章末复习提升
要点一 等差、等比数列的判定
1.判定等差数列的方法
(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法.
2.判定等比数列的方法
(1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法.
注：以上的第三种方法只能作为判定方法，而不能作为证明方法.
【例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0得
Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
所以－＝2，
又＝＝2，
所以是首项为2，公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)可得＝2n，所以Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－；
当n＝1时，a1＝，不符合an＝－.
故an＝
【训练1】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N
.
(1)证明：{an－1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 ∵Sn＝n－5an－85，
∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，
两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，
整理得：an＋1＝an＋，
∴an＋1－1＝(an－1)，
又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，
∴a1－1＝－14－1＝－15，
∴数列{an－1}是以－15为首项，为公比的等比数列.
(2)解 由(1)可知an－1＝－15×，
∴an＝1－15×.
要点二 求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的重要内容之一，它把数列各项的性质集于一身.常用的求通项公式的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法等.
【例2】 已知数列{an}中，a1＝2，且满足an＋1＝an＋2n＋n，求数列{an}的通项公式.
解 由条件知an＋1－an＝2n＋n，则a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋2，a4－a3＝23＋3，……，an－an－1＝2n－1＋n－1，累加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n－1＋n－1)，
∴an－a1＝(21＋22＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋n－1)
＝2n－2＋，
∵a1＝2，∴an＝2n＋.
【训练2】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4－an－，求an与Sn.
解 ∵Sn＝4－an－，
∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an＋－.
∴an＝an－1＋.
∴－＝2，
∴2nan－2n－1an－1＝2，
∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.
∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，
∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.
∴an＝n·，n∈N
，
∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.
要点三 等差、等比数列的综合问题
等差、等比数列是两类基本的数列，两数列相结合的问题经常考查，特别是通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项是命题的热点.
【例3】 在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.
解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由题意，可得解得
所以an＝－1＋(n－1)×(－3)＝－3n＋2.
(2)由题意，得an＋bn＝qn－1，所以bn＝3n－2＋qn－1.
当q＝1时，bn＝3n－1，
则Sn＝＝；
当q≠1时，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝[1＋4＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋…＋qn－1)
＝＋
＝＋.
综上，Sn＝
【训练3】 已知等差数列{an}的公差d为2，且a1，a3，a4成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{an}的前n项和为Sn，求S20的值.
解 (1)∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，
∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，
解得a1＝－8.
∴{an}的通项公式为an＝2n－10.
(2)S20＝
＝10(－8＋2×20－10)＝220.
要点四 数列求和问题
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
【例4】 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，n∈N
，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn<成立的最大的正整数n.
解 (1)设{an}的公差为d.
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
可得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，又a1＝2，
∴(3＋d)2＝3(3＋3d)，解得d＝3(d＝0舍去)，
则an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
(2)bn＝＝＝，
∴Sn＝
＝＝，
则Sn<，即<，解得n<12，
则所求最大的正整数n为11.
【训练4】 设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N
.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求Tn.
(1)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，
即(n－1)Sn＝2nSn－1＋n(n－1)，则＝2·＋1，
所以＋1＝2·，
又＋1＝2，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)解 由(1)知＋1＝2×2n－1＝2n，
所以Sn＝n·2n－n，
故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).
设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，
则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，
所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以M＝(n－1)×2n＋1＋2，
所以Tn＝(n－1)×2n＋1＋2－.(共23张PPT)
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要点一 等差、等比数列的判定
1.判定等差数列的方法
(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法.
2.判定等比数列的方法
(1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法.
注：以上的第三种方法只能作为判定方法，而不能作为证明方法.
证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0得
Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
【训练1】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N
.
(1)证明：{an－1}是等比数列；
证明 ∵Sn＝n－5an－85，
∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，
两式相减得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，
又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，
∴a1－1＝－14－1＝－15，
(2)求数列{an}的通项公式.
数列的通项公式是数列的重要内容之一，它把数列各项的性质集于一身.常用的求通项公式的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法等.
要点二 求数列的通项公式
【例2】 已知数列{an}中，a1＝2，且满足an＋1＝an＋2n＋n，求数列{an}的通项公式.
解 由条件知an＋1－an＝2n＋n，则a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋2，a4－a3＝23＋3，……，an－an－1＝2n－1＋n－1，累加得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(2n－1＋n－1)，
∴an－a1＝(21＋22＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋n－1)
∴2nan－2n－1an－1＝2，
∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.
∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.
等差、等比数列是两类基本的数列，两数列相结合的问题经常考查，特别是通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项是命题的热点.
要点三 等差、等比数列的综合问题
【例3】 在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
所以an＝－1＋(n－1)×(－3)＝－3n＋2.
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求数列{bn}的前n项和Sn.
解
由题意，得an＋bn＝qn－1，所以bn＝3n－2＋qn－1.
当q＝1时，bn＝3n－1，
当q≠1时，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝[1＋4＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋…＋qn－1)
【训练3】 已知等差数列{an}的公差d为2，且a1，a3，a4成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
解 ∵a1，a3，a4成等比数列，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，
∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，
解得a1＝－8.
∴{an}的通项公式为an＝2n－10.
(2)设{an}的前n项和为Sn，求S20的值.
＝10(－8＋2×20－10)＝220.
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
要点四 数列求和问题
【例4】 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
解 设{an}的公差为d.
由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，
可得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，又a1＝2，
∴(3＋d)2＝3(3＋3d)，解得d＝3(d＝0舍去)，
则an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
【训练4】 设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，n∈N
.
证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
所以(n－1)(Sn－Sn－1)＝(n＋1)Sn－1＋n(n－1)，
所以Sn＝n·2n－n，
故Tn＝(1×2＋2×22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n).
设M＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，
则2M＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1，
所以－M＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以M＝(n－1)×2n＋1＋2，
本节内容结束
