第4章
数 列
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用
数列的历史悠久，中国、古印度、阿拉伯、古希腊等数学历史中都有数列的主题，分布广泛，人类对数列的认识很早，不晚于函数，而且各个国家、地区对数列的认识水平较深入.
《庄子》中有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”；古代《易经》中有“是故易有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，这里包含了数列的涵意.中国的刘徽《九章算术》、西方的欧几里得《几何原本》都有丰富的数列内容.它们表明，数列是非常古老的数学对象，无论东方还是西方，古往今来，数列始终是数学研究的重要问题之一，历史悠久，文化灿烂.
[读图探新]——发现现象背后的知识
发现规律的能力是各行各业的人都需要具备的，因此，很多职业测试中都会有数字推理的考查内容.例如，以下是“行政职业能力测验”中的一道题，你能快速地做出来并说明理由吗？
根据1，2，4，7，( )，16中各数字之间的关系，填出括号中的数.
解答此类题目的关键无疑是要找出其中数字出现的规律.事实上，很久以前人们就开始了对类似问题的研究.
例如，古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4，9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示.
依据这一规律，我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等.
你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现.
19世纪的时候，门捷列夫将当时已有的原子量约为7至14的元素按从小到大的顺序排列后，得到了如下结果：
元素 锂 硼 碳 铍 氮
原子量
7
11
12
13.5
14
化合价
＋1
＋3
＋4
＋2
＋5
仔细观察，你是否发现了其中的不“和谐”的地方？
门捷列夫当时猜测，铍的原子量可能不是13.5，而应该约为9，这一猜测后来在实验室得到了验证！
数学上，通常将按一定顺序排列的数称为数列.本章我们要学习的就是数列的基础知识，以及两种规律比较常见的数列.
4.1 数 列
第一课时 数列的概念与表示
课标要求
素养要求
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(表格、图象、解析法).2.了解数列是一种特殊函数.
从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.
自主梳理
1.数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项.项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列.
2.数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项，…，an称为第n项.
3.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.
4.数列的通项公式
一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示.
数列的通项公式
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N
或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式；
(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是数列中的项，如果是的话，是第几项；
(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.有的数列的通项公式，形式上不一定唯一.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)1，1，1，1是一个数列.(√)
(2)数列1，3，5，7，…的第10项是21.(×)
提示 第10项并不一定是21，也可能是其它任何数.
(3)每一个数列都有通项公式.(×)
提示 并不是每一个数列都有通项公式.
(4)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.(×)
提示 也可能是摆动数列，如：1，－1，1，－1，….
2.下列叙述正确的是( )
A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C.数列0，1，0，1，…是常数列
D.数列是递增数列
答案 D
解析 由数列的通项an＝知，
an＋1－an＝－＝＞0，
即数列是递增数列，故选D.
3.若数列{an}中，an＝2n，则16是这个数列的( )
A.第16项
B.第8项
C.第4项
D.第2项
答案 C
解析 令an＝2n＝16，得n＝4.
4.若数列{an}的通项公式为an＝则a3＋a6＝________.
答案 8
解析 a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8.
题型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
【例1】 写出下面各数列的一个通项公式.
(1)，，，，，…；
(2)6，66，666，6
666，…；
(3)－1，，－，，－，，…；
(4)，1，，，….
解 (1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21，22，23，24，25，所以它的一个通项公式为an＝.
(2)这个数列的前4项可写为(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)＝(10n－1).
(3)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一个通项公式为
an＝
(4)将数列变形为，，，，…，对于分子3，5，7，9，…，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，所以原数列的一个通项公式为an＝(n∈N
).
思维升华 用观察法求数列的通项公式的一般规律
(1)一般数列通项公式的求法
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题.
(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
【训练1】 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；
(2)，2，，8；
(3)9，99，999，9
999.
解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N
.
(3)各项加1后，变为10，100，1
000，10
000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N
.
题型二 数列通项公式的简单应用
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
).
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.
解 (1)∵an＝，
∴a3＝＝，a4＝＝，
∴a3＋a4＝＋＝.
