第二课时 导 数
课标要求
素养要求
1.理解导数的瞬时变化率——导数准确定义.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
通过学习导数与曲线的切线的关系，理解导数的几何意义，发展学生的直观想象素养.
自主梳理
1.函数在点x＝x0处的导数定义
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导.并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0).
2.导函数定义
若函数f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x).f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
3.导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.
4.导数的物理意义
瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间t的导数，即v(t)＝s′(t).
瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t).
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数.(√)
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率.(√)
(3)直线与曲线相切，则直线与曲线只有一个公共点.(×)
提示 也可能有多个公共点，如曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线y＝x3有两个公共点.
(4)函数f(x)＝0没有导函数.(×)
提示 函数f(x)＝0为常数函数，其导函数f′(x)＝0，并不是没有导数.
2.曲线y＝在点(1，1)处切线的斜率为( )
A.1
B.－1
C.
D.－
答案 B
解析 k＝
＝
＝－1.
3.函数f(x)的图象如图所示，则( )
A.f′(1)>f′(2)>f′(3)
B.f′(2)>f′(1)>f′(3)
C.f′(3)>f′(2)>f′(1)
D.f′(3)>f′(1)>f′(2)
答案 C
解析 由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).
4.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
答案 3
解析 由在M点处的切线方程y＝x＋2，
得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝.
∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
题型一 求切线的方程
【例1】 已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.
解 (1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，
∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为
k＝
＝
＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点Aeq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x＋\f(4,3)))，则切线的斜率为
k＝
eq
\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x0＋Δx）3＋\f(4,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(4,3))),Δx)＝x，
∴切线方程为y－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋\f(4,3)))＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵点P(2，4)在切线上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1，或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
思维升华 1.求曲线过已知点的切线方程的步骤
2.若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程.
【训练1】 求曲线y＝在点处的切线方程.
解 曲线在点处的切线的斜率为k
＝
＝
＝－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
题型二 求切点坐标或参数值
【例2】 (1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________.
(2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.
答案 (1) (2)±2
解析 (1)设切点坐标为(x0，y0)，
则Δy＝[2(x0＋Δx)2＋1]－(2x＋1)
＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，
∴f′(x0)＝
＝4x0.
又∵切线的斜率为k＝tan
45°＝1，
∴4x0＝1即x0＝.
∴y0＝2×＋1＝，
∴切点坐标为.
(2)设直线y＝3x＋b与曲线y＝x3的切点为P(x0，y0)，由y＝x3得y′＝
＝
＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，所以曲线y＝x3在点P(x0，y0)处的切线斜率k＝3x，又直线y＝3x＋b与曲线y＝x3切于点P，所以3x＝3，
因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).
因为点P在直线y＝3x＋b上，所以b＝±2.
思维升华 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.
【训练2】 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
解 对于曲线f(x)＝x2－1，
k1＝
＝
eq
\f(（x0＋Δx）2－1－（x－1）,Δx)
＝
(2x0＋Δx)＝2x0.
对于曲线g(x)＝1－x3，
k2＝
＝
eq
\f(1－（x0＋Δx）3－（1－x）,Δx)
＝
(－3x0Δx－3x－(Δx)2)＝－3x.
由k1＝k2，得2x0＝－3x，
∴x0＝0或x0＝－.
题型三 与导数的几何意义有关的图象问题
【例3】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)
C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
(2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
答案 (1)B (2)A
解析 (1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)(2)函数f(x)的导函数f′(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a思维升华 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.
【训练3】 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A.f′(1)B.f′(1)C.f′(2)D.a答案 B
解析 由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，∵＝a，∴f′(1)1.牢记2个知识点
(1)导函数的定义.
(2)导数f′(x0)的几何意义.
2.掌握2种方法
(1)求切线方程的方法.
(2)切线的斜率与导数的关系.
3.注意2个易错点
(1)没有正确理解导数的几何意义致误.
(2)没有把握好切点的“双重身份”(既在切线上，也在原函数图象上).
