湖北省安陆市第一高级中学人教A版选修2-1课本例题习题改编
文档属性
| 名称 | 湖北省安陆市第一高级中学人教A版选修2-1课本例题习题改编 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 160.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-06-18 10:36:33 | ||
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文档简介
人教A版选修2-1课本例题习题改编
1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A、B的坐标分别是A（0，-1），B（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-t，t∈（0，1]．求M的轨迹方程，并说明曲线的类型．
解：设M（x，y），则 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 (x≠0)，(x≠0)， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =-t， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =-t(x≠0)，整理得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 1(x≠0)（1）当t∈（0，1）时，M的轨迹为椭圆（除去A和B两点）；（2）当t=1时，M的轨迹为圆（除去A和B两点）．
2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线 HYPERLINK "http://www." ：上任取一点M，过点M且以双曲线 HYPERLINK "http://www." 的焦点为焦点作椭圆．(1)M点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．
解：(1)故双曲线 HYPERLINK "http://www." 的两焦点过 HYPERLINK "http://www." 向引垂直线 HYPERLINK "http://www." ：，求出 HYPERLINK "http://www." 关于的对称点 HYPERLINK "http://www." ，则的坐标为（4，2）（如图）， ( http: / / www. ) 直线的方程为 HYPERLINK "http://www." 。∴，解得 HYPERLINK "http://www." ∴即为所求的点.此时， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www." =
(2)设所求椭圆方程为 HYPERLINK "http://www." ，∴ HYPERLINK "http://www." ∴∴所求椭圆方程为 HYPERLINK "http://www." .
3. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第八题）改编 已知椭圆与双曲线共焦点，且过（ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．
解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =1，∵椭圆过（，0），∴ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =1，即=2，∴椭圆方程为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =1．
（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则 y=2x+b 且 =1得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，∴， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ．即x=，y= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，两式消掉b得 y=x．令△=0， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3，即当x=±时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹方程为：y= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 x（≤x≤ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ）．
4．原题（选修2-1第六十一页习题2.3A组第一题）改编 、 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 的距离等于9，则点P到焦点的距离等于
解：∵双曲 ( http: / / www. )线得：a=4，由双曲线的定义知||P HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 |-|P||=2a=8，|P HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 |=9，
∴|P|=1＜（不合，舍去）或|P HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 |=17，故|P|=17．
5．原题（选修2-1第六十二页习题2.3B组第四题）改 ( http: / / www. )编 经过点A（2，1）作直线L交双曲线 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 于， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 两点，求线段 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 的中点P的轨迹方程．
解：设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得： HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，（2）；
又设（ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，）， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 （， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ），P(x，y)，则， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 必须是（2）的两个实根，所以有 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 += HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 (-2≠0)．按题意，x= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，∴x=．因为(x，y)在直线（1）上，所以y=k(x-2)+1= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 +1=．再由x，y的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，这就是所求的轨迹方程．
6．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M（，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点 ( http: / / www. )A、B，试确定实数a的取值范围，使．
解：由题意，直线 HYPERLINK "http://www." 的方程为，将 HYPERLINK "http://www." ，得．
设直线 HYPERLINK "http://www." 与抛物线的两个交点的坐标为、 HYPERLINK "http://www." ，
则 又 HYPERLINK "http://www." ，
∴ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ．
∵ HYPERLINK "http://www." ， ∴ ．
解得 HYPERLINK "http://www." ． 故时，有．
7. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A组第六题）改编 直线l与抛物线相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．则直线l过定点
解：设点A，B的坐标分别为（ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，），（ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，）
（I）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0． ( http: / / www. )联立方程得：消去y得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，由题意： HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，又由OA⊥OB得，即 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，解得b=0（舍去）或b=-2k，故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0，联立方程 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 解得 ，即 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =-2m，又由OA⊥OB得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，即=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
( http: / / www. )8. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B组第一题）改编 已知F1、F2分别为椭圆 HYPERLINK "http://www." 的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，求的 ( http: / / www. )面积.
解：依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为 HYPERLINK "http://www." ，此时的面积为 HYPERLINK "http://www." ；当以点P为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，舍去。故 HYPERLINK "http://www." 的面积为.
9. 原题（选修2-1第八十七页例题）改编 已知 HYPERLINK "http://www." 三点共线，且
HYPERLINK "http://www." ，则的最小值为 .
解：由 HYPERLINK "http://www." 三点共线，且 HYPERLINK "http://www." 得，。故 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =5+ HYPERLINK "http://www." ,又， HYPERLINK "http://www." （当且仅当时取等号），故 HYPERLINK "http://www." 的最小值为9.
