章末复习提升
要点一 导数的几何意义及应用
导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1).①
又已知y1＝f(x1)②
由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.
切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.
【例1】 (1)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln
x的图象在点(1，f(1))
处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
(2)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
答案 (1)1 (2)(1，1)
解析 (1)由题意可知f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1.因为f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，即y＝(a－1)x＋1.
令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.
(2)由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.
设P(m，n)(m>0)，又y＝(x>0)的导数y′＝－，
所以曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－.
依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.
则点P的坐标为(1，1).
【训练1】 曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________.
答案 2x＋y＋1＝0
解析 f′(x)＝＝，所以曲线在x＝0处的切线斜率为k＝f′(0)＝－2，又f(0)＝－1，则所求的切线方程为y＋1＝－2x，即2x＋y＋1＝0.
要点二 应用导数求函数的单调区间
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.
【例2】 已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln
x)，a＞0.讨论f(x)的单调性.
解 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.
②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.
③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根
x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
此时f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增.
综上，当0
当a>2时，f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增.
【训练2】 已知函数f(x)＝ln
x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性.
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.
要点三 利用导数求函数的极值和最值
1.利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号.
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点.
2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，
这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
【例3】 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝时取极大值.
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时对应的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值.
解 (1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，
又因为当x＝－1，x＝时，
函数分别取得极小值、极大值，
所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根.
所以a＝－1＋，－＝(－1)×.
于是a＝－，b＝2，则f(x)＝－x3－x2＋2x.
当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2，2).
又因为切线斜率k＝f′(－2)＝－8，
所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即8x＋y＋14＝0.
(2)由(1)知f′(x)＝－3x2－x＋2＝－3(x＋1).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
1
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
2
↘?
－
↗?
?↘
因此，f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－.
【训练3】 已知函数f(x)＝x－acos
x，x∈.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的极大值；
(2)若函数f(x)有极大值，求实数a的取值范围.
解 (1)因为a＝－2，所以f(x)＝x＋2cos
x，f′(x)＝1－2sin
x.
令f′(x)＝0，得sin
x＝.
又x∈，所以x＝.
又当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0，
故当x＝时，f(x)取得极大值，为f＝＋.
(2)f′(x)＝1＋asin
x.
当x∈时，－1x<1，即|sin
x|<1.
①当|a|≤1时，|asin
x|<1，
所以当x∈时，f′(x)>0恒成立，此时f(x)在上没有极值.
②当a>1时，－ax所以1＋asin
x＝0，x∈有解，设为α.
因为y＝asin
x在上单调递增，
所以当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.
因此f(x)在上没有极大值.
③当a<－1时，ax<－a，－1∈(a，－a)，
所以asin
x＋1＝0，x∈有解，设为β.
因为y＝asin
x在上单调递减，所以当x∈时，f′(x)>0；当x∈
时，f′(x)<0.
所以f(x)在x＝β处取得极大值.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－1).
要点四 导数与函数、不等式的综合应用
利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值、参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.
【例4】 已知函数f(x)＝xln
x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
解 (1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln
x，
令f′(x)>0，解得x>，
令f′(x)<0，解得0故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
故f(x)min＝f＝ln
＝－.
(2)当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，
等价于xln
x≥ax－1(x≥1)恒成立，
等价于a≤ln
x＋(x≥1)恒成立.
令g(x)＝ln
x＋，则a≤g(x)min(x≥1)恒成立；
∵g′(x)＝－＝，∴当x≥1时，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，则y＝b的图象和y＝f(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点.
由(1)知f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)min＝f＝ln
＝－，又当01时，f(x)>0，
故当－即若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，则－【训练4】 已知函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求实数m的最大值；
(2)若函数f(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围.
解 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3－≥－，
由f′(x)≥m恒成立，可得m≤－，
即m的最大值为－.
(2)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0，得x>2或x<1，由f′(x)<0，得1∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
∴f(x)极大值＝f(1)＝－a，f(x)极小值＝f(2)＝2－a.
∵f(x)恰有一个零点，
∴－a<0或2－a>0，
即a<2或a>，
所以a的取值范围为(－∞，2)∪.(共28张PPT)
章末复习提升
网络构建
要点聚焦
内容索引
网络构建
形成体系
1
要点聚焦
类型突破
2
要点一 导数的几何意义及应用
导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1).①
又已知y1＝f(x1)②
由①②求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.
切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.
【例1】 (1)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln
x的图象在点(1，f(1))
处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.
1
所以f′(1)＝a－1.因为f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，
所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，即y＝(a－1)x＋1.
令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.
解
由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.
(1，1)
依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.
则点P的坐标为(1，1).
2x＋y＋1＝0
所以曲线在x＝0处的切线斜率为k＝f′(0)＝－2，
又f(0)＝－1，则所求的切线方程为y＋1＝－2x，即2x＋y＋1＝0.
在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减.
要点二 应用导数求函数的单调区间
解 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
【训练2】 已知函数f(x)＝ln
x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性.
1.利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号.
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点.
要点三 利用导数求函数的极值和最值
2.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，
这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时对应的切线方程；
当x＝－2时，f(－2)＝2，即切点为(－2，2).
又因为切线斜率k＝f′(－2)＝－8，
所以，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，
即8x＋y＋14＝0.
(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的极大值；
解 因为a＝－2，所以f(x)＝x＋2cos
x，f′(x)＝1－2sin
x.
(2)若函数f(x)有极大值，求实数a的取值范围.
解
f′(x)＝1＋asin
x.
①当|a|≤1时，|asin
x|<1，
②当a>1时，－ax③当a<－1时，ax<－a，－1∈(a，－a)，
所以f(x)在x＝β处取得极大值.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－1).
利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值、参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.
要点四 导数与函数、不等式的综合应用
【例4】 已知函数f(x)＝xln
x.
(1)求f(x)的最小值；
解 f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln
x，
解
当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，
等价于xln
x≥ax－1(x≥1)恒成立，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].
(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
解
若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，则y＝b的图象和y＝f(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点.
(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求实数m的最大值；
(2)若函数f(x)恰有一个零点，求实数a的取值范围.
解 f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，
由f′(x)>0，得x>2或x<1，由f′(x)<0，得1∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
本节内容结束