4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
4.3.2 等比数列的通项公式
第一课时 等比数列的概念与通项公式
课标要求
素养要求
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.熟练掌握等比数列的判断方法.
在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
自主梳理
1.等比数列的概念
文字语言
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号语言
＝q(q为常数，q≠0，n∈N
)
2.等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列.
(2)结论：G叫作a，b的等比中项.
(3)满足的关系式：G2＝ab.
3.等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比.
4.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点.
等比数列定义的理解
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零.
(2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒.
(3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)任何两个数都有等比中项.(×)
提示 当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.
(2)等比数列的公比q＝(n∈N
).(√)
(3)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.(×)
提示 应为同一个常数.
(4)常数列既是等差数列又是等比数列.(×)
提示 0数列除外.
2.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝( )
A.32
B.－48
C.48
D.96
答案 C
解析 a5＝a1q4＝3×24＝48.
3.
等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于( )
A.－24
B.0
C.12
D.24
答案 A
解析 由x，3x＋3，6x＋6成等比数列得，
(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6.
第3项为－12，公比为＝2，
故数列的第4项为－24.
4.4与16的等比中项是________.
答案 ±8
解析 由G2＝4×16＝64得G＝±8.
题型一 等比数列通项公式的应用
【例1】 在等比数列{an}中：
(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
解 设等比数列{an}的公比为q.
(1)由得q＝.
再由a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝36得a1＝128，
则an＝a1qn－1＝128×＝＝，所以n－8＝1，所以n＝9.
(2)由得
所以an＝a1qn－1＝128×＝.
思维升华 等比数列的通项公式的应用
在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.
【训练1】 (1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( )
A.2
B.
C.2或
D.－2或
(2)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则＝( )
A.16
B.8
C.4
D.2
答案 (1)C (2)C
解析 (1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，化为2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或.故选C.
(2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，∵a3＝2，a4a6＝16，∴eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝2，,aq8＝16，))解得∴＝＝q4＝4，故选C.
题型二 等比中项及其应用
【例2】 已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
解 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
上述两式相除，得q(1－q)＝，∴q＝.
∴a1＝＝＝96.
若G是a5，a7的等比中项，则应有
G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10
＝962×＝9.
∴a5，a7的等比中项是±3.
思维升华 等比中项应用的三点注意
(1)由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).
【训练2】 (1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________.
(2)在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________.
答案 (1)2，4，8或8，4，2 (2)9
解析 (1)设这三个数所成等比数列中的项依次为，a，aq(aq≠0)，则＋a＋aq＝14，·a·aq＝64，即a＝14，a3＝64，解得a＝4，q＝或2.故这三个数所成的等比数列为8，4，2或2，4，8.
(2)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，∴a＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去).
题型三 等比数列的判定
【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N
).
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列.
(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列.
【迁移1】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N
).
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2，
∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
(2)解 由(1)知，an＋1＝2×2n－1，∴an＝2n－1.
【迁移2】 已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，求an.
解 令an＋1－A·＝，
则an＋1＝an＋·.
由已知条件知＝1，得A＝3，
所以an＋1－3×＝.
又a1－3×＝－≠0，
所以是首项为－，公比为的等比数列.
于是an－3×＝－×，
故an＝3×－2×.
思维升华 判断一个数列是否是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N
，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，n∈N
，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N
且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b，kb(k－1)≠0关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可.
注：第(1)、(3)也可作为等比数列的证明方法.
【训练3】 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明：数列{an＋4}是等比数列.
证明 ∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.
∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
∴＝2，
∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列.
1.牢记3个知识点
(1)等比数列的概念.
(2)等比数列的通项公式.
(3)等比中项.
2.掌握2种方法
(1)基本量法.
(2)等比数列的证明
①利用定义：＝q(与n无关的常数).
②利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N
).
3.注意1个易错点
两个同号的实数a，b才有等比中项，而且等比中项有两个，为±.
一、选择题
1.(多选题)下列说法正确的有( )
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22，42，62，82，…成等比数列
答案 AC
解析 A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于≠，故不是等比数列，D错.
2.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A.16
B.16或－16
C.32
D.32或－32
答案 C
解析 由a4＝a1q3，得q3＝8，即q＝2，所以a3＝＝32.
3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A.4
B.8
C.6
D.32
答案 C
解析 设a1＝4，an＝128，q＝2，则an＝a1qn－1，即128＝4×2n－1＝2n＋1，故n＋1＝7，得n＝6.
4.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A.
B.
C.
