初中数学湘教版九年级上册4.3解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·八步期末）如图，在 中， ， ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·长兴期末）在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·玉林）如图， 底边 上的高为 ， 底边 上的高为 ，则有（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
4．（2021·长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米， ，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．（2021·云南）在 中， ，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
6．（2017·深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡 旁一棵树 的高度，他们先在点 处测得树顶 的仰角为 ，然后在坡顶 测得树顶 的仰角为 ，已知斜坡 的长度为 ， 的长为 ，则树 的高度是（ ）
A． B．30 C． D．40
二、填空题
7．（2021九上·泉州期末）将一副直角三角尺按如图所示放置， ， ， ，则 的长为 .
8．（2021九上·高邮期末）直角三角形ABC中，若tanA= ，则sinA=
9．（2021·南岗模拟）在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的高，且BD＝ AC，则∠C的大小为 度．
10．（2021·铁锋模拟）在 中， ，两锐角的度数之比为1：2，最短边 长为2，且 ， 交边 所在直线于点 ，则 的长为 ．
11．（2021·沈河模拟）如图，点 ， ， 在 上， ， ， ， 的长为 ．
12．（2021·孝义模拟）如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，AE⊥CD，垂足为E，AE=2CE．若AC=6，BC=8，则CD的长度为 ．
三、解答题
13．（2019九上·沙河口期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，解这个直角三角形.
14．（2018九上·灵石期末）汾河孕育着世代的龙城子孙，而魅力汾河两岸那“新外滩”的称号，将太原人对汾河的爱表露无遗…贯穿太原的汾河，让桥，也成为太原的文化符号，让汾河两岸，也成为繁华的必争之地！北中环桥是世界上首座对称五拱反对称五跨非对称斜拉索桥，2013年开工建设，当年实现全线竣工通车．这座桥造型现代，宛如一条腾飞巨龙．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
四、作图题
15．（2017·广丰模拟）应用无刻度的直尺画图：
在下面的三个图中，以OA为边，在正方形网格内作∠AOB=α，B点为格点（每个小正方形的顶点）使sinα的值分别为： ， 和 ．
五、综合题
16．（2020九上·重庆开学考）如图，在 中， 是BC边上的高， ， ， .
（1）求线段 的长度：
（2）求 的值.
17．（2021·交城模拟）20． 歼-20（英文：Chengdu J-20，绰号：威龙，北约命名：Fire Fang）是我国自主研发的一款单座、双发动机并具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的第五代战斗机．
歼-20在机腹部位有一个主弹仓，机身两侧的起落架前方各有一个侧弹仓．歼-20的侧弹舱门为一片式结构，这个弹舱舱门向上开启，弹舱内滑轨的前端向外探出，使导弹头部伸出舱外，再直接点火发射．
如图是歼-20侧弹舱内部结构图，它的舱体横截面是等腰梯形ABCD，AD//BC，AB = CD，BE⊥AD，CF⊥AD，侧弹舱宽AE = 2.3米，舱底宽BC = 3.94米，舱顶与侧弹舱门的夹角∠A = 53°．
求：
（1）侧弹舱门AB的长；
（2）舱顶AD与对角线BD的夹角的正切值．（结果精确到0.01，参考数据： ， ， ）．
18．（2021·婺城模拟）如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB=11cm，支撑板长BC=8cm，托板长CD=6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动。
（1）如果∠ABC=60°，∠BCD=70，求点D到直线AB的距离(精确到0.1cm)；
（2）在第(1)小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后， 再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．
(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73)
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
又 ，
AB=6.
故答案为：C.
【分析】由锐角三角函数sinA=可求解.
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
∴
∴ .
故答案为：B.
【分析】在 中，先根据勾股定理求出BC长，再根据正切三角函数的定义计算即可.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，可得 ，可得结果.
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
，
即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，sin∠A= = ，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB= =80，
故答案为：D．
【分析】由sinA= = 可求出BC，再利用勾股定理求出AB即可.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△DEC中，
∵CD=20，DE=10.
∴ ∠DCE=30°，∠CDE=60°.
∴ ∠CDF=30°.
又∵∠BDF=30°.∠BCA=60°.
∴ ∠BCD=30°.∠BDC=60°.
在Rt△BCD中，
∴ tan60°=.
