第5章
导数及其应用
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
(一)早期导数概念——特殊的形式
大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法，1637年左右，他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.在作切线时，他构造了差分f(A＋E)－f(A)，发现的因子E就是我们现在所说的导数f′(A).
(二)17世纪——广泛使用的“流数术”
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分.牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数.
(三)19世纪导数——逐渐成熟的理论
1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y＝f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量.19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式.
[读图探新]——发现现象背后的知识
1.我们从物理学中已经知道，物体运动的位移x、速度v、加速度a(均指大小，下同)之间具有紧密的联系.速度描述了位移变化的快慢，加速度描绘了速度变化的快慢，即v＝，a＝，其中t表示时间，Δt表示时间的变化量.
特别地，当物体做的是初速度为v0的匀加速直线运动时，a是一个常数，此时x＝v0t＋at2，v＝v0＋at.
2.我们知道，物体在做曲线运动时，速度的方向是与运动轨迹相切的.例如，如图所示的砂轮打磨下来的微粒，是沿着飞轮的切线飞出去的.这也就意味着，求切线是研究曲线运动时经常要做的事情.
我们在平面解析几何中已经知道怎样求圆锥曲线的切线.不过，可能会让你感到意外的是，那种求切线的方法并不适用于一般的曲线.因此，借助于导数来讨论曲线的切线更具有一般性.
问题1：物体运动的速度和位移有什么关系？加速度和速度又是什么关系呢？
问题2：假设切点为(x0，y0)，如何求曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程呢？
链接：(1)如果从本章我们要学习的导数知识来看的话，上述速度就是位移关于时间的导数，而加速度就是速度关于时间的导数，即v＝x′＝v0＋at，a＝v′，其中x′与v′分别表示x与v对时间t的导数.
(2)由导数的几何意义，切线的斜率为k＝f′(x0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
5.1 导数的概念
5.1.1 平均变化率
课标要求
素养要求
1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义.
1.通过具体的平均变化率问题，培养数学建模素养.2.借助平均变化率的求解，提升数学运算素养.
自主梳理
1.函数的平均变化率
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝.
2.平均变化率的意义
平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率.因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零.平均变化率可正、可负、可为零.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为0.(√)
(2)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.(√)
(3)函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是2.(×)
提示 依题知，函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝2＋Δx.
(4)函数的平均变化率越小，表示函数值变化得越慢.(×)
提示 平均变化率的绝对值越小，函数值变化得越慢.
2.已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
答案 B
解析 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.
3.函数f(x)＝2x2－1在区间(2，2＋Δx)上的平均变化率等于( )
A.8＋4Δx
B.8＋2Δx
C.4＋2(Δx)2
D.8
答案 B
解析 根据平均变化率的定义，可知Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2－1－(2×22－1)＝2(Δx)2＋8Δx，则＝＝2Δx＋8.故选B.
4.函数y＝2x＋2在[1，2]上的平均变化率是________.
答案 2
解析 所求平均变化率为＝2.
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 (1)函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________.
答案 －
解析 ＝＝－.
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
解 自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.
思维升华 1.求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量x2－x1；
第二步，求函数值的增量f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率.
2.求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式.
【训练1】 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.
答案 －1
解析 ＝＝＝－1，
由平均变化率的意义知y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为－1.
题型二 实际问题中的平均变化率
【例2】 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5
s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率.
解 (1)运动员在第一个0.5
s内高度h的平均变化率为＝4.05(m/s).
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2
(m/s).
思维升华 实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似，首先求f(x2)－f(x1)，再求比值，当函数解析式没有给定时，先根据实际问题求出函数解析式，再重复上述步骤即可.
【训练2】 一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是________.
答案 (0，1]
解析 质点在2到2＋Δt之间的平均速度为v＝＝＝4＋Δt，又v≤5，则4＋Δt≤5，所以Δt≤1，又Δt>0，所以Δt的取值范围是(0，1].
题型三 平均变化率的应用
【例3】 为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25
m/s到0
m/s花了5
s，乙车从18
m/s到0
m/s花了4
s，试比较两辆车的刹车性能.
解 甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2)，
乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)，
平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好.
思维升华 平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.
【训练3】 已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0
L增加到1
L和从1
L增加到2
L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
解 (1)∵V＝πr3，
∴r3＝，r＝，
即r(V)＝.
(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率约为
＝－＝≈0.16(dm/L).
显然体积V从0
L增加到1
L时，半径变化快，这说明气球刚开始膨胀的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢.
1.牢记1个知识点
平均变化率对函数而言，即是函数值的改变量与自变量的改变量的比值，即＝.
2.明确平均变化率的意义
平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢.平均变化率的正负只表示变化的方向.
一、选择题
1.一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为( )
A.0.4
B.2
C.0.3
D.0.2
答案 B
解析 在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为＝2.
2.某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度为( )
A.2d＋4
B.－2d＋4
C.2d－4
D.－2d－4
答案 D
解析 平均速度为＝－4－2d.故选D.
3.已知函数f(x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A.k1>k2
B.k1＝k2
C.k1D.不确定
答案 B
解析 由平均变化率的几何意义知k1＝k2.
4.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均变化率为26，则实数m的值为( )
A.2
B.1
C.－1
D.6
答案 B
解析 由已知，得＝26，
∴(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1.
5.函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则( )
A.k1>k2
B.k1C.k1＝k2
D.不确定
答案 A
解析 因为k1＝eq
\f(（x0＋Δx）2－x,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq
\f(x－（x0－Δx）2,Δx)＝2x0－Δx，又由题意知Δx>0，所以k1>k2.