(2)若为数列{an}中的项，则＝，
∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，∴是数列{an}的第10项.
思维升华 判断某数值是否为某数列的项的方法
先假定它是该数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是该数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.
【训练2】 在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
解 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则
解得∴an＝4n－2.
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N
，
∴88不是数列{an}中的项.
题型三 数列的性质
【例3】 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N
)，数列{an}是单调递增的，求实数k的取值范围.
解 ∵数列{an}是单调递增的，
∴an
即n2＋kn<(n＋1)2＋k(n＋1)对任意n∈N
恒成立，
整理得k>－2n－1对任意n∈N
恒成立.
∵f(n)＝－2n－1(n∈N
)的最大值为－3，
∴k>－3，即k的取值范围是(－3，＋∞).
【迁移1】 求本例中k＝－13时数列{an}的最小项.
解 由题意知n2－13n＝－，
由于函数f(x)＝－在上是减函数，在上是增函数，故当n＝6或7时，f(n)＝n2－13n取得最小值－42.
所以数列{an}的最小项为a6＝a7＝－42.
【迁移2】 本例中“单调递增”改为“单调递减”，那么这样的实数k是否存在？如果存在，求实数k的范围，若不存在说明理由.
解 要使{an}是单调递减数列，
必须an>an＋1恒成立，
即n2＋kn>(n＋1)2＋k(n＋1)对任意n∈N
恒成立.
整理得k<－2n－1对任意n∈N
恒成立.
因为f(n)＝－2n－1(n∈N
)没有最小值，
故不存在实数k使an＝n2＋kn单调递减.
思维升华 1.函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调，则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调.
2.求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若则an为最大项；若则an为最小项.
【训练3】 已知数列{an}的通项公式为an＝，
(1)讨论数列{an}的单调性；
(2)求数列{an}的最大项和最小项.
解 (1)数列{an}的通项公式an＝＝1＋，
据此可得1>a1>a2>a3>…>a15，且a16>a17>a18>a19>…>1，所以当n<16时，数列{an}单调递减；当n≥16时，数列{an}单调递减.
(2)由(1)，知数列{an}的最大项为a16，最小项为a15.
1.掌握3个知识点
(1)数列的概念.
(2)数列的表示.
(3)数列的通项公式.
2.牢记2种方法
(1)求通项公式的方法.
(2)求数列的最大(小)项的方法.
3.注意1个易错点
忽略n∈N
.
一、选择题
1.已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A.1，0，1，0
B.0，1，0，1
C.，0，，0
D.2，0，2，0
答案 A
解析 当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
2.若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
答案 A
解析 an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列.
3.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( )
A.an＝n2－n＋1
B.an＝
C.an＝
D.an＝n2＋1
答案 C
解析 令n＝1，2，3，4，代入A，B，C，D检验即可.排除A，B，D，从而选C.
4.(多选题)数列{an}的通项公式为an＝n＋，则( )
A.当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3
B.当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0
C.当0D.当a<2时，{an}为递增数列
答案 ABCD
解析 当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；
当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；
令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0若{an}是递增数列，则an＋1>an，即n＋1＋>n＋，得a5.已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的( )
A.第127项
B.第128项
C.第129项
D.第130项
答案 B
解析 将该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组1项：；第二组2项：，；第三组3项：，，；第四组第4项：，，，；……容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组的第八位.由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项.
二、填空题
6.323是数列{n(n＋2)}的第________项.
答案 17
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).
∴323是数列{n(n＋2)}中的第17项.
7.观察数列的特点，用一个适当的数填：1，，，，________，，….
答案 3
解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为＝3.
8.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N
，该数列从第________项开始递增，an的最小值为________.
答案 4 －36
解析 由题意，an＋1－an＝2n－7，令2n－7>0，得n>，故数列{an}从第4项开始递增.
an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，故当n＝4时，{an}的最小值为a4＝－36.
三、解答题
9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
(1)－1，7，－13，19，…；
(2)0.8，0.88，0.888，….
