)的最小值为e－a－ea，最大值为0.
【例2】 已知f(x)＝ax－ln
x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
题型二 含参数的函数的最值问题
对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
思维升华
【训练2】 已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值.
解 f′(x)＝3x2－2ax.
f(x)在[0，2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
f(x)在[0，2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
【例3】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]时，f(x)的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
题型三 由函数的最值求参数问题
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数，与题设矛盾.
∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
(1)当a>0时，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由表可知，当x＝0时，f(x)取得最大值.
∴f(0)＝3，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
?
＋
0
－
?
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－29，
∴b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，
∴a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
思维升华
【训练3】 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，求实数k的取值范围.
解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3，1)
1
(1，＋∞)
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
当x＝－3时，f(x)取极大值28；
当x＝1时，f(x)取极小值－4.
而h(2)＝3所以k的取值范围为(－∞，－3].
1.牢记2个知识点
(1)函数的最大值与最小值.
(2)利用导数求函数的最值.
2.牢记2种方法
(1)求最值的方法.
(2)分类讨论的思想方法.
3.注意1个易错点
混淆极值与最值致误.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A.f(a)－g(a)
B.f(b)－g(b)
C.f(a)－g(b)
D.f(b)－g(a)
A
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).
2.若函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则实数a的取值范围是( )
B
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，
又∵x∈(0，1)，∴0A
4.(多选题)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是(
)
ABD
5.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
D
解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln
t(t>0).
0
令f′(x)>0，则1－ln
x>0，解得0令f′(x)<0，则1－ln
x<0，解得x>e.
∴函数f(x)在[1，e]上单调递增，在[e，4]上单调递减，
7.已知函数f(x)＝－x2＋mx＋1在区间(－2，－1)上的最大值就是函数f(x)的极大值，则实数m的取值范围是____________.
(－4，－2)
15x－3y－2＝0
解析 ∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，
∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.
∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5.
10.已知函数f(x)＝2ex(x＋1).
(1)求函数f(x)的极值；
解 f(x)的定义域为R，f′(x)＝2ex(x＋2)，
由f′(x)>0，得x>－2；由f′(x)<0，得x<－2.
∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值.
(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值.
解
由(1)，知f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减.
∵t>－3，∴t＋1>－2.
①当－3∴f(x)min＝f(－2)＝－2e－2.
②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)，
ACD
解析 f(x)定义域为R，f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，
所以f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，
最小值为－1，故B不正确；f′(0)＝－4，
曲线在点(0，2)处的切线的方程为y－2＝－4(x－0)，
即y＝－4x＋2，故D正确.
1
解析 由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为－1.
∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增.
∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间.
ABC
当f′(x)>0时，－1当f′(x)<0时，x<－1或x>2，
所以(－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1，2)是函数的单调递增区间，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；
C.当x→＋∞时，y→0，根据B可知，函数的最
小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知
，
当－e所以C正确；
D.由图象可知，t的最大值是2，所以不正确.故选ABC.
本节内容结束(共56张PPT)
第二课时 导数在实际中的应用
能审清题意，正确建立函数关系式，应用导数解决实际问题.
课标要求
素养要求
1.通过分析实际生活问题，建立数学模型，培养数学建模素养.
2.通过利用导数解决问题，提升数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.导数的实际应用
导数在实际生活中有着广泛的应用，如________、__________、_________等问题一般可以归结为函数的________问题，从而可用导数来解决.
2.用导数解决实际生活问题的基本思路
用料最省
利润最大
效率最高
最值
1.思考辨析，判断正误
√
(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域.(
)
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去.(
)
√
√
×
B
A.7万件
B.9万件
C.11万件
D.13万件
解析 设y＝f(x)，
故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).
当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；
当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减.
因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值.
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
3.做一个容积为256
m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为________m.
解析 设底面边长为x
m，高为h
m，则有x2h＝256，
4
115
4.某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大.
解析 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6
000，
S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 面积、体积的最值问题
【例1】 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是
边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分
所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚
线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图
中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
解 设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值.
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
1.解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.
2.解决导数在实际应用时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.
思维升华
【训练1】 将一张2×6
m
的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且其中①与③，②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x
m，容积为y
m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
解 由水箱的高为x
m，
故水箱的容积为y＝(3－x)(2－2x)x＝2x3－8x2＋6x(0(2)x取何值时，水箱的容积最大？
解
由y′＝6x2－16x＋6＝0，
【例2】 位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，
如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器
设在输电干线何处时，所需电线总长最短.
题型二 用料最省、成本(费用)最低问题
解得x＝1.2或x＝－6(舍去).
因为在[0，3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，
所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，
即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2
km处时，所需电线总长最短.