一、选择题
1.在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A.(0，0)
B.(2，4)
C.
D.
答案 D
解析 ∵y′＝
＝
(2x＋Δx)＝2x，
∴令2x＝tan
＝1，得x＝.
∴y＝＝，所求点的坐标为.
2.若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则( )
A.f′(1)>0
B.f′(1)＝0
C.f′(1)<0
D.f′(1)不存在
答案 A
解析 由题意知切线过点(1，3)，(0，2)，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝＝1>0.
3.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是( )
A.f′(a)B.f′(b)C.f′(a)D.f′(c)答案 A
解析 如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k14.曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则( )
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
D.a＝－1，b＝－1
答案 D
解析 将(0，b)代入切线方程可得0＋b＋1＝0，∴b＝－1，y′＝
＝2x＋a，∴当x＝0时，y′＝a＝－1.
5.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
答案 AC
解析 k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故AC正确.
二、填空题
6.已知曲线y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.
答案 2
解析 由题意知a＋b＝3，
又y′|x＝1＝
＝
(2a＋aΔx)＝2a＝2，
∴a＝1，b＝2，故＝2.
7.若函数f(x)＝x－，则它与x轴的交点处的切线方程为________________.
答案 2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0
解析 f(x)＝x－与x轴的交点坐标为(1，0)，(－1，0)，
f′(x)＝
＝
＝1＋，
f′(1)＝2，f′(－1)＝2，
∴所求切线方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)，
即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.
8.已知直线x＋y＝b是函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝________，m＝________.
答案 5 3
解析 由题意知m＝a＋2，1＋m＝b.
因为f′(1)＝
＝
＝a－2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，所以m＝3，b＝4，a＋b＝5.
三、解答题
9.求过点M(1，1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程.
解 ＝
＝
＝3x·Δx＋3x2＋(Δx)2，
所以
＝3x2，即y′＝3x2.
设过(1，1)点的切线与曲线y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)，
根据导数的几何意义，知曲线在点P处的切线的斜率为k＝3x，①
又过(1，1)点的切线的斜率k＝eq
\f(x＋1－1,x0－1)，②
故由①②得3x＝eq
\f(x,x0－1)，解得x0＝0或x0＝，
所以k＝0或k＝，切点坐标为(0，1)或.
因此曲线y＝x3＋1的过点M(1，1)的切线方程有两个，分别为y－＝和y＝1，
即27x－4y－23＝0和y＝1.
10.在抛物线y＝x2上，哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解 y′＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线
4x－y＋1＝0，
则k1＝2x0＝4，解得x0＝2.
所以y0＝x＝4，即P(2，4).
设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线
4x－y＋1＝0，
则k2＝2x1＝－，解得x1＝－.
所以y1＝x＝，即Q.
故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
11.如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为( )
A.－1
B.1
C.2
D.3
答案 C
解析 曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，所以切线方程为y＝－2(x－2).因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C.
12.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________.
答案
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2.设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝
＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝.
13.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.
解 设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)
＝
eq
\f(（x0＋Δx）3＋a（x0＋Δx）2－9（x0＋Δx）－1－（x＋ax－9x0－1）,Δx)
＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2＋2ax0＋aΔx－9]
＝3x＋2ax0－9，
∴f′(x0)＝3－9－.
∵斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12.
∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
14.已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，O是坐标原点，若曲线段AOB上存在点P，使△ABP的面积最大，求点P的坐标.
解 分析可知点P位于x轴的下方.
当y<0时，y＝－，
则＝＝，
当Δx→0时，→－.
设曲线y＝－x在点(x0，－)处的切线与直线x＋2y－4＝0平行，
则－＝－，解得x0＝2，
所以切点坐标为(2，－2)，
此时该点到线段AB的距离最大，△ABP的面积最大.
故点P的坐标为(2，－2).5.1.2 瞬时变化率——导数
第一课时 曲线上一点处的切线、瞬时速度与瞬时加速度
课标要求
素养要求
1.理解瞬时变化率的含义.2.理解切线与割线的关系.3.会求曲线上某点处的切线斜率、瞬时速度、瞬时加速度.