D.或
答案 C
解析 根据题意有a2＋a1＝2·a3，即q2－q－1＝0
.
因为数列各项都是正数，所以q＝，而＝＝＝，故选C.
5.(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的值可能是( )
A.
B.
C.
D.
答案 BC
解析 由题意可设三角形的三边分别为，a，aq(aq≠0).因为三角形的两边之和大于第三边，所以①当q>1时，＋a>aq，即q2－q－1<0，解得1，即q2＋q－1>0，解得综上，q的取值范围是∪，则可能的值是与.
二、填空题
6.等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为________.
答案 ±4
解析 a4＝a1q3＝×23＝1，
a8＝a1q7＝×27＝16，
∴a4与a8的等比中项为±＝±4.
7.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________.
答案 80，40，20，10
解析 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.
∴这4个数依次为80，40，20，10.
8.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________.
答案 2n＋2 63
解析 由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，得等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63.
三、解答题
9.在等比数列{an}中.
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.
解 (1)∵an＝a1·qn－1，∴4×2n－1＝128，
∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.
(2)∵an＝a1·qn－1，∴a1＝＝＝5，故a1＝5.
(3)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时，
an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2，通项公式为an＝2n或公比为－2，通项公式为an＝(－1)n－12n.
10.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3，…).证明：数列是等比数列.
证明 由a1＝1，an＋1＝Sn，得an>0，Sn>0.
由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn，
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
所以＝2·，则＝2.
因为＝＝1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
11.等比数列{an}的公比|q|>1，若{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 C
解析 由题意知{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|>1，∴{|an|}为递增或递减数列.
由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81.
∴q＝－.
12.在正项等比数列{an}中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则＝________.
答案
解析 设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
∵3a1，a3，2a2成等差数列，
∴2×a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，
∴q2－2q－3＝0，q＞0，解得q＝3.
则原式＝＝＝.
13.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式.
(1)解 根据根与系数的关系，得
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，
得－＝3.所以an＋1＝an＋.
(2)证明 因为an＋1＝an＋，
所以an＋1－＝.
若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0，
可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0.
此时Δ＝(－2)2－4×2×3＜0，
所以an≠，即an－≠0.
所以数列是以为公比的等比数列.
(3)解 当a1＝时，
a1－＝，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以an－＝×＝，
所以an＝＋，n＝1，2，3，…，
即数列{an}的通项公式为an＝＋，n＝1，2，3，….
14.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N
)，则a53的值为( )
，
，，
…
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝.(共53张PPT)
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
4.3.2 等比数列的通项公式
第一课时
等比数列的概念与通项公式
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等比数列与指数函数的关系.
3.熟练掌握等比数列的判断方法.
课标要求
素养要求
在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.等比数列的概念
同一个常数
公比
q
2.等比中项
(1)前提：三个数a，G，b成等比数列.
(2)结论：__叫作a，b的等比中项.
(3)满足的关系式：G2＝____.
G
ab
3.等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝_______.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比.
a1·qn－1
4.等比数列与指数函数的关系
孤立
点睛
1.思考辨析，判断正误
×
(1)任何两个数都有等比中项.(
)
提示 当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.
√
(3)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.(
)
提示 应为同一个常数.
×
(4)常数列既是等差数列又是等比数列.(
)
提示 0数列除外.
×
2.等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝( )
A.32
B.－48
C.48
D.96
C
解析 a5＝a1q4＝3×24＝48.
3.
等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于( )
A.－24
B.0
C.12
D.24
解析 由x，3x＋3，6x＋6成等比数列得，
(3x＋3)2＝x(6x＋6)，
解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去)，第2项为－6.
A
故数列的第4项为－24.
±8
4.4与16的等比中项是________.
解析 由G2＝4×16＝64得G＝±8.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 等比数列通项公式的应用
解 设等比数列{an}的公比为q.
再由a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝36得a1＝128，
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
等比数列的通项公式的应用
在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.
思维升华
【训练1】 (1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( )
C
解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
∵a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，
∴a1(1＋q3)＝18，a1(q＋q2)＝12，q≠－1，化为2q2－5q＋2＝0，
C
解
设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，
∵a3＝2，a4a6＝16，
【例2】 已知等比数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项.
题型二 等比中项及其应用
解 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
思维升华
【训练2】 (1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三
个数是_______________________.
2，4，8或8，4，2
(2)在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________.
9
题型三 等比数列的判定
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列.