用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
思维升华
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80.
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，
题型三 利润最大、效率最高问题
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值42
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.
思维升华
(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
解 由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，
又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.
当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3
500x2＋7
500x－4
200，
f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴x＝5.3时f(x)有最大值1
840，
∵1
800＜1
840，∴当x＝5.3时f(x)有最大值1
840，
即当销售价格为5.3元/千克时，使店铺所获利润最大.
1.掌握1种素养
在解决实际问题的数学建模过程中，一定要认真读题、审题，分析各个量之间的关系，恰当设出变量.
2.注意1个易错点
在解决问题的过程中一定要注意自变量的实际意义及范围.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
D
2.某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x－35，则该生产厂家获取的最大年利润为( )
A.16万元
B.18万元
C.19万元
D.21万元
C
解析 由题意，y′＝－3x2＋27，
当00，函数单调递增；
当x>3时，y′<0，函数单调递减，
所以当x＝3时，y有最大值，此时最大值为19万元，故选C.
3.现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为t，若要使其体积最大，则其高为( )
B
4.欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖)，为能使所用的材料最省，它的底面半径应为( )
C
B
A.9千台
B.8千台
C.7千台
D.6千台1
令y′＝0，解得x＝8.
当00，当x>8时，y′<0.
∴当x＝8时，y取得最大值，故为使利润最大，应生产8千台.故选B.
25
其中k为比例系数.
因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250
000.
令y′＝0，得x＝25.
故当0＜x＜25时，y′＞0，当x＞25时，y′＜0，
所以，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值.
7.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30
n
mile/h，当速度为10
n
mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲、乙两地相距800
n
mile，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________n
mile/h.
20
解析 设从甲地到乙地海轮的航速为v
n
mile/h，燃料费为y元/h，总费用为f(x)元.
由题意设y与v满足的关系式为y＝av3(0≤v≤30)，
由题意得25＝a·103，
当0当200.
∴当v＝20时，f(x)最小，
即当总费用最低时，海轮的航速为20
n
mile/h.
8.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线
上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________.
三、解答题
9.如图，某城市有一块半径为40
m的半圆形绿化区域(以O为圆心，AB为直径)，现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD＝80
m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S
m2.设∠AOC＝x
rad.
(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值.
10.某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数y＝f(x).
解 设若商品每件降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件，
得k·22＝24，解得k＝6.
则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0，21].
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解 由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，2)
2
(2，12)
12
(12，21)
21
f′(x)
?
－
0
＋
0
－
?
f(x)
9
072
8
664
11
664
0
所以当x＝12时，f(x)取得极大值.因为f(0)＝9
072，f(12)＝11
664，f(21)＝0，
所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.
11.若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( )
A
的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于半
球O，则该圆柱体积的最大值为________.
2π
解析 如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，高为h，
则h2＋r2＝R2＝3，
则V′(h)＝π(3－3h2).
令V′(h)＝0，解得h＝1(h＝－1舍去)，
当h∈(0，1)时，V′(h)>0，V(h)单调递增；
所以当h＝1时，V(h)取得极大值，也是最大值，为V(1)＝2π.
(1)求函数t＝g(x)及y＝f(x)的解析式；
(2)求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，80)
80
(80，120)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值11.25
所以，当x＝80时，y取得极小值也是最小值11.25.
故当汽车的行驶速度为80
km/h时，耗油量最少为11.25
L.
本节内容结束第二课时 导数在实际中的应用
课标要求
素养要求
能审清题意，正确建立函数关系式，应用导数解决实际问题.
1.通过分析实际生活问题，建立数学模型，培养数学建模素养.2.通过利用导数解决问题，提升数学运算素养.
自主梳理
1.导数的实际应用
导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.
2.用导数解决实际生活问题的基本思路
自主检验
1.正误辨析
(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域.(√)
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去.(√)
(3)如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值为π.(√)
(4)若底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，则当底面边长为时，其表面积最小.(×)
提示 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0).∴S′＝(x3－4V).令S′＝0，得x＝.
∴x＝是函数S在(0，＋∞)上的一个极值点，且是S的最小值点.
2.已知某生产厂家的年利润y(单位：
万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.7万件
B.9万件
C.11万件
D.13万件
答案 B
解析 设y＝f(x)，
即f(x)＝－x3＋81x－234.
故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，
解得x＝9或x＝－9(舍去).
当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；
当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减.
因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值.
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
3.做一个容积为256
m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为________m.
答案 4
解析 设底面边长为x
m，高为h
m，则有x2h＝256，
所以h＝.
所用材料的面积设为S
m2，
则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.
S′＝2x－，
令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m).
4.某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大.
