4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
4.2.2 等差数列的通项公式
第一课时 等差数列的概念与通项公式
课标要求
素养要求
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一次函数的关系.3.掌握等差数列的判定方法.
在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
自主梳理
1.等差数列的概念
文字语言
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用d表示
符号语言
an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)
2.等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列.
(2)结论：那么A叫作a与b的等差中项.
(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
3.等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
4.从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)常数列是等差数列.(√)
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)
提示 差都是同一个常数时，{an}才是等差数列.
(3)数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.(×)
提示 (3){an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列.(√)
2.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝( )
A.
B.±
C.3
D.±3
答案 C
解析 由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
3.等差数列{1－3n}的公差d等于( )
A.1
B.3
C.－3
D.n
答案 C
解析 ∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，
∴d＝a2－a1＝－3.
4.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.
答案 2n－5
解析 由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.
题型一 等差数列的通项公式及相关计算
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；
(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；
(4)已知d＝－，a7＝8，求a1和an.
解 (1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.
(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，
所以an＝a1＋(n－1)d＝10－(n－1)＝－n＋.
思维升华 等差数列通项公式中的四个参数及其关系
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d
四个参数
a1，d，n，an
“知三求一”
知a1，d，n求an
知a1，d，an求n
知a1，n，an求d
知d，n，an求a1
【训练1】 (1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
A.－2
B.－
C.
D.2
(2)在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，－＝，则a16＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 (1)B (2)B
解析 (1)由条件得
解得
(2)因为当n≥2时，－＝，所以是以为首项，以为公差的等差数列，故＝＋15×＝，故a16＝.
题型二 等差中项及其应用
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
解 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
思维升华 等差中项应用策略
(1)求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝.
(2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.
【训练2】 (1)若a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A.2
B.3
C.6
D.9
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由题知a，b的等差中项为
＝(－＋＋)＝.
(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
题型三 等差数列的判定
角度1 等差数列的证明
【例3】 (1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.
证明 ∵数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，
∴数列{bn}是等差数列.
(2)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明为等差数列，并求{an}的通项公式.
解 由于an＋1＝2an＋2n＋1，
∴－＝－＝1，又＝1，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列.
∴＝1＋(n－1)×1＝n.∴an＝n·2n.
角度2 等差数列的探究
【例4】 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N
).
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
解 (1)∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N
)及a1＝2，a2＝－1，∴a2＝(λ－3)a1＋2，即－1＝2(λ－3)＋2，∴λ＝.
∴a3＝－×(－1)＋22＝.
(2)不存在.理由如下：∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.
思维升华 (1)证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N
)?{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N
)?{an}是等差数列.
②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列.
(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可.
【训练3】 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N
).
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 由an＋1＝，得
＝＝
＝＝＝＋，
得－＝，n∈N
，又＝1，
故数列是首项为1，公差为的等差数列.
(2)解 由(1)知＝＋(n－1)×＝，
所以an＝，n∈N
.
1.牢记3个知识点
(1)等差数列的概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差中项.
2.掌握2种方法
(1)运用通项公式求基本量法.
(2)判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
①an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；
②2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
③an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
)?{an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
3.注意1个易错点
判断等差数列时忽视n的取值而致误.
一、选择题
1.设数列{an}(n∈N
)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案 D
解析 由a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝6，解得d＝1.
2.已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A.15
B.22
C.7
D.29
答案 A
解析 设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
3.已知等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则公差d＝( )
A.－2
B.2
C.±2
D.－4
答案 A
解析 等差数列{an}中，a2a4＝12，a2＋a4＝8，
所以可将a2，a4看作是方程x2－8x＋12＝0的两个实数根，解该方程得x1＝6，x2＝2.
因为公差d<0，所以a2>a4，则a2＝6，a4＝2，
所以a4－a2＝2d＝－4，解得d＝－2.
4.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A.26
B.29
C.39
D.52
答案 C
解析 因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
5.(多选题)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N
，p为常数)，则称{an}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有( )
A.若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B.数列{(－1)n}是等方差数列
C.若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定是常数列
D.若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k∈N
，k为常数)也是等方差数列
答案 ABCD
解析 根据等方差数列的定义易知A正确；因为(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，所以数列{(－1)n}是等方差数列，B正确；
若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，则a－a＝(an－an－1)·(an＋an－1)＝d[2a1＋(2n－3)d]＝2a1d＋(2n－3)d2＝p.又p为常数，所以d＝0，C正确；
若数列{an}是等方差数列，则a－a＝p，
a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp为常数，D正确.