∴ BC=DCtan60°=20.
在Rt△BAC中，
∴ sin60°=.
∴ BA=BCsin60°=20×=30（m）.
故AB的高度为30m.
【分析】依题可得CD=20，DE=10.∠BDF=30°.∠BCA=60°.在Rt△BCD中和Rt△BAC中，利用锐角三角函数即可求出CB，BA
7．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ，
在 中，
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC的长；再在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出BD的长.
8．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图： ，
设 BC=3a， AB=4a，
则 ，
.
故答案为：.
【分析】设BC=3a， AB=4a，利用勾股定理求出AC=5a，由即可求出结论.
9．【答案】67.5或22.5
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵BD＝ AC，
∴ ．
∵AB＝AC，
∴ ，
如图1所示：在Rt△ABD中，
∵sinA＝ ＝ ，
∴∠A＝45°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C＝ ＝67.5°．
如图2所示：在Rt△ABD中，
∵sin∠BAD＝ ＝ ，
∴∠BAD＝45°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C＝ ＝22.5°．
故答案为：67.5或22.5．
【分析】先求出 ，再分类讨论，利用锐角三角函数求解即可。
10．【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，两锐角的度数之比为2：1，
∴两锐角的度数为：60°，30°；
∵最短边 长为2，
∴∠A=60°，∠B=30°，CA=2，
∴AB=4，
∴BC= ．
如图，当∠ACP=30°时，∵∠ACP=30°，∠A=60°，
∴∠APC=90°
∴PA=
∴CP= ；
当∠ACP'=30°时，则∠P'CB=120°，
∴∠AP'C=30°
∵∠B=30°，
∴∠AP'C=∠B，
∴P'C=BC= ；
故答案为： 或 ．
【分析】先求出∠A=60°，∠B=30°，CA=2，再利用勾股定理求出BC的值，最后分类讨论求解即可。
11．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作BC的垂线交BC于点D，
，
，
，
为等腰三角形，根据三线合一，
点D为BC的中点，
，
在 中，由锐角三角函数知，
，
，
故答案是： ．
【分析】由两直线平行，得出BC所在等腰三角形的一个底角，作底边的高，在直角三角形中利用锐角三角函数知识表示出边长，再根据三线合一即可求出BC的长．
12．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DF⊥BC于F，
∵AE⊥CD，
∴tan∠CAE= ，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠BCD=∠CAE，
∴tan∠CAE= tan∠BCD= ，
∴CF=2DF，
∵AC=6，BC=8，BF=BC-CF=8-2DF，
∴tanB= ，
∴ ，
解得DF=2.4，
∵8-2DF=8-4.8=3.2≠0，
∴CF=2DF=4.8，
在Rt△CDF中，
．
故答案为 ．
【分析】先求出∠BCD=∠CAE，再求出DF=2.4，最后利用勾股定理计算求解即可。
13．【答案】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AB＝8，
∴AC＝ AB＝4，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝4 .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据含 角的直角三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出 即可.
14．【答案】解：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，
在Rt△ADC中，tan36°= ，
∴AD= ，
在Rt△BCD中，tan∠B= ，
BD= ，
∴ =20，
解得x=8.179≈8.2m．
答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先作辅助线CD⊥AB交AB于点D，根据角度和三角函数的定义得到直角边之间的等量关系，假定CD长度为x，用含x的代数式表示AD和BD，最后根据AB的长度建立方程，从而得到答案。
15．【答案】解：如图所示：∠AOB为所求；
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】如图（1）直角边长是5和5的直角三角形的斜边长是5 ，则sinα= ，如图（2）直角边长是4和3的直角三角形的斜边长是5，则sinα= ；如图（3）直角边长是1和3的直角三角形的斜边长是 ，则sinα= ．
16．【答案】（1）解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sinB= ，AD=12，
∴AB=15，
∴BD= ，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5
（2）解：由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC= ，
∴cosC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据sinB= 求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD；
（2）先利用勾股定理算出AC的长，再利用三角函数的定义，求出cos∠C的值即可.
17．【答案】（1）解： BE⊥AD，CF⊥AD，侧弹舱宽AE = 2.3米，∠A = 53°．
在 中，
解得： 米.
（2）解：在 中，
解得：
舱顶AD与对角线BD的夹角就是 ，
在 中，
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 （1） 在 中，直接用余弦即可求出侧弹舱门AB的长.