答案 115
解析 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6
000，
S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大.
题型一 面积、体积的最值问题
【例1】 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm).
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解 设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值.
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)(0V′＝6x(20－x).
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值.
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
思维升华 1.解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.
2.解决导数在实际应用时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.
【训练1】 将一张2×6
m
的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且其中①与③，②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为x
m，容积为y
m3.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)x取何值时，水箱的容积最大？
解 (1)由水箱的高为x
m，
得水箱底面的宽为(2－2x)
m，长为＝(3－x)
m.
故水箱的容积为y＝(3－x)(2－2x)x＝2x3－8x2＋6x(0(2)由y′＝6x2－16x＋6＝0，
解得x＝(舍去)或x＝.
因为y＝2x3－8x2＋6x(0所以当x的值为时，水箱的容积最大.
题型二 用料最省、成本(费用)最低问题
【例2】 位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短.
解 设CD＝x
km，则CE＝(3－x)km.
则所需电线总长
l＝AC＋BC＝＋(0≤x≤3)，
从而l′＝－.
令l′＝0，即－＝0，
解得x＝1.2或x＝－6(舍去).
因为在[0，3]上使l′＝0的点只有x＝1.2，
所以根据实际意义，知x＝1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为1.2
km处时，所需电线总长最短.
思维升华 用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
【训练2】 甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.
解 (1)Q＝P·
＝·
＝－v2＋6
000(0(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80.
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q(80)＝(元).
题型三 利润最大、效率最高问题
【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
思维升华 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.
【训练3】 某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克.
(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大.(≈2.65)
解 (1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，
又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
∴y＝
(2)由题意：f(x)＝y(x－1)
＝
当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3
500x2＋7
500x－4
200，
f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴由f′(x)<0，得＜x＜3，
由f′(x)>0，得1∴f(x)在，(3，4)上单调递增，在上单调递减，
∵f＝＋300＜f(4)＝1
800，
∴当x＝4时f(x)有最大值f(4)＝1
800.
当4＜x≤12时，
f(x)＝(x－1)＝2
900－100x－≤
2
900－400≈1
840，
当且仅当100x＝，即x＝2≈5.3时取等号，
∴x＝5.3时f(x)有最大值1
840，
∵1
800＜1
840，
∴当x＝5.3时f(x)有最大值1
840，即当销售价格为5.3元/千克时，使店铺所获利润最大.
1.掌握1种素养
在解决实际问题的数学建模过程中，一定要认真读题、审题，分析各个量之间的关系，恰当设出变量.
2.注意1个易错点
在解决问题的过程中一定要注意自变量的实际意义及范围.
一、选择题
1.把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.
cm2
B.4
cm2
C.3
cm2
D.2
cm2
答案 D
解析 设两段长分别为x
cm，(12－x)cm，其中0cm，
cm，面积之和S(x)＝
＝，则S′(x)＝.
令S′(x)＝0，解得x＝6.
当00.
则x＝6是S(x)的极小值点，也是最小值点，所以S(x)min＝S(6)＝2(cm2).
2.某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x－35，则该生产厂家获取的最大年利润为( )
A.16万元
B.18万元
C.19万元
D.21万元
答案 C
解析 由题意，y′＝－3x2＋27，
当00，函数单调递增；
当x>3时，y′<0，函数单调递减，
所以当x＝3时，y有最大值，此时最大值为19万元，故选C.
3.现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为t，若要使其体积最大，则其高为( )
A.t2
B.t
C.t
D.t
答案 B
解析 设圆锥形漏斗的高为h，则圆锥的底面半径为(0圆锥的体积V＝·π(t2－h2)·h＝－h3＋h，
则V′＝－πh2＋.
令V′＝0，则h＝t或h＝－(舍).
∵00，
当t∴当高h＝t时，圆锥的体积V取得极大值，也是最大值.故选B.
4.欲制作一个容积为V的圆柱形蓄水罐(无盖)，为能使所用的材料最省，它的底面半径应为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设圆柱形蓄水罐的底面半径为r，高为h，表面积为y，则由题意有V＝πr2h，所以h＝.
蓄水罐的表面积y＝πr2＋2πrh＝πr2＋2πr＝πr2＋(r>0)，则y′＝2πr－.
令y′＝2πr－＝＝0，解得r＝.
当r∈时，y′<0，当x∈时，y′>0.
故当r＝时其表面积取得最小值，即所用的材料最省.
5.某产品的销售收入y1(万元)关于产量x(千台)的函数为y1＝15(x>0)，生产成本y2(万元)关于产量x(千台)的函数为y2＝x－(x>0)，为使利润最大，应生产该产品( )
A.9千台
B.8千台
C.7千台
D.6千台
答案 B
解析 设利润为y万元，则y＝y1－y2＝16－x(x>0)，y′＝.