二、填空题
6.在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos
B＝________.
答案
解析 ∵B是A和C的等差中项，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，cos
B＝.
7.已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝________.
答案 13
解析 由题意得解得
故a12＝2＋11＝13.
8.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
答案
解析 设自上而下各节的容积构成的等差数列为{an}，公差为d，
则∴
解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
三、解答题
9.在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项.
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
解 (1)因为解得
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
(2)设{an}的公差为d，则解得
所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
10.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由.
(2)求an.
解 (1)数列是等差数列.理由如下：
因为a1＝2，an＋1＝，所以＝＝＋，
所以－＝，
即是首项为＝，公差d＝
的等差数列.
(2)由(1)可知，＝＋(n－1)d＝，所以an＝.
11.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )
A.斤
B.斤
C.斤
D.3斤
答案 B
解析 依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列{an}，且首项为a1＝4，a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝.
12.已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若是等差数列，则a11等于( )
A.0
B.
C.
D.
答案 A
解析 ∵＝，＝，
设数列的公差为d，则
解得
∴＝＋(n－1)·，
∴＝＋＝1，∴a11＝0.
13.在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N
).
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若λan＋≥λ对任意的n≥2恒成立，求实数λ的取值范围.
(1)证明 由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N
)，
整理得－＝3(n≥2，n∈N
)，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.
(2)解 由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝.
(3)解 λan＋≥λ对任意的n≥2恒成立，
即＋3n－2≥λ对任意的n≥2恒成立，
整理得λ≤对任意的n≥2恒成立.
令f(n)＝，则只需满足λ≤f(n)min即可.
因为f(n＋1)－f(n)＝－＝＝3－，
所以当n≥2时，f(n＋1)－f(n)>0，
即f(2)又f(2)＝，所以λ≤，
所以实数λ的取值范围为.
14.(多选题)已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N
)，则下列说法正确的有( )
A.数列{an}是等差数列
B.a2k＝7－2k(k∈N
)
C.a2k－1＝12－2k(k∈N
)
D.an＋an＋1＝18－3n
答案 BC
解析 由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A不正确；
由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k(k∈N
)时，a2k＝a2＋(k－1)×(－2)＝7－2k，当n＝2k－1(k∈N
)时，a2k－1＝a1＋(k－1)×(－2)＝12－2k，故B，C都正确；
当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误.(共47张PPT)
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
4.2.2 等差数列的通项公式
第一课时 等差数列的概念与通项公式
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.体会等差数列与一次函数的关系.
3.掌握等差数列的判定方法.
课标要求
素养要求
在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.等差数列的概念
二
前一项
同一个常数
常数
d
文字
语言
如果一个数列从第____项起，每一项减去它的________所得的差都等于___________，那么这个数列就叫作等差数列，这个_______叫作等差数列的公差，公差通常用_____表示
符号
语言
an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)
2.等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列.
(2)结论：那么A叫作a与b的等差中项.
(3)满足的关系式是____________.
a＋b＝2A
3.等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝_____________________.
a1＋(n－1)d
4.从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加______.
d
1.思考辨析，判断正误
√
(1)常数列是等差数列.(
)
(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(
)
提示 差都是同一个常数时，{an}才是等差数列.
(3)数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.(
)
提示 (3){an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列.(
)
×
×
√
2.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝( )
C
解析 由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.
3.等差数列{1－3n}的公差d等于( )
A.1
B.3
C.－3
D.n
解析 ∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，
∴d＝a2－a1＝－3.
C
2n－5
4.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.
解析 由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 等差数列的通项公式及相关计算
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；
(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；
(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；
(4)已知d＝－，a7＝8，求a1和an.
解 (1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.
(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.
(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.
(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，
等差数列通项公式中的四个参数及其关系
思维升华
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d
四个参数
a1，d，n，an
“知三求一”
知a1，d，n求an
知a1，d，an求n
知a1，n，an求d
知d，n，an求a1
【训练1】 (1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
B
B
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此
数列.
题型二 等差中项及其应用
解 ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
思维升华
(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A.2
B.3
C.6
D.9
A
B
(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，
得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
角度1 等差数列的证明
题型三 等差数列的判定
【例3】 (1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差
数列.