解 (1)符号问题可通过(－1)n表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.
10.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.
(1)20是不是{an}中的一项？
(2)当n取何值时，an＝0?
解 (1)令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍).
∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项.
(2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，
∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，
∴当n＝11时，an＝0.
11.如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1，2，3，…)，则第n－2(n≥3)个图形中共有________个顶点.
答案 n2＋n
解析 观察5个图形可知，第n个图形是由正n＋2边形的每条边都向外“扩展”一个新的正n＋2边形而得到的，故第n个图形的顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)2＝(n＋2)(n＋3).从而第n－2(n≥3)个图形中的顶点个数为n(n＋1)＝n2＋n.
12.已知数列{an}的通项公式是an＝
则a3＋＝________.
答案
解析 a3＝2－3＝，a4＝＝，
∴＝，∴a3＋＝.
13.已知数列{an}的通项公式是an＝.
(1)判断是不是数列{an}中的项；
(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内；
(3)在区间内有没有数列{an}中的项？若有，是第几项；若没有，请说明理由.
解 (1)∵an＝＝＝，
∴由an＝＝，解得n＝.
∵不是正整数，∴不是数列{an}中的项.
(2)∵an＝＝＝1－，n∈N
，0<<1，
∴0(3)令则解得又n∈N
，∴n＝2.
故在区间内有数列{an}中的项，且只有一项，是第二项，a2＝.
14.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2
019中被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为( )
A.134
B.135
C.136
D.137
答案 B
解析 被3除余1且被5除余1的数就是被15除余1的数，故an＝15n－14.
由an＝15n－14≤2
019，得n≤，
又n∈N
，则n≤135，
故此数列的项数为135.(共47张PPT)
第4章
4.1
数列
第一课时
数列的概念与表示
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(表格、图象、解析法).
2.了解数列是一种特殊函数.
课标要求
素养要求
从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的___.项数有限的数列叫作_______数列，项数无限的数列叫作_______数列.
项
有穷
无穷
2.数列的表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为_____，其中a1称为数列{an}的第1项或_____，a2称为第2项，…，an称为第n项.
{an}
首项
3.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数
_______，当自变量按照__________的顺序依次取值时，所对应的一列______.
an＝f(n)
从小到大
函数值
4.数列的通项公式
一般地，如果数列{an}的________与_______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.数列可以用________来描述，也可以通过____或______来表示.
第n项
序号n
通项公式
列表
图象
点睛
公式实际上是一个以正整数集N
或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式；
(2)如果知道了数列的通项数列的通项公式
(1)数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是数列中的项，如果是的话，是第几项；
(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.有的数列的通项公式，形式上不一定唯一.
1.思考辨析，判断正误
√
(1)1，1，1，1是一个数列.(
)
(2)数列1，3，5，7，…的第10项是21.(
)
提示 第10项并不一定是21，也可能是其它任何数.
(3)每一个数列都有通项公式.(
)
提示 并不是每一个数列都有通项公式.
(4)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.(
)
提示 也可能是摆动数列，如：1，－1，1，－1，….
×
×
×
2.下列叙述正确的是( )
D
3.若数列{an}中，an＝2n，则16是这个数列的( )
A.第16项
B.第8项
C.第4项
D.第2项
解析 令an＝2n＝16，得n＝4.
C
8
解析 a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
【例1】 写出下面各数列的一个通项公式.
(2)6，66，666，6
666，…；
用观察法求数列的通项公式的一般规律
(1)一般数列通项公式的求法
思维升华
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题.
(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
思维升华
【训练1】 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(3)9，99，999，9
999.
解
各项加1后，变为10，100，1
000，10
000，…，此数列的通项公式为10n，
可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N
.
题型二 数列通项公式的简单应用
判断某数值是否为某数列的项的方法
先假定它是该数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是该数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.
思维升华
【训练2】 在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断88是不是数列{an}中的项？
解 (1)设an＝kn＋b(k≠0)，则
(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N
，
∴88不是数列{an}中的项.