（2） 舱顶AD与对角线BD的夹角就是 ，在 中，即可求出它的正切值.
18．【答案】（1）解：如图2，过D作DM⊥AB，交AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N，垂足为N，过点D作DQ⊥CN交CB于点Q，垂足为F，
在Rt△CNB中，∠ABC=60°，BC=8cm，
∴CN=CB sin∠ABC=8×≈6.92（cm），
∵∠BCN=90°-60°=30°，又∵∠DCB=70°，
∴∠DCF=70°-30°=40°，
在Rt△DCF中，∠DCF=40°，CD=6cm，∴CF=CD cos40°≈6×0.77=4.62（cm），
∵∠DMN=∠MNF=∠NFD=90°，∴四边形MNFD是矩形，
∴DM=FN=CN-CF=6.92-4.62=2.3（cm），
即点D到直线AB的距离为2.3cm；
（2）解：把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，∠C′=70°+20°=90°，如图，
∵BC=8cm，CD=6cm，
∴tan∠B=0.75，
∵tan37°≈0.75，
∴∠C′BD′=37°，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBC′=60°-37°=23°，
答：线段BC旋转的角度为23°．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）过D作DM⊥AB，交AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N，垂足为N，过点D作DQ⊥CN交CB于点Q，垂足为F， 在Rt△CNB中，利用解直角三角形求出CN的长及∠BCN的度数，由此可求出∠DCF的度数；在Rt△DCF中，利用解直角三角形求出CF的长；然后证明四边形MNFD是矩形，利用矩形的性质可证得DM=FN=CN-CF，代入计算，可求出DM的长.
（2）线段CD绕点C顺时针旋转20°后，可求出∠C′=70°+20°=90°， 利用解直角三角形求出∠C′BD′的度数；然后根据∠CBC′=∠ABC-∠C′BD′，代入计算可求出线段BC的旋转角度.
1 / 1初中数学湘教版九年级上册4.3解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·八步期末）如图，在 中， ， ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
又 ，
AB=6.
故答案为：C.
【分析】由锐角三角函数sinA=可求解.
2．（2021九上·长兴期末）在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
∴
∴ .
故答案为：B.
【分析】在 中，先根据勾股定理求出BC长，再根据正切三角函数的定义计算即可.
3．（2021·玉林）如图， 底边 上的高为 ， 底边 上的高为 ，则有（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示，
由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，可得 ，可得结果.
4．（2021·长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米， ，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
，
即 ，
故答案为：A．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
5．（2021·云南）在 中， ，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，sin∠A= = ，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB= =80，
故答案为：D．
【分析】由sinA= = 可求出BC，再利用勾股定理求出AB即可.
6．（2017·深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡 旁一棵树 的高度，他们先在点 处测得树顶 的仰角为 ，然后在坡顶 测得树顶 的仰角为 ，已知斜坡 的长度为 ， 的长为 ，则树 的高度是（ ）
A． B．30 C． D．40
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△DEC中，
∵CD=20，DE=10.
∴ ∠DCE=30°，∠CDE=60°.
∴ ∠CDF=30°.
又∵∠BDF=30°.∠BCA=60°.
∴ ∠BCD=30°.∠BDC=60°.
在Rt△BCD中，
∴ tan60°=.
∴ BC=DCtan60°=20.
在Rt△BAC中，
∴ sin60°=.
∴ BA=BCsin60°=20×=30（m）.
故AB的高度为30m.
【分析】依题可得CD=20，DE=10.∠BDF=30°.∠BCA=60°.在Rt△BCD中和Rt△BAC中，利用锐角三角函数即可求出CB，BA
二、填空题
7．（2021九上·泉州期末）将一副直角三角尺按如图所示放置， ， ， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ，
在 中，
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC的长；再在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出BD的长.
8．（2021九上·高邮期末）直角三角形ABC中，若tanA= ，则sinA=
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图： ，
设 BC=3a， AB=4a，
则 ，
.
故答案为：.
【分析】设BC=3a， AB=4a，利用勾股定理求出AC=5a，由即可求出结论.
