(共41张PPT)
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
课标要求
素养要求
在利用导数的定义求基本初等函数的导数及利用导数公式解决问题的过程中，发展学生的数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.几个常见函数的导数
(1)若f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f′(x)＝k，即(kx＋b)′＝___；
(2)若f(x)＝C(常数)，则f′(x)＝
，即C′＝___；
(3)若f(x)＝x，则f′(x)＝___，即x′＝___；
(4)若f(x)＝x2，则f′(x)＝______，即(x2)′＝____；
(5)若f(x)＝x3，则f′(x)＝_____，即(x3)′＝____；
k
0
0
1
1
2x
2x
3x2
3x2
2.基本初等函数的导数公式
αxα－1
axln
a
ex
cos
x
－sin
x
1.思考辨析，判断正误
×
√
×
√
2.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( )
A.0
B.2x
C.6
D.9
C
解析 ∵f(x)＝x2，
∴f′(x)＝2x，
∴f′(3)＝6.
D
1
4.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.
解析 f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
解 (1)y′＝0；
求简单函数的导函数的基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
思维升华
【训练1】 求下列函数的导数：
角度1 求切线的方程
题型二 利用导数公式解决切线问题
B
角度2 求参数值
【例3】 已知y＝kx是曲线y＝ln
x的一条切线，则k＝________.
角度3 曲线上的点到直线的最小距离问题
【例4】 设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解 如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，
设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).
因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).
则切点到直线y＝x的距离最小.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
思维升华
解
设切点坐标为(x0，y0).
(2)求曲线y＝ln
x的斜率等于4的切线方程.
【例5】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln
1.1≈0.095)
题型三 导数公式的实际应用
解 由题意得p′(t)＝1.1tln
1.1，
所以p′(5)＝1.15ln
1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.
由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量在某一时刻的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
思维升华
【训练3】 从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos
t表示.
求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安).
解 由q＝cos
t得q′＝－sin
t，
所以q′(5)＝－sin
5，q′(7)＝－sin
7，
即第5秒、第7秒时的电流强度分别是－sin
5安、－sin
7安.
1.熟记基本初等函数的求导公式
2.掌握1种方法
利用公式求导时，一般遵循“先化简，再求导”的原则.
3.注意1个易错点
混淆指数函数y＝ax与幂函数y＝xα的求导公式而致错.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.函数y＝3x在x＝2处的导数为( )
A.9
B.6
C.9ln
3
D.6ln
3
解析 y′＝(3x)′＝3xln
3，故所求导数为9ln
3.
C
2.(多选题)下列结论中，正确的是(
)
ACD
选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，
∴f′(1)＝3.∴选项A，C，D正确.
3.设正弦曲线y＝sin
x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A
解析 ∵(sin
x)′＝cos
x，
∴kl＝cos
x，∴－1≤tan
α≤1，又∵α∈[0，π)，
4.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.不确定
B
解析 f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，
5.(多选题)以下运算正确的是( )
BC
1
10ln
10
8.(多空题)已知P为曲线y＝ln
x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为________时，PQ最小，此时最小值为________.
(1，0)
解析 如图，当直线l与曲线y＝ln
x相切且与直线y＝x＋1平行时，
切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值.
三、解答题
9.求下列函数的导数.
21
12.如图所示，水波的半径以1
m/s的速度向外扩张，当半径为5
m
时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是________m2/s.
10π
解析 因为水波的半径以v＝1
m/s的速度向外扩张，
水波面的圆面积S＝πr2＝π(vt)2＝πt2.
所以利用瞬时变化率，可求水波面的圆面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S′|t＝t0＝2πt0.
本节内容结束5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
课标要求
素养要求
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.会使用导数公式表.
在利用导数的定义求基本初等函数的导数及利用导数公式解决问题的过程中，发展学生的数学运算素养.