【例3】 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N
)，数列{an}是单调递增的，求实数k的取值范围.
题型三 数列的性质
解 ∵数列{an}是单调递增的，
∴an即n2＋kn<(n＋1)2＋k(n＋1)对任意n∈N
恒成立，
整理得k>－2n－1对任意n∈N
恒成立.
∵f(n)＝－2n－1(n∈N
)的最大值为－3，
∴k>－3，即k的取值范围是(－3，＋∞).
【迁移1】 求本例中k＝－13时数列{an}的最小项.
故当n＝6或7时，f(n)＝n2－13n取得最小值－42.
故当n＝6或7时，f(n)＝n2－13n取得最小值－42.2
【迁移2】 本例中“单调递增”改为“单调递减”，那么这样的实数k是否存在？如果存在，求实数k的范围，若不存在说明理由.
解 要使{an}是单调递减数列，
必须an>an＋1恒成立，
即n2＋kn>(n＋1)2＋k(n＋1)对任意n∈N
恒成立.
整理得k<－2n－1对任意n∈N
恒成立.
因为f(n)＝－2n－1(n∈N
)没有最小值，
故不存在实数k使an＝n2＋kn单调递减.
1.函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调，则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调.
思维升华
(1)讨论数列{an}的单调性；
(2)求数列{an}的最大项和最小项.
据此可得1>a1>a2>a3>…>a15，且a16>a17>a18>a19>…>1，
所以当n<16时，数列{an}单调递减；当n≥16时，数列{an}单调递减.
(2)由(1)，知数列{an}的最大项为a16，最小项为a15.
1.掌握3个知识点
(1)数列的概念.
(2)数列的表示.
(3)数列的通项公式.
2.牢记2种方法
(1)求通项公式的方法.
(2)求数列的最大(小)项的方法.
3.注意1个易错点
忽略n∈N
.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
A
解析 当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
2.若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
A
解析 an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，
∴an＋1>an，即{an}是递增数列.
3.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( )
C
解析 令n＝1，2，3，4，代入A，B，C，D检验即可.排除A，B，D，
从而选C.
ABCD
A.当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3
B.当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0
C.当0D.当a<2时，{an}为递增数列
B
A.第127项
B.第128项
C.第129项
D.第130项
容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，
二、填空题
6.323是数列{n(n＋2)}的第________项.
17
解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).
∴323是数列{n(n＋2)}中的第17项.
3
8.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N
，该数列从第________项开始递增，an的最小值为________.
4
－36
解析 由题意，an＋1－an＝2n－7，
an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，故当n＝4时，{an}的最小值为a4＝－36.
三、解答题
9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
(1)－1，7，－13，19，…；
(2)0.8，0.88，0.888，….
解 (1)符号问题可通过(－1)n表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).
10.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.
(1)20是不是{an}中的一项？
(2)当n取何值时，an＝0?
解 (1)令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍).
∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项.
(2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，
∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，
∴当n＝11时，an＝0.
11.如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而
来的(n＝1，2，3，…)，则第n－2(n≥3)个图形
中共有________个顶点.
n2＋n
解析 观察5个图形可知，第n个图形是由正n＋2边形的每条边都向外“扩展”一个新的正n＋2边形而得到的，故第n个图形的顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)2＝(n＋2)(n＋3).从而第n－2(n≥3)个图形中的顶点个数为n(n＋1)＝n2＋n.
14.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2
019中被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为( )
A.134
B.135
C.136
D.137
B
解析 被3除余1且被5除余1的数就是被15除余1的数，故an＝15n－14.
又n∈N
，则n≤135，
故此数列的项数为135.
本节内容结束第二课时 数列的递推公式
课标要求
素养要求
1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法.
通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.
自主梳理
1.数列的递推公式
一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也是给定数列的一种方法.
2.数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)递推公式是表示数列的一种方法.(√)
(2)所有的数列都有递推公式.(×)
提示 并不是所有的数列都有递推公式，如－1，8，36，278，….