9．（2021·南岗模拟）在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的高，且BD＝ AC，则∠C的大小为 度．
【答案】67.5或22.5
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵BD＝ AC，
∴ ．
∵AB＝AC，
∴ ，
如图1所示：在Rt△ABD中，
∵sinA＝ ＝ ，
∴∠A＝45°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C＝ ＝67.5°．
如图2所示：在Rt△ABD中，
∵sin∠BAD＝ ＝ ，
∴∠BAD＝45°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C＝ ＝22.5°．
故答案为：67.5或22.5．
【分析】先求出 ，再分类讨论，利用锐角三角函数求解即可。
10．（2021·铁锋模拟）在 中， ，两锐角的度数之比为1：2，最短边 长为2，且 ， 交边 所在直线于点 ，则 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，两锐角的度数之比为2：1，
∴两锐角的度数为：60°，30°；
∵最短边 长为2，
∴∠A=60°，∠B=30°，CA=2，
∴AB=4，
∴BC= ．
如图，当∠ACP=30°时，∵∠ACP=30°，∠A=60°，
∴∠APC=90°
∴PA=
∴CP= ；
当∠ACP'=30°时，则∠P'CB=120°，
∴∠AP'C=30°
∵∠B=30°，
∴∠AP'C=∠B，
∴P'C=BC= ；
故答案为： 或 ．
【分析】先求出∠A=60°，∠B=30°，CA=2，再利用勾股定理求出BC的值，最后分类讨论求解即可。
11．（2021·沈河模拟）如图，点 ， ， 在 上， ， ， ， 的长为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作BC的垂线交BC于点D，
，
，
，
为等腰三角形，根据三线合一，
点D为BC的中点，
，
在 中，由锐角三角函数知，
，
，
故答案是： ．
【分析】由两直线平行，得出BC所在等腰三角形的一个底角，作底边的高，在直角三角形中利用锐角三角函数知识表示出边长，再根据三线合一即可求出BC的长．
12．（2021·孝义模拟）如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，AE⊥CD，垂足为E，AE=2CE．若AC=6，BC=8，则CD的长度为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DF⊥BC于F，
∵AE⊥CD，
∴tan∠CAE= ，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠BCD=∠CAE，
∴tan∠CAE= tan∠BCD= ，
∴CF=2DF，
∵AC=6，BC=8，BF=BC-CF=8-2DF，
∴tanB= ，
∴ ，
解得DF=2.4，
∵8-2DF=8-4.8=3.2≠0，
∴CF=2DF=4.8，
在Rt△CDF中，
．
故答案为 ．
【分析】先求出∠BCD=∠CAE，再求出DF=2.4，最后利用勾股定理计算求解即可。
三、解答题
13．（2019九上·沙河口期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝60°，解这个直角三角形.
【答案】解：如图，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AB＝8，
∴AC＝ AB＝4，
由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝4 .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据含 角的直角三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出 即可.
14．（2018九上·灵石期末）汾河孕育着世代的龙城子孙，而魅力汾河两岸那“新外滩”的称号，将太原人对汾河的爱表露无遗…贯穿太原的汾河，让桥，也成为太原的文化符号，让汾河两岸，也成为繁华的必争之地！北中环桥是世界上首座对称五拱反对称五跨非对称斜拉索桥，2013年开工建设，当年实现全线竣工通车．这座桥造型现代，宛如一条腾飞巨龙．
小芸和小刚分别在桥面上的A，B处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离AB=20m，小芸在A处测得∠CAB=36°，小刚在B处测得∠CBA=43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
【答案】解：过点C作CD⊥AB于D．设CD=x，
在Rt△ADC中，tan36°= ，
∴AD= ，
在Rt△BCD中，tan∠B= ，
BD= ，
∴ =20，
解得x=8.179≈8.2m．
答：拱梁顶部C处到桥面的距离8.2m．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先作辅助线CD⊥AB交AB于点D，根据角度和三角函数的定义得到直角边之间的等量关系，假定CD长度为x，用含x的代数式表示AD和BD，最后根据AB的长度建立方程，从而得到答案。
四、作图题
15．（2017·广丰模拟）应用无刻度的直尺画图：
在下面的三个图中，以OA为边，在正方形网格内作∠AOB=α，B点为格点（每个小正方形的顶点）使sinα的值分别为： ， 和 ．
【答案】解：如图所示：∠AOB为所求；
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】如图（1）直角边长是5和5的直角三角形的斜边长是5 ，则sinα= ，如图（2）直角边长是4和3的直角三角形的斜边长是5，则sinα= ；如图（3）直角边长是1和3的直角三角形的斜边长是 ，则sinα= ．
五、综合题
16．（2020九上·重庆开学考）如图，在 中， 是BC边上的高， ， ， .