二、填空题
6.函数f(x)＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率是________.
答案
解析 函数的平均变化率是＝＝.
7.如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t0到t1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”“大于”或“小于”).
答案 等于 大于
解析 由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t0，t1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度.
8.函数y＝x3＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________.
答案 4
解析 ＝＝a2＋a＋1＝21，
解得a＝4或a＝－5.
又∵a>1，∴a＝4.
三、解答题
9.求函数f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率.
解 f(x)＝x2＋＋4在区间[1，2]上的平均变化率为＝.
10.求函数y＝sin
x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小.
解 在0到之间的平均变化率为＝；
在到之间的平均变化率为＝.
∵2－<1，∴>，
∴函数y＝sin
x在0到之间的平均变化率较大.
11.如图是函数y＝f(x)的图象，函数f(x)在区间[－1，1]，[0，2]上的平均变化率分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系是( )
A.m1＞m2
B.m1＜m2
C.m1＝m2
D.无法确定
答案 B
解析 函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为m1＝＝＝.
由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为m2＝＝＝.
所以m1＜m2.
12.已知二次函数f(x)＝x2和指数函数g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[2，4]上的平均变化率相同，则a＝( )
A.
B.2
C.2或
D.不能确定
答案 B
解析 二次函数f(x)＝x2在区间[2，4]上的平均变化率为＝＝6，
指数函数g(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[2，4]上的平均变化率为＝＝.
因为两个函数在区间[2，4]上的平均变化率相同，所以＝6，
又a＞0，且a≠1，解得a＝2.
13.已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.
解 (1)由f(x)＝2x2＋1，
得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080
2，
又Δx＝2.01－2＝0.01，
∴＝＝8.02.
(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1
＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴＝＝4x0＋2Δx.
14.函数f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下列结论正确的是( )
A.m1＝m2＝m3
B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3
D.m1答案 A
解析 m1＝＝f(1)－f(0)＝1－0＝1，
m2＝＝g(1)－g(0)＝12－0＝1，
m3＝＝h(1)－h(0)＝13－0＝1，故m1＝m2＝m3，故选A.(共39张PPT)
5.1
导数的概念
5.1.1
平均变化率
第5章
1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.
2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义.
课标要求
素养要求
1.通过具体的平均变化率问题，培养数学建模素养.
2.借助平均变化率的求解，提升数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.函数的平均变化率
2.平均变化率的意义
平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率.因此平均变化率是曲线陡峭程度的“_________”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“______”.
数量化
视觉化
点睛
1.思考辨析，判断正误
√
(1)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为0.(
)
√
(3)函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是2.(
)
×
(4)函数的平均变化率越小，表示函数值变化得越慢.(
)
提示 平均变化率的绝对值越小，函数值变化得越慢.
×
2.已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A.0.40
B.0.41
C.0.43
D.0.44
B
解析 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.
A.8＋4Δx
B.8＋2Δx
C.4＋2(Δx)2
D.8
B
2
4.函数y＝2x＋2在[1，2]上的平均变化率是________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求函数的平均变化率
解 自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
思维升华
【训练1】 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.
－1
【例2】 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
题型二 实际问题中的平均变化率
(1)求运动员在第一个0.5
s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率.
思维升华
【训练2】 一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是________.
(0，1]
则4＋Δt≤5，所以Δt≤1，又Δt>0，所以Δt的取值范围是(0，1].
【例3】 为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25
m/s到0
m/s花了5
s，乙车从18
m/s到0
m/s花了4
s，试比较两辆车的刹车性能.
题型三 平均变化率的应用
平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，
所以甲车的刹车性能较好.
平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.
思维升华
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0
L增加到1
L和从1
L增加到2
L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
显然体积V从0
L增加到1
L时，半径变化快，这说明气球刚开始膨胀的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢.
1.牢记1个知识点
课堂小结
2.明确平均变化率的意义
平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢.平均变化率的正负只表示变化的方向.
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为( )
A.0.4
B.2
C.0.3
D.0.2
B
2.某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度为( )
A.2d＋4
B.－2d＋4
C.2d－4
D.－2d－4
D
3.已知函数f(x)＝1－2x从x＝1到x＝2的平均变化率为k1，从x＝－2到x＝－1的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A.k1>k2
B.k1＝k2
C.k1D.不确定
B
解析 由平均变化率的几何意义知k1＝k2.
4.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均变化率为26，则实数m的值为( )
A.2
B.1
C.－1
D.6
B
5.函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则( )
A.k1>k2
B.k1C.k1＝k2
D.不确定
A
二、填空题
6.函数f(x)＝log2x在区间[2，4]上的平均变化率是________.
7.如图所示为物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，
则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在
t0到t1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”
“大于”或“小于”).
等于
大于
解析 由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；
在[t0，t1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度.
8.函数y＝x3＋2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a＝________.
4
解得a＝4或a＝－5.
又∵a>1，∴a＝4.
11.如图是函数y＝f(x)的图象，函数f(x)在区间[－1，1]，
[0，2]
上的平均变化率分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系是( )
B
A.m1＞m2
B.m1＜m2
C.m1＝m2
D.无法确定
12.已知二次函数f(x)＝x2和指数函数g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[2，4]上的平均变化率相同，则a＝( )
B
13.已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.
解 (1)由f(x)＝2x2＋1，
得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080
2，
又Δx＝2.01－2＝0.01，
(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
14.函数f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下列结论正确的是( )
A.m1＝m2＝m3
B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3
D.m1A
本节内容结束