令y′＝0，解得x＝8.
当00，当x>8时，y′<0.
∴当x＝8时，y取得最大值，故为使利润最大，应生产8千台.故选B.
二、填空题
6.某厂生产某种商品x件的总成本c(x)＝1
200＋x3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大.
答案 25
解析 设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，
其中k为比例系数.
因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250
000.
所以p2＝，p＝，x＞0.
设总利润为y万元，
则y＝·x－1
200－x3＝500－x3－1
200.
则y′＝－x2.
令y′＝0，得x＝25.
故当0＜x＜25时，y′＞0，当x＞25时，y′＜0，所以，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值.
7.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30
n
mile/h，当速度为10
n
mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲、乙两地相距800
n
mile，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________n
mile/h.
答案 20
解析 设从甲地到乙地海轮的航速为v
n
mile/h，燃料费为y元/h，总费用为f(x)元.
由题意设y与v满足的关系式为y＝av3(0≤v≤30)，
由题意得25＝a·103，
∴a＝.
则f(x)＝v3×＋×400＝20v2＋.
由f′(x)＝40v－＝0，得v＝20.
当0当200.
∴当v＝20时，f(x)最小，
即当总费用最低时，海轮的航速为20
n
mile/h.
8.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________.
答案
解析 设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
所以矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·＝－＋x(x∈(0，2)).
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍去)，x2＝，
所以x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
所以当x＝时，f(x)取最大值.
三、解答题
9.如图，某城市有一块半径为40
m的半圆形绿化区域(以O为圆心，AB为直径)，现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD＝80
m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S
m2.设∠AOC＝x
rad.
(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；
(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值.
解 (1)由题意得，S(x)＝×40x×40＋×40×80×sin
(π－x)＝800x＋1
600sin
x(0(2)S′(x)＝800＋1
600cos
x.
当00；当∴x＝时，S取得最大值，为m2.
10.某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数y＝f(x).
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解 (1)设若商品每件降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.
则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)
＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0，21].
(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，2)
2
(2，12)
12
(12，21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9
072
?
8
664
?
11
664
?
0
所以当x＝12时，f(x)取得极大值.因为f(0)＝9
072，f(12)＝11
664，f(21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.
11.若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( )
A.2πR2
B.πR2
C.4πR2
D.πR2
答案 A
解析 设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则x＝
，
所以S侧＝2πxh＝2πh＝2π，
令t＝R2h2－，则t′＝2R2h－h3，
令t′＝0，得h＝R(舍负)或h＝0(舍去)，
当00，当R所以当h＝R时，圆柱的侧面积最大.
所以侧面积的最大值为2π＝2πR2，故应选A.
12.如图，已知半径R为的半球O的内部有一圆柱，
且圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于半球O，则该圆柱体积的最大值为________.
答案 2π
解析 如图所示，设圆柱的底面圆半径为r，高为h，
则h2＋r2＝R2＝3，
所以圆柱的体积V(h)＝πr2h＝π(3－h2)h＝π(3h－h3)，h∈(0，)，
则V′(h)＝π(3－3h2).
令V′(h)＝0，解得h＝1(h＝－1舍去)，
当h∈(0，1)时，V′(h)>0，V(h)单调递增；
当h∈(1，)时，V′(h)<0，V(h)单调递减.
所以当h＝1时，V(h)取得极大值，也是最大值，为V(1)＝2π.
13.某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量p(L)关于行驶速度v(km/h)的函数解析式可以表示为：p＝v3－v＋8(0km，设汽车的行驶速度为x(km/h)，从甲地到乙地所需时间为t(h)，耗油量为y(L).
(1)求函数t＝g(x)及y＝f(x)的解析式；
(2)求当x为多少时，y取得最小值，并求出这个最小值.
解 (1)从甲地到乙地汽车的行驶时间为t＝g(x)＝(0则y＝f(x)＝pt＝·
＝x2＋－(0(2)y′＝－＝，由y′＝0，得x＝80，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，80)
80
(80，120)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值11.25
?
所以，当x＝80时，y取得极小值也是最小值11.25.
故当汽车的行驶速度为80
km/h时，耗油量最少为11.25
L.
14.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型.
(1)求a，b的值；
(2)该公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
解 (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).
将其分别代入y＝，得
解得
(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，
则点P的坐标为.
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，
又y′＝－，
则l的方程为y－＝－(x－t)，
由此得A，B.
故f(t)＝＝，t∈[5，20].
②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；
当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数.
从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，
所以g(t)min＝g(10)＝300，
此时f(t)min＝15.
故当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米.