（1）求线段 的长度：
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵sinB= ，AD=12，
∴AB=15，
∴BD= ，
∵BC=14，
∴DC=BC-BD=14-9=5
（2）解：由（1）知，CD=5，AD=12，
∴AC= ，
∴cosC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据sinB= 求得AB=15，由勾股定理得BD=9，从而计算出CD；
（2）先利用勾股定理算出AC的长，再利用三角函数的定义，求出cos∠C的值即可.
17．（2021·交城模拟）20． 歼-20（英文：Chengdu J-20，绰号：威龙，北约命名：Fire Fang）是我国自主研发的一款单座、双发动机并具备高隐身性、高态势感知、高机动性等能力的第五代战斗机．
歼-20在机腹部位有一个主弹仓，机身两侧的起落架前方各有一个侧弹仓．歼-20的侧弹舱门为一片式结构，这个弹舱舱门向上开启，弹舱内滑轨的前端向外探出，使导弹头部伸出舱外，再直接点火发射．
如图是歼-20侧弹舱内部结构图，它的舱体横截面是等腰梯形ABCD，AD//BC，AB = CD，BE⊥AD，CF⊥AD，侧弹舱宽AE = 2.3米，舱底宽BC = 3.94米，舱顶与侧弹舱门的夹角∠A = 53°．
求：
（1）侧弹舱门AB的长；
（2）舱顶AD与对角线BD的夹角的正切值．（结果精确到0.01，参考数据： ， ， ）．
【答案】（1）解： BE⊥AD，CF⊥AD，侧弹舱宽AE = 2.3米，∠A = 53°．
在 中，
解得： 米.
（2）解：在 中，
解得：
舱顶AD与对角线BD的夹角就是 ，
在 中，
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】 （1） 在 中，直接用余弦即可求出侧弹舱门AB的长.
（2） 舱顶AD与对角线BD的夹角就是 ，在 中，即可求出它的正切值.
18．（2021·婺城模拟）如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB=11cm，支撑板长BC=8cm，托板长CD=6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动。
（1）如果∠ABC=60°，∠BCD=70，求点D到直线AB的距离(精确到0.1cm)；
（2）在第(1)小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后， 再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．
(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73)
【答案】（1）解：如图2，过D作DM⊥AB，交AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N，垂足为N，过点D作DQ⊥CN交CB于点Q，垂足为F，
在Rt△CNB中，∠ABC=60°，BC=8cm，
∴CN=CB sin∠ABC=8×≈6.92（cm），
∵∠BCN=90°-60°=30°，又∵∠DCB=70°，
∴∠DCF=70°-30°=40°，
在Rt△DCF中，∠DCF=40°，CD=6cm，∴CF=CD cos40°≈6×0.77=4.62（cm），
∵∠DMN=∠MNF=∠NFD=90°，∴四边形MNFD是矩形，
∴DM=FN=CN-CF=6.92-4.62=2.3（cm），
即点D到直线AB的距离为2.3cm；
（2）解：把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，∠C′=70°+20°=90°，如图，
∵BC=8cm，CD=6cm，
∴tan∠B=0.75，
∵tan37°≈0.75，
∴∠C′BD′=37°，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBC′=60°-37°=23°，
答：线段BC旋转的角度为23°．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）过D作DM⊥AB，交AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N，垂足为N，过点D作DQ⊥CN交CB于点Q，垂足为F， 在Rt△CNB中，利用解直角三角形求出CN的长及∠BCN的度数，由此可求出∠DCF的度数；在Rt△DCF中，利用解直角三角形求出CF的长；然后证明四边形MNFD是矩形，利用矩形的性质可证得DM=FN=CN-CF，代入计算，可求出DM的长.
（2）线段CD绕点C顺时针旋转20°后，可求出∠C′=70°+20°=90°， 利用解直角三角形求出∠C′BD′的度数；然后根据∠CBC′=∠ABC-∠C′BD′，代入计算可求出线段BC的旋转角度.
1 / 1