根据对瞬时变化率的理解及求某点处切线的斜率、瞬时(加)速度，培养学生的数学抽象与数学运算素养.
自主梳理
1.逼近法求曲线上一点处的切线斜率
如图，设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝＝.
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率.
2.瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度
(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率.
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线.(√)
(2)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.(×)
提示 过曲线上的点最多只能作一条切线.
(3)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度.(√)
(4)过点P的曲线y＝f(x)的切线与曲线y＝f(x)在点P处的切线相同.(×)
提示 前者P不一定是切点，而后者P一定是切点.
2.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3
s末的瞬时速度是( )
A.7
m/s
B.6
m/s
C.5
m/s
D.8
m/s
答案 C
解析
∵＝＝5＋Δt，
当Δt→0时，5＋Δt→5，
∴物体在3
s末的瞬时速度为5
m/s.
3.已知f(x)＝x2－x＋3，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是( )
A.
B.
C.－
D.－
答案 C
解析 ＝＝Δx＋2x－1，
所以Δx→0时，→2x－1.
则f(x)在x＝时的瞬时变化率为2×－1＝－，故选C.
4.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(s表示位移大小，单位：m；t表示时间，单位：s).若质点M在t＝2
s时的瞬时速度大小为8
m/s，则常数a为________.
答案 2
解析 因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝4a＋aΔt.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4a，当t＝2时，瞬时速度大小为4a，可得4a＝8，所以a＝2.
题型一 曲线上某一点处的切线
【例1】 已知曲线y＝x3上一点P，求：
(1)点P处的切线斜率；
(2)点P处的切线方程.
解 (1)由y＝x3，得
＝
＝×＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x2，所以点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.
思维升华 (1)解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想，即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线逼近的切线的斜率.然后利用直线方程的点斜式可求出相应的切线方程.
(2)注意函数y＝f(x)在x＝x0处的切线，就是函数图象(曲线)上以点(x0，f(x0))为切点的曲线的切线，过点(x0，y0)也能作曲线y＝f(x)的切线，但点(x0，y0)不一定是切点.
【训练1】 利用割线逼近切线的方法分别求曲线y＝2x2在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率.
解 设P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，则割线PQ的斜率kPQ＝＝eq
\f(2（x0＋Δx）2－2x,x0＋Δx－x0)＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于4x0，从而曲线y＝f(x)在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率分别为0，－4，8.
题型二 求瞬时速度和瞬时加速度
【例2】 一质点按s＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单位：s)做直线运动.求：
(1)该质点在前3
s内的平均速度；
(2)质点在2
s到3
s内的平均速度；
(3)质点在3
s时的瞬时速度.
解 (1)1＝＝＝8(m/s)，所以该质点在前3
s内的平均速度为8
m/s.
(2)2＝＝2×32＋2×3－2×22－2×2
＝12(m/s).
所以质点在2
s到3
s内的平均速度为12
m/s.
(3)因为
＝＝2Δt＋14.
当Δt趋于0时，2Δt＋14无限趋近于14.所以质点在3
s时的瞬时速度为14
m/s.
思维升华 (1)平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt趋于0时的极限值.
(2)已知运动物体在s＝s(t)解析式的前提下才可求某一时刻的瞬时速度.
【训练2】 有一做直线运动的物体，其速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系是v＝3t－t2，求此物体在t＝2
s时的瞬时加速度.
解 因为v(2＋Δt)－v(2)＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，
所以＝－1－Δt，
所以当Δt趋于0时，－1－Δt无限趋近于－1.
所以该物体在t＝2
s时的瞬时加速度为－1
m/s2.
1.牢记2个知识点
(1)切线与割线的概念.
(2)瞬时速度、瞬时加速度.
2.理解1个思想
理解割线逼近切线的思想.
一、选择题
1.做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析 因为Δs＝s(0＋Δt)－s(0)＝3Δt－(Δt)2－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
所以＝3－Δt，当Δt→0时，→3－0＝3，即v＝3.