证明 ∵数列{an}是等差数列，可设其公差为d，
则an＋1－an＝d.从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，
∴数列{bn}是等差数列.
解 由于an＋1＝2an＋2n＋1，
角度2 等差数列的探究
【例4】 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N
).
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
解 ∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N
)及a1＝2，a2＝－1，
∴a2＝(λ－3)a1＋2，
(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
解
不存在.理由如下：∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，
∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，
即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，
∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.
思维升华
1.牢记3个知识点
(1)等差数列的概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差中项.
2.掌握2种方法
(1)运用通项公式求基本量法.
(2)判断一个数列是不是等差数列的常用方法：
①an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；
②2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
③an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
)?{an}是等差数列.
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.
3.注意1个易错点
判断等差数列时忽视n的取值而致误.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
一、选择题
1.设数列{an}(n∈N
)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 由a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝6，解得d＝1.
D
2.已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( )
A.15
B.22
C.7
D.29
A
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
3.已知等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则公差d＝( )
A.－2
B.2
C.±2
D.－4
A
解析 等差数列{an}中，a2a4＝12，a2＋a4＝8，
所以可将a2，a4看作是方程x2－8x＋12＝0的两个实数根，
解该方程得x1＝6，x2＝2.
因为公差d<0，所以a2>a4，则a2＝6，a4＝2，
所以a4－a2＝2d＝－4，解得d＝－2.
4.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A.26
B.29
C.39
D.52
C
解析 因为5，x，y，z，21成等差数列，
所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，
所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
ABCD
A.若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列
B.数列{(－1)n}是等方差数列
C.若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定是常数列
D.若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k∈N
，k为常数)也是等方差数列
解析 根据等方差数列的定义易知A正确；
因为(－1)2n－(－1)2(n－1)＝0，
所以数列{(－1)n}是等方差数列，B正确；
若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，
又p为常数，所以d＝0，C正确；
二、填空题
6.在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos
B＝________.
解析 ∵B是A和C的等差中项，
∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，
7.已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝________.
13
故a12＝2＋11＝13.
8.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，
下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
解析 设自上而下各节的容积构成的等差数列为{an}，公差为d，
三、解答题
9.在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项.
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
11.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( )
B
A
14.(多选题)已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N
)，则下列说法正确的有( )
A.数列{an}是等差数列
B.a2k＝7－2k(k∈N
)
C.a2k－1＝12－2k(k∈N
)
D.an＋an＋1＝18－3n
BC
解析 由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，
所以{an}不是等差数列，A不正确；
由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，
本节内容结束第二课时 等差数列的性质及实际应用
课标要求
素养要求
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
自主梳理
1.等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.
2.等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则an＝am＋(n－m)d(m，n∈N
).
(2){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(3)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列.
(4)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N
)是公差为2d的等差数列.
(5)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列.
(6)若{an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(×)
提示 反例：若an＝n－1，则a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.
(2)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(√)
(3)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(×)
提示 反例：设一数列为1，3，5，…，另一数列为4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.
(4)若数列{an}为公差为d的等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N
.(√)
2.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )
A.－1
B.2
C.4
D.6
答案 B
解析 由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.
3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101>0
B.a2＋a101<0
C.a3＋a99＝0
D.a51＝51
答案 C
解析 ∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.
4.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.
答案 －1
解析 由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.
题型一 等差数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
解 (1)法一 由题意得解得
故a105＝a1＋104d＝＋104×＝32.
法二 ∵{an}为等差数列，∴d＝＝，
∴a105＝a60＋45×＝32.
法三 ∵{an}为等差数列，
∴a15，a60，a105也成等差数列，
则2a60＝a15＋a105，
∴a105＝2×20－8＝32.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，
∴a2＋a5＝17.
由解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
思维升华 等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N
)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
【训练1】 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
(2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
答案 (1)20 (2)27
解析 (1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.
(2)法一 由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.
法二 设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝(a2＋a5＋a8)＋3d＝27.
题型二 等差数列的设法与求解
【例2】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
解 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
又因为是递增数列，所以d>0，
所以解得a＝±，d＝，
故此等差数分别为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
【迁移】 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
解 法一 根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，则
即解得或
因为数列{an}为单调递增数列，所以从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
法二 由于数列{an}为等差数列，所以可设前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意得即解得或
由于数列{an}为单调递增数列，
所以从而an＝4n－1.
思维升华 等差数列项的常见设法
(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.