(3)数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N
，则a2＝2a1.(√)
(4)利用an＋1＝2an，n∈N
可以确定数列{an}.(×)
提示 只有给出a1的值，才可以确定数列{an}.
2.已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第三项是( )
A.1
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题知a2＝×1＋＝1，a3＝×1＋＝.
3.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A.an＝an－1＋2(n≥2)
B.an＝2an－1(n≥2)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
答案 C
解析 A，B中没有说明某一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.
4.已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝(n＝1，2，3，…)，则a4＝________，猜想其通项公式是________.
答案 an＝
解析 ∵数列{an}的首项a1＝1，
an＋1＝(n＝1，2，3，…)，∴a2＝＝，
同理可得a3＝，a4＝.猜想其通项公式是an＝.
题型一 由数列的递推公式求数列的项
【例1】 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N
，求a2
021.
解 a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，
∴a2
021＝a4×505＋1＝a1＝2.
思维升华 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.
【训练1】 (多选题)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，则能使an＝3的n可以为( )
A.22
B.24
C.26
D.28
答案 AD
解析 由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3.
所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3.
题型二 根据递推公式求通项
【例2】 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
解 (1)∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－(n≥2).
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N
).
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝···…···a1＝···…·××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N
).
【迁移1】 将例题(1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
”变为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)”，求数列{an}的通项公式.
解 ∵anan－1＝an－1－an，
∴－＝1.
∴＝＋＋＋…＋
＝2＋
＝n＋1.
∴＝n＋1，
∴an＝(n≥2).
又∵n＝1时，a1＝，符合上式，
∴an＝(n∈N
).
【迁移2】 将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N
)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明.
解 由a1＝2，an＋1＝3an，得：
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…，
猜想：an＝2×3n－1，
证明如下：由an＋1＝3an得＝3.
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3.
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1.
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1.
思维升华 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式；
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式.
【训练2】 设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N
)，则它的通项公式an＝________.
答案
解析 法一(累乘法) 把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴＝，∴···…·
＝×××…×，
∴＝.又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
法二(迭代法) 同法一，得＝，
∴an＋1＝an，
∴an＝·an－1＝··an－2
＝···an－3
…
＝···…·a1＝a1.
又∵a1＝1，∴an＝.
法三(构造特殊数列法) 同法一，得＝，
∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，
∴nan＝1·a1＝1，∴an＝.
1.牢记2个知识点
(1)数列的4种表示方法
①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法.
(2)通项公式和递推公式的区别.
2.掌握求通项公式的常用方法
(1)观察法；(2)累加法；(3)累乘法.
3.注意1个易错点
累加(累乘)法求通项公式时，易忽略验证n＝1.
一、选择题
1.在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2，n∈N
)，则a5＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝3，a5＝.
2.已知数列{an}，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N
，则a1＋a3的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.8
答案 A
解析 由a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N
，可得a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1＋a3＝4.
3.已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝eq
\f(a－2,an＋1)(n∈N
).若数列{an}是常数列，则a＝( )
A.－2
B.－1
C.0
D.(－1)n
答案 A
解析 ∵数列{an}满足a1＝a，an＋1＝eq
\f(a－2,an＋1)(n∈N
)，
∴a2＝.∵数列{an}是常数列，∴a＝，解得a＝－2.故选A.
4.已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是( )
A.x2
020＝a
B.x2
022＝a－b
C.x11＝x2
021
D.x1＋x2＋…＋x2
020＝2b－a
答案 BCD
解析 x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，
x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，
x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，
∴{xn}是周期数列，周期为6，
∴x2
020＝x4＝－a，A不正确；
x2
022＝x6＝a－b，B正确；
x2
021＝x5＝x11，C正确；
x1＋x2＋…＋x2
020＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a，D正确.
5.(多选题)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，则m所有可能的取值为( )
A.4
B.5
C.21
D.32
答案 ABD
解析 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去).
若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去).
若a1为偶数，则＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8.
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去).
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4，5，32.
二、填空题
6.数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项.