2.一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析 因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
所以＝14t0－13＋7Δt，当Δt趋近于0时，→14t0－13，所以14t0－13＝1，所以t0＝1.
3.一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离与时间t之间的函数关系式为s＝t2，当t＝3时，此木块在水平方向上的瞬时速度为( )
A.1
B.1.5
C.2
D.3
答案 B
解析 v＝＝Δt＋，
当Δt→0时，v→1.5，所以所求瞬时速度为1.5.
4.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )
A.米/秒
B.米/秒
C.8米/秒
D.米/秒
答案 B
解析 因为＝
＝＝Δt＋8－.
当Δt趋近于0时，→8－＝.
5.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为( )
A.1>2>3
B.3>2>1
C.2>1>3
D.2>3>1
答案 B
解析 设直线O′A，AB，BC的斜率分别为kO′A，kAB，kBC，则1＝＝kO′A，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由题中图象知kBC>kAB>kO′A，即3>2>1.故选B.
二、填空题
6.若一质点的运动方程为s＝t2＋1，则该质点在t＝1时的瞬时速度是________.
答案 2
解析 ＝＝2＋Δt，当Δt→0时，→2，即为所求瞬时速度.
7.自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________.
答案 9.8
解析 ＝2g＋gΔt.
当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.
∴2g＝19.6，g＝9.8.
8.已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为________.
答案 45°
解析 ＝＝x＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x，
所以曲线在点P处切线的斜率为1，倾斜角为45°.
三、解答题
9.求曲线f(x)＝3x2－2x在点(1，1)处的切线的方程.
解 因为＝
＝
＝＝3Δx＋4.
所以当Δx无限趋近于0时，3Δx＋4无限趋近于4，
所以曲线f(x)＝3x2－2x在点(1，1)处切线的斜率为4.
所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
10.如果一个质点从固定点A开始运动，时间t(单位：s)的位移(单位：m)函数为y＝t3＋3，求当t＝4
s时的瞬时速度.
解 因为质点在t＝4
s到(4＋Δt)s的位移改变量
Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，
所以该时间段内的平均速度＝
＝＝(Δt)2＋12Δt＋48.
所以当Δt→0时，→48，所以质点在t＝4
s时的瞬时速度为48
m/s.
11.(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则( )
A.该物体当1≤t≤3时的平均速度是28
B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70
答案 ABD
解析 该物体在1≤t≤3时的平均速度是
＝＝28，A正确；
＝＝56＋7Δt，当Δt→0时，→56，故B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
＝＝70＋7Δt，当Δt→0时，→70，故D正确.
12.已知物体运动的速度与时间t之间的函数关系为v(t)＝t2＋2t＋2，则t＝1秒时的瞬时加速度为________.
答案 4
解析 ＝＝4＋Δt，
则当Δt无限趋近于0时，可得瞬时加速度为4.
13.以初速度v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在时刻t0时的瞬时速度.
解 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v0t0－\f(1,2)gt))
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
所以＝v0－gt0－gΔt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于v0－gt0.
故物体在时刻t0时的瞬时速度为v0－gt0.
14.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A.
B.[－1，0]
C.[0，1]
D.
答案 D
解析 ＝＝＝Δx＋2x＋2，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x＋2.又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，所以其斜率的取值范围是[1，＋∞).由2x＋2∈[1，＋∞)，解得x≥－，故选D.(共37张PPT)
5.1.2 瞬时变化率——导数
第一课时 曲线上一点处的切线、瞬时
速度与瞬时加速度
1.理解瞬时变化率的含义.
2.理解切线与割线的关系.
3.会求曲线上某点处的切线斜率、瞬时速度、瞬时加速度.
课标要求
素养要求
根据对瞬时变化率的理解及求某点处切线的斜率、瞬时(加)速度，培养学生的数学抽象与数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.逼近法求曲线上一点处的切线斜率
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的_______________.