证明 当n≥2时，
【迁移1】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N
).2
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，
∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2，
∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
(2)解 由(1)知，an＋1＝2×2n－1，
∴an＝2n－1.
判断一个数列是否是等比数列的常用方法
思维升华
思维升华
【训练3】 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明：数列{an＋4}是等比数列.
证明 ∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.
∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
1.牢记3个知识点
(1)等比数列的概念.
(2)等比数列的通项公式.
(3)等比中项.
2.掌握2种方法
(1)基本量法.
(2)等比数列的证明
课堂小结
3.注意1个易错点
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.(多选题)下列说法正确的有( )
A.等比数列中的项不能为0
B.等比数列的公比的取值范围是R
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1
D.22，42，62，82，…成等比数列
解析 A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；
AC
2.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )
A.16
B.16或－16
C.32
D.32或－32
C
3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A.4
B.8
C.6
D.32
C
解析 设a1＝4，an＝128，q＝2，则an＝a1qn－1，
即128＝4×2n－1＝2n＋1，故n＋1＝7，得n＝6.
C
5.(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的值可能是( )
BC
±4
7.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为____________________.
80，40，20，10
解析 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，
∴这4个数依次为80，40，20，10.
8.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________.
2n＋2
63
解析 由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，
又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，
所以b2＝8，b3＝16，得等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.
又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63.
三、解答题
9.在等比数列{an}中.
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.
11.等比数列{an}的公比|q|>1，若{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18，36，81}中，则q等于( )
C
解析 由题意知{an}中的项必然有正有负，
∴q<0.又|q|>1，
∴{|an|}为递增或递减数列.2
由此可得{an}的连续四项为－24，36，－54，81.
解析 设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
∴q2－2q－3＝0，q＞0，解得q＝3.
13.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
14.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N
)，则a53的值为( )
C
本节内容结束第二课时 等比数列的性质及实际应用
课标要求
素养要求
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养；通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
自主梳理
1.推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N
).
2.等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am·an＝ap·aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am·an＝a.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
3.两等比数列合成数列的性质
若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.(√)
(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N
)，则am·an＝ap.(×)
提示 ∵{an}为等比数列，m＋n＝p，∴am·an＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2.又知ap＝a1qp－1，∴am·an与ap不一定相等.
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(×)
提示 反例：若{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.(×)
提示 反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.
2.(多选题)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有( )
A.{can}(c为常数)
B.{an＋an＋1}
C.{an·an＋1}
D.{a}
答案 CD
解析 当c＝0时，{can}不是等比数列；当数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，不是等比数列；由等比数列的定义，知选项CD中的数列是等比数列.
3.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝( )
A.24
B.30
C.54
D.108
答案 C
解析 由a＝a4a12得a12＝eq
\f(a,a4)＝54.
4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.
答案
解析 设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28，28q石，∴＋28＋28q＝98，
∴q＝2或.
又0题型一 灵活设项求解等比数列
【例1】 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.
解 法一 设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a.
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或.，，.
法二 设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因此这四个数为，a－d，a，a＋d.
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或，，，.
法三 设第一个数为a，则第四个数为21－a，
设第二个数为b，则第三个数为18－b，
则这四个数为a，b，18－b，21－a.
由题意得
解得或
故这四个数为3，6，12，18或，，，.
思维升华 巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三个数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.
(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.
【训练1】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
解 法一 设四个数依次为a－d，a，a＋d，，由条件得解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
法二 设四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝3，q＝时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
题型二 等比数列性质的应用
【例2】 已知{an}为等比数列.
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
【迁移1】 在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.
解 由等比数列的性质得a3a5＝a1a7＝4，又由例1(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，
若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；
若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n.
【迁移2】 把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 ∵a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，
∴a1a2a3…a10＝1，
则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.
思维升华 巧用等比数列的性质解题
(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.
①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
【训练2】 (1)在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝( )
A.或
B.
C.或
D.或
(2)公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
答案 (1)A (2)16
解析 (1)由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2.
若a4＝2，a14＝3，则q10＝，即＝；
若a4＝3，a14＝2，则q10＝，即＝.
(2)由a3＋a11＝2a7，且2a3－a＋2a11＝0，得4a7－a＝0得a7＝4(a7＝0不合题意，舍去)，
所以b6b8＝b＝a＝16.
题型三 等比数列的实际应用
【例3】 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N
)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
思维升华 求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.
【训练3】 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.
答案 2
048
解析 依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×()n－1，所以第10个正方形的面积S＝a＝[2×()9]2＝4×29＝2
048.