答案 5
解析 a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14.
7.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N
)，则a9＝________.
答案
解析 a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝＝.
8.数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N
，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项为________.
答案 1
024
解析 ∵a1＝2，an＝2an－1，
∴an≠0，∴＝2>1，
∴an>an－1，即{an}单调递增，
∴{an}的最大项为a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29×2＝210＝1
024.
三、解答题
9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N
)；
(2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N
)；
(3)a1＝－1，an＋1＝an＋(n∈N
).
解 (1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.
猜想an＝(n－1)2(n∈N
).
(2)a1＝1，a2＝，a3＝＝2，a4＝.
猜想an＝(n∈N
).
(3)a1＝－1，a2＝－，a3＝－，a4＝－.
猜想an＝－(n∈N
).
10.数列{an}满足an＋1＝4an＋3，且a1＝1，求此数列的通项公式.
解 法一(累乘法) 由an＋1＝4an＋3，可得an＋1＋1＝4(an＋1)，即＝4，
∴＝4，＝4，＝4，…，＝4(n≥2).
以上各式的两边分别相乘，得＝4n－1(n≥2)，
即an＝2·4n－1－1＝22n－1－1(n≥2).
又a1＝1也满足上式，∴an＝22n－1－1.
法二(迭代法) 由an＋1＝4an＋3，可得an＋1＋1＝4(an＋1)，则a2＋1＝4(a1＋1)，a3＋1＝4(a2＋1)，a4＋1＝4(a3＋1)，…，an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，
∴an＋1＝4n－1(a1＋1)(n≥2)，
即an＝2·4n－1－1＝22n－1－1(n≥2).
又a1＝1也满足上式，∴an＝22n－1－1.
11.如下表定义函数f(x)：
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
1
2
对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，…，则a2
021的值是( )
A.1
B.2
C.5
D.4
答案 D
解析 因为a1＝4，an＝f(an－1)，
所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，
a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，
a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，
由上可知，数列{an}是4，1，5，2，4，1，…，是周期为4的周期数列，
又2
021＝505×4＋1，
所以a2
021＝a1＝4.
12.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝________.
答案 2＋ln
n
解析 因为an＋1－an＝ln
＝ln(n＋1)－ln
n，
所以a2－a1＝ln
2－ln
1，
a3－a2＝ln
3－ln
2，
a4－a3＝ln
4－ln
3，
an－an－1＝ln
n－ln(n－1)(n≥2).
把以上各式分别相加得an－a1＝ln
n－ln
1，
则an＝2＋ln
n，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln
n(n∈N
).
13.已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋－，n∈N
，求数列的通项公式an.
解 ∵an＋1－an＝－，
∴a2－a1＝－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…，
an－an－1＝－(n≥2)，
将以上n－1个式子相加，得
(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝＋＋…＋，
即an－a1＝1－(n≥2，n∈N
).
∴an＝a1＋1－＝－1＋1－＝－(n≥2，n∈N
)，
又当n＝1时，a1＝－1也符合上式.
∴an＝－，n∈N
.
14.在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an＝________.
答案 2n＋nln
n
解析 由题意得－＝ln(n＋1)－ln
n，－＝ln
n－ln(n－1)(n≥2).
∴－＝ln
2－ln
1，－＝ln
3－ln
2，…，
－＝ln
n－ln(n－1)(n≥2).
累加得－＝ln
n，∴＝2＋ln
n(n≥2)，
又a1＝2适合上式，故an＝2n＋nln
n.(共46张PPT)
第二课时 数列的递推公式
1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.
2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法.
课标要求
素养要求
通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.数列的递推公式
一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项___________
(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也是给定数列的一种方法.
an－1
2.数列递推公式与通项公式的关系
an－1
n
数列
?
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项_____
(或前几项)之间的关系
表示an与____之间的关系
联系
(1)都是表示_____的一种方法；
(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
1.思考辨析，判断正误
√
(1)递推公式是表示数列的一种方法.(
)
(2)所有的数列都有递推公式.(
)
提示 并不是所有的数列都有递推公式，如－1，8，36，278，….