【训练2】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.
解 法一 设此等差数列的首项为a1，公差为d.
根据题意，得
化简得eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a＋3a1d＋2d2＝40，))解得或
所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法二 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意得
即解得或所以所求四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
题型三 等差数列的实际应用
【例3】 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).
节气
冬至
小寒(大雪)
大寒(小雪)
立春(立冬)
雨水(霜降)
惊蛰(寒露)
春分(秋分)
晷影长/寸
135.0
125.
115.1
105.2
95.3
85.4
75.5
节气
清明(白露)
谷雨(处暑)
立夏(立秋)
小满(大暑)
芒种(小暑)
夏至
晷影长/寸
65.5
55.6
45.7
35.8
25.9
16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为( )
A.105.6寸
B.48寸
C.57.6寸
D.67.2寸
答案 C
解析 设晷影长构成等差数列{an}，公差为d，则a1＝130.0，a13＝14.8，d＝＝－9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57.6(寸).
思维升华 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
【训练3】 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.
答案 2029
解析 设n年后该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.令400＋50n>820，解得n>.由于n∈N
，则n≥9.所以该市在2029年新建住房的面积开始大于820万平方米.
1.牢记2个知识点
(1)等差数列与一次函数的关系.
(2)等差数列的性质.
2.掌握2种常用方法
(1)等差数列的常见设法.
(2)等差数列实际应用问题的步骤.
3.注意1个易错点
解题时注意运用相关性质的限制条件.
一、选择题
1.在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A.4
B.6
C.8
D.10
答案 C
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A.12
B.8
C.6
D.4
答案 B
解析 由等差数列性质得，
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
3.在等差数列{an}中，a2
018＝log27，a2
022＝log2，则a2
020＝( )
A.0
B.7
C.1
D.49
答案 A
解析 a2
020＝(a2
018＋a2
022)＝(log27＋log2)＝log2
1＝0.
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知A，B，C，D，E分得的物品的钱数分别为等差数列{an}中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＝a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝6＝5a3，a3＝.故C分得物品的钱数为.
5.(多选题)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N
)，若2
021是该数列的一项，则公差d不可能是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案 BCD
解析 由2
021是该数列的一项，即2
021＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1.因为d∈N
，所以d是2
018的约数，故d不可能是3，4和5.
二、填空题
6.在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________.
答案 4
解析 ∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，
∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，
∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4.
7.已知数列{an}是等差数列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.
答案 18
解析 设数列{an}的公差为d，∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.∵a4＋…＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7，d＝＝.∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×，解得k＝18.
8.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________.
答案 12n－1 25
解析 由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，由解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25.
三、解答题
9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
由题意可得
解得或
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这三个数是4，6，8.
10.已知数列{an}满足an＋1＝(n∈N
)，且a1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)是否存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，请说明理由.
解 (1)因为a1＝0，an＋1＝(n∈N
)，
所以a2＝＝，a3＝＝.
(2)假设存在一个实常数λ，使得数列为等差数列，所以＝＋，
即＝＋，解得λ＝1.
因为－＝－
＝－＝＝－，
又＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列是首项为－1，公差为－的等差数列.
11.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列.
其中正确的为( )
A.p1，p2
B.p3，p4
C.p2，p3
D.p1，p4
答案 D
解析 设等差数列{an}的首项为a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，
∴数列{an}递增，p1正确；
nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，p2错误；＝d＋，当a1－d>0时，不递增，p3错误；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，p4正确，故选D.
12.若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________.
答案 0
解析 法一 设{an}的公差为d，
∵ap＝aq＋(p－q)d，
∴q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.
∵p≠q，∴d＝－1.
∴ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0.
法二 ∵数列{an}为等差数列，
∴点(n，an)在一条直线上.
不妨设p如图所示，由图易知|OC|＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q，0)，故ap＋q＝0.
13.
有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
解 设某单位需购买电视机n台.
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，
an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价440元.
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n).
当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.
因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.
14.若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是( )
A.1
B.
C.
D.
答案 C
解析 不妨设x1＝，则x2＝，且为第4项.
不妨设x3设这四个数构成的等差数列的公差为d，则＝＋3d，解得d＝.