1.牢记2个知识点
(1)an＝am·qn－m(m，n∈N
).
(2)等比数列项的运算性质.
2.掌握2种常用方法
(1)等比数列的常见设法.
(2)解决等比数列的问题，通常考虑两种方法：
①基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量.
②数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到.
3.注意1个易错点
解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，不要在运算中出现问题.
一、选择题
1.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝( )
A.6
B.2
C.2或6
D.－2
答案 B
解析 由题知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝a＋a10＝2，故选B.
2.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 D
解析 原式＝log2(a1a2a3…a8)＝log2(a2a7)4＝4log24＝8.
3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项的和为( )
A.－24
B.－3
C.3
D.8
答案 A
解析 根据题意得
a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
解得d＝0(舍去)，d＝－2，
所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.
4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为( )
A.2
B.
C.3
D.
答案 D
解析 法一 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝.故选D.
法二 依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)＝a＝27.所以a5＝.故选D.
5.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N
)，则以下结论一定正确的是( )
A.数列{bn}为等比数列，公比为qm
B.数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C.数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D.数列{cn}为等比数列，公比为qmm
答案 AC
解析 等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1，所以＝＝qm，所以数列{bn}为等比数列，公比为qm；cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aqm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aqm2(n－1)＋＝aqm2(n－1)＋，则＝eq
\f(aqnm2＋\f(（m－1）m,2),aqm2（n－1）＋\f(（m－1）,2))＝qm2，所以数列{cn}为等比数列，公比为qm2.
二、填空题
6.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
答案 －6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，
∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6.
7.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
答案 8
解析 由等比数列的性质，得a3a11＝a，∴a＝4a7.
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
8.已知等比数列{an}的公比为－，则的值是________.
答案 －2
解析 ∵等比数列{an}的公比为－，
则＝＝－2.
三、解答题
9.某城市2015年年底人口为100万人，人均住房面积为5米2.该城市拟自2016年年初开始每年新建住房245万米2，到2023年年底时，人均住房面积为24米2，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中0解 设该城市的人口年平均增长率为x(0由题意知该城市2015年年底到2023年年底人口数量组成等比数列，记为{an}.
则a1＝100，q＝1＋x，
2023年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8.
2023年年底，住房总面积为100×5＋8×245＝2
460(万米2).
由题意得＝24，即(1＋x)8＝.
∵(1＋x)8≈1＋8x(0∴1＋8x≈，∴x≈0.003.
∴该城市的人口年平均增长率约是0.3%.
10.在等比数列{an}(n∈N
)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.
(1)证明 因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an
＝log2＝log2q(q>0)为常数，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)解 因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1>1，
所以b1＝log2a1>0，又因为b1b3b5＝0，所以b5＝0，
即即解得
因此Sn＝4n＋(－1)
＝.
又因为d＝log2q＝－1，
所以q＝.又b1＝log2a1＝4，
即a1＝16，所以an＝a1·qn－1＝25－n(n∈N
).
11.(多选题)已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是( )
A.ak·ak＋1>0
B.ak·ak＋2>0
C.ak·ak＋1·ak＋2>0
D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3>0
答案 BD
解析 对于A，当q<0时，ak·ak＋1<0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝(akq)2>0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝(ak＋1)3>0不一定成立，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝(ak＋1·ak＋2)2>0一定成立，故选BD.
12.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
答案 1
024
解析 设等比数列{an}的公比为q，
a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，②
②÷①得q48＝8，q16＝2，
∴a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a·q166
＝a·q6·q160＝(a·q6)(q16)10＝210＝1
024.
13.已知0＜r＜p＜100，在一容器内装有浓度为r%的溶液1
kg，注入浓度为p%的溶液
kg，搅匀后倒出混合液
kg.如此反复进行下去.
(1)写出第1次混合后溶液的浓度a1%；
(2)设第n次混合后溶液的浓度为an%，试用an表示an＋1；
(3)写出数列{an}的通项公式.
解 (1)a1%＝＝(p＋4r)%.
(2)an＋1%＝＝(p＋4an)%，
即an＋1＝(p＋4an).
(3)由(2)知an＋1＝(p＋4an)，
即an＋1－p＝(an－p)，
所以{an－p}是一个公比为的等比数列，首项为a1－p＝(r－p)，
所以an－p＝(r－p)＝(r－p)，
所以an＝p－(p－r).
14.设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝________；a1a2…an的最大值为________.
答案 64
解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得解得
∴an＝8×＝.
∴a1a2…an＝＝.