切线的斜率
2.瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度
0
常数
常数
常数
常数
1.思考辨析，判断正误
√
(1)曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线.(
)
(2)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线.(
)
提示 过曲线上的点最多只能作一条切线.
(3)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度.(
)
(4)过点P的曲线y＝f(x)的切线与曲线y＝f(x)在点P处的切线相同.(
)
提示 前者P不一定是切点，而后者P一定是切点.
×
√
×
2.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3
s末的瞬时速度是( )
A.7
m/s
B.6
m/s
C.5
m/s
D.8
m/s
C
当Δt→0时，5＋Δt→5，
∴物体在3
s末的瞬时速度为5
m/s.
C
2
4.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(s表示位移大小，单位：m；t表示时间，单位：s).若质点M在t＝2
s时的瞬时速度大小为8
m/s，则常数a为________.
解析 因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
瞬时速度大小为4a，可得4a＝8，所以a＝2.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 曲线上某一点处的切线
(1)点P处的切线斜率；
(2)点P处的切线方程.
(1)解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想，即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线逼近的切线的斜率.然后利用直线方程的点斜式可求出相应的切线方程.
(2)注意函数y＝f(x)在x＝x0处的切线，就是函数图象(曲线)上以点(x0，f(x0))为切点的曲线的切线，过点(x0，y0)也能作曲线y＝f(x)的切线，但点(x0，y0)不一定是切点.
思维升华
【训练1】 利用割线逼近切线的方法分别求曲线y＝2x2在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率.
当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于4x0，从而曲线y＝f(x)在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率分别为0，－4，8.
【例2】 一质点按s＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单位：s)做直线运动.求：
(1)该质点在前3
s内的平均速度；
(2)质点在2
s到3
s内的平均速度；
题型二 求瞬时速度和瞬时加速度
所以该质点在前3
s内的平均速度为8
m/s.
所以质点在2
s到3
s内的平均速度为12
m/s.
(3)质点在3
s时的瞬时速度.
当Δt趋于0时，2Δt＋14无限趋近于14.所以质点在3
s时的瞬时速度为14
m/s.
(1)平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt趋于0时的极限值.
(2)已知运动物体在s＝s(t)解析式的前提下才可求某一时刻的瞬时速度.
思维升华
【训练2】 有一做直线运动的物体，其速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系是v＝3t－t2，求此物体在t＝2
s时的瞬时加速度.
解 因为v(2＋Δt)－v(2)＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，
所以当Δt趋于0时，－1－Δt无限趋近于－1.
所以该物体在t＝2
s时的瞬时加速度为－1
m/s2.
1.牢记2个知识点
(1)切线与割线的概念.
(2)瞬时速度、瞬时加速度.
2.理解1个思想
理解割线逼近切线的思想.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 因为Δs＝s(0＋Δt)－s(0)＝3Δt－(Δt)2－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
C
2.一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
A
A.1
B.1.5
C.2
D.3
B
B
B
二、填空题
6.若一质点的运动方程为s＝t2＋1，则该质点在t＝1时的瞬时速度是________.
2
9.8
45°
三、解答题
9.求曲线f(x)＝3x2－2x在点(1，1)处的切线的方程.
所以当Δx无限趋近于0时，3Δx＋4无限趋近于4，
所以曲线f(x)＝3x2－2x在点(1，1)处切线的斜率为4.
所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
10.如果一个质点从固定点A开始运动，时间t(单位：s)的位移(单位：m)函数为y＝t3＋3，求当t＝4
s时的瞬时速度.
解 因为质点在t＝4
s到(4＋Δt)s的位移改变量
Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，
11.(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(
)
A.该物体当1≤t≤3时的平均速度是28
B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70
ABD
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
12.已知物体运动的速度与时间t之间的函数关系为v(t)＝t2＋2t＋2，则t＝1秒时的瞬时加速度为________.
4
则当Δt无限趋近于0时，可得瞬时加速度为4.
D
本节内容结束(共44张PPT)
第二课时 导 数
1.理解导数的瞬时变化率——导数准确定义.