自主梳理
1.几个常见函数的导数
(1)若f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f′(x)＝k，即(kx＋b)′＝k；
(2)若f(x)＝C(常数)，则f′(x)＝0，即C′＝0；
(3)若f(x)＝x，则f′(x)＝1，即x′＝1；
(4)若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，即(x2)′＝2x；
(5)若f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，即(x3)′＝3x2；
(6)若f(x)＝，则f′(x)＝－，即′＝－；
(7)若f(x)＝，则f′(x)＝，即()′＝.
2.基本初等函数的导数公式
(1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
(2)(ax)′＝axln__a(a>0且a≠1)；
(3)(logax)′＝logae＝(a>0且a≠1)；
(4)(ex)′＝ex；
(5)(ln
x)′＝；
(6)(sin
x)′＝cos__x；
(7)(cos
x)′＝－sin__x.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)若y＝，则y′＝×2＝1.(×)
提示 若y＝，则y′＝0.
(2)若f(x)＝，则f′(x)＝－.(√)
(3)若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xlog4e.(×)
提示 若f(x)＝4x，则f′(x)＝4xln
4.
(4)(ln
x)′＝是(loga
x)′＝(a>0且a≠1)的特例.(√)
2.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于( )
A.0
B.2x
C.6
D.9
答案 C
解析 ∵f(x)＝x2，
∴f′(x)＝2x，
∴f′(3)＝6.
3.若f(x)＝sin
x，则f′＝( )
A.－
B.－
C.
D.
答案 D
解析 f′(x)＝cos
x，f′＝cos＝.
4.已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.
答案 1
解析 f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝sin
；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝；
(5)y＝log3x.
解 (1)y′＝0；
(2)y′＝ln
＝－ln
2；
(3)y′＝(x－)′＝－x－＝－；
(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；
(5)y′＝(log3x)′＝.
思维升华 求简单函数的导函数的基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
【训练1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x13；
(2)y＝；
(3)y＝sin
x；
(4)y＝.
解 (1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；
(2)y′＝()＝(x)′＝x－1＝x－；
(3)y′＝(sin
x)′＝cos
x；
(4)y′＝′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－.
题型二 利用导数公式解决切线问题
角度1 求切线的方程
【例2】 函数y＝在点处的切线方程是( )
A.y＝4x
B.y＝－4x＋4
C.y＝4x＋4
D.y＝2x－4
答案 B
解析 ∵y′＝′＝－x－2，
∴k＝y′|x＝＝－＝－4，
∴切线方程为y－2＝－4，
即y＝－4x＋4.
角度2 求参数值
【例3】 已知y＝kx是曲线y＝ln
x的一条切线，则k＝________.
答案
解析 设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y′|x＝x0＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln
x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝.
角度3 曲线上的点到直线的最小距离问题
【例4】 设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解 如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.
设直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0).
因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1).
所以点P到直线y＝x的最小距离为＝.
思维升华 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
【训练2】 (1)求曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程；
(2)求曲线y＝ln
x的斜率等于4的切线方程.
解 (1)设所求切线的斜率为k.
∵y′＝()′＝x－，∴k＝y′|x＝1＝，
∴曲线y＝在点B(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，y0).
∵y′＝，曲线y＝ln
x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，
∴y′|x＝x0＝＝4，得x0＝，∴y0＝－ln
4，
∴切点为，
∴所求切线方程为y＋ln
4＝4，
即4x－y－1－ln
4＝0.
题型三 导数公式的实际应用
【例5】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln
1.1≈0.095)
解 由题意得p′(t)＝1.1tln
1.1，
所以p′(5)＝1.15ln
1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)，
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.
思维升华 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量在某一时刻的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.
【训练3】 从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos
t表示.
求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安).
解 由q＝cos
t得q′＝－sin
t，
所以q′(5)＝－sin
5，q′(7)＝－sin
7，
即第5秒、第7秒时的电流强度分别是－sin
5安、－sin
7安.
1.熟记基本初等函数的求导公式
2.掌握1种方法
利用公式求导时，一般遵循“先化简，再求导”的原则.