于是第2项与第3项分别为与，所以由根与系数的关系得，m＝x1x2＝，n＝x3x4＝，
故|m－n|＝＝.(共47张PPT)
第二课时 等差数列的性质及实际应用
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
课标要求
素养要求
通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
课前预习
课堂互动
分层训练
内容索引
课前预习
知识探究
1
1.等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数，点(n，an)分布在以______为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.
d
2.等差数列的性质
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则an＝am＋(n－m)d(m，n∈N
).
(2){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝________.
ap＋aq
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(3)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为______数列.
(4)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N
)是公差为_____的等差数列.
和
等差
d
cd
2d
(5)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为_________的等差数列.
(6)若{an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为______数列；d＝0?{an}为常数列.
pd1＋qd2
递减
1.思考辨析，判断正误
×
(1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(
)
提示 反例：若an＝n－1，则a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9.
(2)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(
)
(3)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列.(
)
提示 反例：设一数列为1，3，5，…，另一数列为4，6，8，…，显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列.
(4)若数列{an}为公差为d的等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N
.(
)
√
×
√
2.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝( )
A.－1
B.2
C.4
D.6
B
解析 由题意知a10－a2＝8d，
即8d＝16，d＝2.
3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A.a1＋a101>0
B.a2＋a101<0
C.a3＋a99＝0
D.a51＝51
解析 ∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.
C
-1
4.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________.
解析 由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.
课堂互动
题型剖析
2
题型一 等差数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等差数列，且公差为d.
(1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值；
法三 ∵{an}为等差数列，
∴a15，a60，a105也成等差数列，
则2a60＝a15＋a105，
∴a105＝2×20－8＝32.
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.
解
由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，
∴a2＋a5＝17.
等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r
(m，n，p，q，r∈N
)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
思维升华
【训练1】 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
解析 (1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.
(2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
20
27
(2)法一 由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，
所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.
法二 设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，
解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝(a2＋a5＋a8)＋3d＝27.
【例2】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
题型二 等差数列的设法与求解
解 设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
【迁移】 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
解 法一 根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，则
等差数列项的常见设法
(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.
思维升华
【训练2】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这
四个数.
解 法一 设此等差数列的首项为a1，公差为d.
所以所求四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
题型三 等差数列的实际应用
【例3】 中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀
算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸＝10分).
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中小寒与清明之间的晷影长之差为( )
A.105.6寸
B.48寸
C.57.6寸
D.67.2寸
C
解析 设晷影长构成等差数列{an}，公差为d，则a1＝130.0，a13＝14.8，
a2－a8＝－(a8－a2)＝－6d＝57.6(寸).
解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.
思维升华
【训练3】 假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米.
解析 设n年后该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50，
2029
所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n.
由于n∈N
，则n≥9.所以该市在2029年新建住房的面积开始大于820万平方米.
1.牢记2个知识点
(1)等差数列与一次函数的关系.
(2)等差数列的性质.
2.掌握2种常用方法
(1)等差数列的常见设法.
(2)等差数列实际应用问题的步骤.
3.注意1个易错点
解题时注意运用相关性质的限制条件.
课堂小结
分层训练
素养提升
3
A.4
B.6
C.8
D.10
C
2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
B
A.12
B.8
C.6
D.4
解析 由等差数列性质得，
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
A
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是( )
C
解析 由题意知A，B，C，D，E分得的物品的钱数分别为等差数列{an}中的项a1，a2，a3，a4，a5，
5.(多选题)已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N
)，若2
021是该数列的一项，则公差d不可能是(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
BCD
4
7.已知数列{an}是等差数列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.
18
解析 设数列{an}的公差为d，
∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
8.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________.
12n－1
25
解析 由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，
故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.
解得1≤n≤25.25，故{cn}的项数为25.
三、解答题
9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.
解 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这三个数是4，6，8.
D
A.p1，p2
B.p3，p4
C.p2，p3
D.p1，p4
解析 设等差数列{an}的首项为a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，
∴数列{an}递增，p1正确；
12.若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________.
0
解析 法一 设{an}的公差为d，
∵ap＝aq＋(p－q)d，
∴q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.
∵p≠q，∴d＝－1.
∴ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0.
法二 ∵数列{an}为等差数列，
∴点(n，an)在一条直线上.
不妨设p如图所示，由图易知|OC|＝p＋q，即点C的坐标为(p＋q，0)，故ap＋q＝0.
13.
有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？
解 设某单位需购买电视机n台.
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，
an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价440元.
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).
比较在甲、乙两家家电商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n).
当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；
当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.
因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.
C
本节内容结束