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
课标要求
素养要求
通过学习导数与曲线的切线的关系，理解导数的几何意义，发展学生的直观想象素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.函数在点x＝x0处的导数定义
2.导函数定义
若函数f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作____.f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，
f′(x)
可导
f′(x0)
3.导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的__________.
斜率
4.导数的物理意义
瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间t的导数，即v(t)＝_______.
瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的______，即a(t)＝______.
s′(t)
导数
v′(t)
1.思考辨析，判断正误
√
(1)函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数.(
)
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率.(
)
(3)直线与曲线相切，则直线与曲线只有一个公共点.(
)
提示 也可能有多个公共点，如曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线y＝x3有两个公共点.
(4)函数f(x)＝0没有导函数.(
)
提示 函数f(x)＝0为常数函数，其导函数f′(x)＝0，并不是没有导数.
√
×
×
B
3.函数f(x)的图象如图所示，则( )
A.f′(1)>f′(2)>f′(3)
B.f′(2)>f′(1)>f′(3)
C.f′(3)>f′(2)>f′(1)
D.f′(3)>f′(1)>f′(2)
C
解析 由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).
3
课堂互动
题型剖析
2
题型一 求切线的方程
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.
1.求曲线过已知点的切线方程的步骤
思维升华
2.若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程.
【例2】 (1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切
点的坐标为________.
题型二 求切点坐标或参数值
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
解
设直线y＝3x＋b与曲线y＝x3的切点为P(x0，y0)，
(2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.
±2
[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，
因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).
因为点P在直线y＝3x＋b上，所以b＝±2.
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.
思维升华
【训练2】 已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
解 对于曲线f(x)＝x2－1，
【例3】 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
题型三 与导数的几何意义有关的图象问题
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
B
解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在
点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)(2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
A
解析
函数f(x)的导函数f′(x)在[a，b]上是增函数，
若对任意x1和x2满足a则有f′(a)可知函数y＝f(x)的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象.只有A选项符合.
导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.
思维升华
A.f′(1)B.f′(1)C.f′(2)D.a解析 由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，
故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，
B
1.牢记2个知识点
(1)导函数的定义.
(2)导数f′(x0)的几何意义.
2.掌握2种方法
(1)求切线方程的方法.
(2)切线的斜率与导数的关系.
3.注意2个易错点
(1)没有正确理解导数的几何意义致误.
(2)没有把握好切点的“双重身份”(既在切线上，也在原函数图象上).
课堂小结
分层训练
素养提升
3
D
2.若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则( )
A.f′(1)>0
B.f′(1)＝0
C.f′(1)<0
D.f′(1)不存在
A
3.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，
则下列不等式正确的是( )
A
A.f′(a)B.f′(b)C.f′(a)D.f′(c)解析 如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，
设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，
所以f′(a)4.曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则( )
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
D.a＝－1，b＝－1
D
解析 将(0，b)代入切线方程可得0＋b＋1＝0，
5.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
AC
解析 k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，
而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故AC正确.
2
f′(1)＝2，f′(－1)＝2，∴所求切线方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)，
即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.
2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0
5
3
所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2，由a－2＝－1，得a＝1，
所以m＝3，b＝4，a＋b＝5.
三、解答题
9.求过点M(1，1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程.
10.在抛物线y＝x2上，哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线
4x－y＋1＝0，
则k1＝2x0＝4，解得x0＝2.
4x－y＋1＝0，
11.如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，
且f′(1)＝－2，则f(1)的值为( )
C
A.－1
B.1
C.2
D.3
解析 曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，
所以切线方程为y＝－2(x－2).因为切点在曲线上也在切线上，
所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C.
12.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________.
解析 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2.
设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知
13.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.
∵斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，∴该切线斜率为－12.
14.已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，O是坐标原点，若曲线段AOB上存在点P，使△ABP的面积最大，求点P的坐标.
所以切点坐标为(2，－2)，
此时该点到线段AB的距离最大，△ABP的面积最大.
故点P的坐标为(2，－2).
本节内容结束