(3)数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N
，则a2＝2a1.(
)
(4)利用an＋1＝2an，n∈N
可以确定数列{an}.(
)
提示 只有给出a1的值，才可以确定数列{an}.
×
√
×
C
3.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A.an＝an－1＋2(n≥2)
B.an＝2an－1(n≥2)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
解析 A，B中没有说明某一项，无法递推；
D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.
C
解析 ∵数列{an}的首项a1＝1，
课堂互动
题型剖析
2
题型一 由数列的递推公式求数列的项
∴{an}是周期为4的数列，∴a2
021＝a4×505＋1＝a1＝2.
递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.
思维升华
A.22
B.24
C.26
D.28
AD
题型二 根据递推公式求通项
…
解 ∵anan－1＝an－1－an，
解 由a1＝2，an＋1＝3an，得：
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…，
猜想：an＝2×3n－1，
思维升华
得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
1.牢记2个知识点
(1)数列的4种表示方法
①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法.
(2)通项公式和递推公式的区别.
2.掌握求通项公式的常用方法
(1)观察法；(2)累加法；(3)累乘法.
3.注意1个易错点
累加(累乘)法求通项公式时，易忽略验证n＝1.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
D
2.已知数列{an}，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N
，则a1＋a3的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.8
A
解析 由a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N
，
可得a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，
解得a1＝1，a3＝3，a1＋a3＝4.
A
4.已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是(
)
A.x2
020＝a
B.x2
022＝a－b
C.x11＝x2
021
D.x1＋x2＋…＋x2
020＝2b－a
BCD
解析 x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，
x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，
x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，
∴{xn}是周期数列，周期为6，
∴x2
020＝x4＝－a，A不正确；
x2
022＝x6＝a－b，B正确；
x2
021＝x5＝x11，C正确；
x1＋x2＋…＋x2
020＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a，D正确.
A.4
B.5
C.21
D.32
ABD
解析 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去).
二、填空题
6.数列{an}中，a1＝2，an＝an＋1－3，则14是{an}的第________项.
5
解析 a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，
a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14.
7.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N
)，则a9＝________.
解析 a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
8.数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N
，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项为
________.
1
024
三、解答题
9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.
解 (1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.
猜想an＝(n－1)2(n∈N
).
10.数列{an}满足an＋1＝4an＋3，且a1＝1，求此数列的通项公式.
即an＝2·4n－1－1＝22n－1－1(n≥2).
又a1＝1也满足上式，∴an＝22n－1－1.
即an＝2·4n－1－1＝22n－1－1(n≥2).
又a1＝1也满足上式，∴an＝22n－1－1.
法二(迭代法) 由an＋1＝4an＋3，可得an＋1＋1＝4(an＋1)，
则a2＋1＝4(a1＋1)，a3＋1＝4(a2＋1)，a4＋1＝4(a3＋1)，…，
an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，
∴an＋1＝4n－1(a1＋1)(n≥2)，
11.如下表定义函数f(x)：
D
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
1
2
对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2，3，4，…，则a2
021的值是( )
A.1
B.2
C.5
D.4
解析 因为a1＝4，an＝f(an－1)，
所以a2＝f(a1)＝f(4)＝1，
a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝f(5)＝2，
a5＝f(a4)＝f(2)＝4，a6＝f(a5)＝f(4)＝1，
由上可知，数列{an}是4，1，5，2，4，1，…，是周期为4的周期数列，
又2
021＝505×4＋1，
所以a2
021＝a1＝4.
2＋ln
n
所以a2－a1＝ln
2－ln
1，
a3－a2＝ln
3－ln
2，
a4－a3＝ln
4－ln
3，
an－an－1＝ln
n－ln(n－1)(n≥2).
把以上各式分别相加得an－a1＝ln
n－ln
1，
则an＝2＋ln
n，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln
n(n∈N
).
将以上n－1个式子相加，得
(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
n＋nln
n
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