1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A、B的坐标分别是A（0，-1），B（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-t，t∈（0，1]．求M的轨迹方程，并说明曲线的类型．
解：设M（x，y），则 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 (x≠0)，(x≠0)， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =-t， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =-t(x≠0)，整理得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 1(x≠0)（1）当t∈（0，1）时，M的轨迹为椭圆（除去A和B两点）；（2）当t=1时，M的轨迹为圆（除去A和B两点）．
2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线 HYPERLINK "http://www." ：上任取一点M，过点M且以双曲线 HYPERLINK "http://www." 的焦点为焦点作椭圆．(1)M点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．
解：(1)故双曲线 HYPERLINK "http://www." 的两焦点过 HYPERLINK "http://www." 向引垂直线 HYPERLINK "http://www." ：，求出 HYPERLINK "http://www." 关于的对称点 HYPERLINK "http://www." ，则的坐标为（4，2）（如图）， ( http: / / www. ) 直线的方程为 HYPERLINK "http://www." 。∴，解得 HYPERLINK "http://www." ∴即为所求的点.此时， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 HYPERLINK "http://www." =
(2)设所求椭圆方程为 HYPERLINK "http://www." ，∴ HYPERLINK "http://www." ∴∴所求椭圆方程为 HYPERLINK "http://www." .
3. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第八题）改编 已知椭圆与双曲线共焦点，且过（ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．
解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =1，∵椭圆过（，0），∴ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =1，即=2，∴椭圆方程为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =1．
（2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则 y=2x+b 且 =1得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，∴， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ．即x=，y= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，两式消掉b得 y=x．令△=0， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3，即当x=±时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹方程为：y= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 x（≤x≤ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ）．
4．原题（选修2-1第六十一页习题2.3A组第一题）改编 、 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 的距离等于9，则点P到焦点的距离等于
解：∵双曲 ( http: / / www. )线得：a=4，由双曲线的定义知||P HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 |-|P||=2a=8，|P HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 |=9，
∴|P|=1＜（不合，舍去）或|P HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 |=17，故|P|=17．
5．原题（选修2-1第六十二页习题2.3B组第四题）改 ( http: / / www. )编 经过点A（2，1）作直线L交双曲线 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 于， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 两点，求线段 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 的中点P的轨迹方程．
解：设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得： HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，（2）；
又设（ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，）， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 （， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ），P(x，y)，则， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 必须是（2）的两个实根，所以有 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 += HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 (-2≠0)．按题意，x= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，∴x=．因为(x，y)在直线（1）上，所以y=k(x-2)+1= HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 +1=．再由x，y的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，这就是所求的轨迹方程．
6．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M（，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点 ( http: / / www. )A、B，试确定实数a的取值范围，使．
解：由题意，直线 HYPERLINK "http://www." 的方程为，将 HYPERLINK "http://www." ，得．
设直线 HYPERLINK "http://www." 与抛物线的两个交点的坐标为、 HYPERLINK "http://www." ，
则 又 HYPERLINK "http://www." ，
∴ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ．
∵ HYPERLINK "http://www." ， ∴ ．
解得 HYPERLINK "http://www." ． 故时，有．
7. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A组第六题）改编 直线l与抛物线相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．则直线l过定点
解：设点A，B的坐标分别为（ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，），（ HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，）
（I）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0． ( http: / / www. )联立方程得：消去y得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，由题意： HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 =， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，又由OA⊥OB得，即 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，解得b=0（舍去）或b=-2k，故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）
（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0，联立方程 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 解得 ，即 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =-2m，又由OA⊥OB得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，即=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
( http: / / www. )8. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B组第一题）改编 已知F1、F2分别为椭圆 HYPERLINK "http://www." 的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，求的 ( http: / / www. )面积.
解：依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为 HYPERLINK "http://www." ，此时的面积为 HYPERLINK "http://www." ；当以点P为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，舍去。故 HYPERLINK "http://www." 的面积为.
9. 原题（选修2-1第八十七页例题）改编 已知 HYPERLINK "http://www." 三点共线，且
HYPERLINK "http://www." ，则的最小值为 .
解：由 HYPERLINK "http://www." 三点共线，且 HYPERLINK "http://www." 得，。故 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 =5+ HYPERLINK "http://www." ,又， HYPERLINK "http://www." （当且仅当时取等号），故 HYPERLINK "http://www." 的最小值为9.