3.注意1个易错点
混淆指数函数y＝ax与幂函数y＝xα的求导公式而致错.
一、选择题
1.函数y＝3x在x＝2处的导数为( )
A.9
B.6
C.9ln
3
D.6ln
3
答案 C
解析 y′＝(3x)′＝3xln
3，故所求导数为9ln
3.
2.(多选题)下列结论中，正确的是( )
A.若y＝，则y′＝－
B.若y＝，则y′＝
C.若y＝，则y′＝－2x－3
D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3
答案 ACD
解析 由(xn)′＝nxn－1知，
选项A，y＝＝x－3，则y′＝－3x－4＝－；
选项B，y＝＝x，则y′＝x－≠；
选项C，y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；
选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3，
∴f′(1)＝3.
∴选项A，C，D正确.
3.设正弦曲线y＝sin
x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是( )
A.∪
B.[0，π)
C.
D.∪
答案 A
解析 ∵(sin
x)′＝cos
x，
∴kl＝cos
x，∴－1≤tan
α≤1，又∵α∈[0，π)，
∴α∈∪.
4.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.不确定
答案 B
解析 f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线.所以有2条切线.
5.(多选题)以下运算正确的是( )
A.′＝
B.(cos
x)′＝－sin
x
C.(2x)′＝2xln
2
D.(lg
x)′＝－
答案 BC
解析 对于A，′＝－，所以A不正确；对于B，因为(cos
x)′＝－sin
x，故B正确；对于C，因为(2x)′＝2xln
2，所以C正确；对于D，因为(lg
x)′＝，所以D不正确.
二、填空题
6.曲线y＝ln
x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝______.
答案 1
解析 y′＝，∴y′|x＝a＝＝1.∴a＝1.
7.若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
答案 10ln
10
解析 y′＝10xln
10，
∴y′|x＝1＝10ln
10.
8.(多空题)已知P为曲线y＝ln
x上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则当P的坐标为________时，PQ最小，此时最小值为________.
答案 (1，0)
解析 如图，当直线l与曲线y＝ln
x相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值.易知(ln
x)′＝，令＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以PQ的最小值为＝.
三、解答题
9.求下列函数的导数.
(1)y＝－2sin
；
(2)y＝log2
x2－log2
x.
解 (1)∵y＝－2sin
＝2sin
＝2sin
cos
＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
(2)∵y＝log2
x2－log2
x＝log2
x，
∴y′＝(log2
x)′＝.
10.若曲线y＝x－在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a的值.
解 ∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a).
令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a，
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，
∴a＝64.
11.已知函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N
，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________.
答案 21
解析 ∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak).
又该切线与x轴的交点为(ak＋1，0)，
∴ak＋1＝ak，
即数列{ak}是首项a1＝16，公比q＝的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，
∴a1＋a3＋a5＝21.
12.如图所示，水波的半径以1
m/s的速度向外扩张，当半径为5
m时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是________m2/s.
答案 10π
解析 因为水波的半径以v＝1
m/s的速度向外扩张，水波面的圆面积S＝πr2＝π(vt)2＝πt2.
所以利用瞬时变化率，可求水波面的圆面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S′|t＝t0＝2πt0.
当半径为5
m时，t＝5
s，所以S′|t＝5＝2π×5＝10π，
即半径为5
m时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是10π
m2/s.
13.已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程.
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
解 (1)设切点为(m，log2m)(m>0).
因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝.
由题意可得＝，解得m＝e，
所以切线方程为y－log2e＝(x－e)，即y＝x.
(2)过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝.
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设P(n，log2n)，≤n≤2，
则有＝，得n＝.
又＝ln
2e＝1，所以<<，所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.
14.已知函数f(x)＝，g(x)＝x3，则满足f′(1)＋g′(m)＝1的m的值为________.
答案 ±
解析 因为f′(x)＝′＝′＝－x－，
所以f′(1)＝－.又g′(x)＝3x2，f′(1)＋g′(m)＝1，
所以－＋3m2＝1，解得m＝±.