令f(n)＝n(n－7)＝(n2－7n)＝－，
∴当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值，即f(n)min＝f(3)＝f(4)＝－6，
∴a1a2…an的最大值为＝64.(共51张PPT)
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
4.3.2 等比数列的通项公式
第二课时 等比数列的性质及实际应用
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
课标要求
素养要求
通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养；通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.推广的等比数列的通项公式
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝______，an＝am·qn－m(m，n∈N
).
a1qn－1
2.等比数列项的运算性质
ap·aq
积
3.两等比数列合成数列的性质
等比
1.思考辨析，判断正误
√
(1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项.(
)
(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N
)，则am·an＝ap.(
)
×
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.(
)
提示 反例：若{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.(
)
提示 反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.
×
×
2.(多选题)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有( )
CD
解析 当c＝0时，{can}不是等比数列；当数列{an}的公比q＝－1时，
an＋an＋1＝0，不是等比数列；
由等比数列的定义，知选项CD中的数列是等比数列.
3.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝( )
A.24
B.30
C.54
D.108
C
4.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、
丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 灵活设项求解等比数列
【例1】 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.
法二 设后三个数分别为a－d，a，a＋d，
法三 设第一个数为a，则第四个数为21－a，
思维升华
【训练1】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
【例2】 已知{an}为等比数列.
题型二 等比数列性质的应用
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
【迁移1】 在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an.
解 由等比数列的性质得a3a5＝a1a7＝4，
又由例1(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，
若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3；
【迁移2】 把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
解 ∵a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)
＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300，
∴a1a2a3…a10＝1，
则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0.
巧用等比数列的性质解题
(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法.
①基本思路：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解；
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量.
思维升华
A
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【例3】 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N
)年后这辆车的价值；
题型三 等比数列的实际应用
解 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，
由题意，
得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1.
∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
解由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要.
思维升华
【训练3】 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.
2
048
1.牢记2个知识点
(1)an＝am·qn－m(m，n∈N
).
(2)等比数列项的运算性质.
2.掌握2种常用方法
(1)等比数列的常见设法.
(2)解决等比数列的问题，通常考虑两种方法：
①基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量.
②数列性质：等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等、等比中项的性质等在解题中经常被用到.
课堂小结
3.注意1个易错点
解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，不要在运算中出现问题.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝( )
A.6
B.2
C.2或6
D.－2
解析 由题知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，
B
所以a2<0，a18<0，故a10<0，
2.在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝( )
A.2
B.4
C.6
D.8
D
解析 原式＝log2(a1a2a3…a8)＝log2(a2a7)4＝4log24＝8.
3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项的和为( )
A.－24
B.－3
C.3
D.8
A
解析 根据题意得
4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为( )
D
5.(多选题)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋
am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N
)，则以下结论一定正确的是( )
A.数列{bn}为等比数列，公比为qm
B.数列{bn}为等比数列，公比为q2m
C.数列{cn}为等比数列，公比为qm2
D.数列{cn}为等比数列，公比为qmm
A
C
二、填空题
6.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
-6
7.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
8
－2
三、解答题
9.某城市2015年年底人口为100万人，人均住房面积为5米2.该城市拟自2016年年初开始每年新建住房245万米2，到2023年年底时，人均住房面积为24米2，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中0解 设该城市的人口年平均增长率为x(0由题意知该城市2015年年底到2023年年底人口数量组成等比数列，记为{an}.
则a1＝100，q＝1＋x，
2023年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8.
2023年年底，住房总面积为100×5＋8×245＝2
460(万米2).
10.在等比数列{an}(n∈N
)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
证明 因为bn＝log2an，
所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.
解 因为b1＋b3＋b5＝6，
所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.
又因为a1>1，所以b1＝log2a1>0，又因为b1b3b5＝0，所以b5＝0，
11.(多选题)已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是( )
A.ak·ak＋1>0
B.ak·ak＋2>0
C.ak·ak＋1·ak＋2>0
D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3>0
BD
解析 对于A，当q<0时，ak·ak＋1<0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝(akq)2>0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝(ak＋1)3>0不一定成立，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝(ak＋1·ak＋2)2>0一定成立，故选BD.
12.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
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解析 设等比数列{an}的公比为q，
(1)写出第1次混合后溶液的浓度a1%；
(2)设第n次混合后溶液的浓度为an%，试用an表示an＋1；
(3)写出数列{an}的通项公式.
14.设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则an＝________；a1a2…an的最大值为________.
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解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，
本节内容结束
