初中数学湘教版九年级上册第四章 锐角三角函数 单元测试

初中数学湘教版九年级上册第四章 锐角三角函数 单元测试
一、单选题
1．（2021·长春模拟）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为（　　）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
2．（2021·河西模拟） 的值等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2021九下·咸宁月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．以上都不对
4．（2021·十堰）如图，小明利用一个锐角是 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 为 ， 为 （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（　　）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
6．（2021·株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示， 垂直地面 于点 ， 与水平线 的夹角为 ， ，若 米， 米，车辆的高度为 （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度.
①当 时， 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当 时， 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当 时， 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则上述说法正确的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2021·重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 ，坡顶D到BC的垂直距离 米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据： ； ； ）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
8．（2021·开福模拟）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（　　）
A． B． C．6cos50° D．
9．（2021·天桥模拟）小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角 已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（　　）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
A．13.6 B．18.1 C．17.3 D．16.8
10．（2021·龙港模拟）如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， 是正方形 边上的线段，点 在其中某条线段上，若射线 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ，则点 所在的线段可以是 　　
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
二、填空题
11．（2021·杭州）sin30°=　 　
12．（2021·崆峒模拟）若sin（x﹣30°）＝ ，则x＝　 　.
13．（2021·梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 　 　米.（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）
14．（2021·百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机.当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为　 　米.
15．（2021·烟台）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为　 　米．（结果精确到1米，参考数据： ， ）
16．（2017九上·大庆期中）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝ ，则CD的长为　 　.
三、计算题
17．（2020九上·蚌埠月考）计算： ．
18．（2020·虹口模拟）计算：
19．（2021九下·咸宁月考）计算：
（1）3tan230°＋ tan60°－2sin245°；
（2）(2019－π)0－4cos30°＋ ＋|1－ |.
四、解答题
20．（2020·甘孜）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据： ）
21．（2021·湘西）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 处的仰角为30°，在平地上 处观测到楼顶 处的仰角为 ，并测得A、 两处相距 ，求“一心阁” 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
22．（2019·巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 ， ，求出点D到AB的距离．（参考数据 ， ， ）
五、综合题
23．（2019九上·宜阳期末）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°=　 　；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
24．（2021·荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上.
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
25．（2021·泰州模拟）货车长方体货厢的净高BC为2.5 m，底部B离地面的高度BD为1.2 m.现欲将高为2 m的正方体货物装进货厢，工人师傅搭了坡度为i=1∶3的坡面AB.
（1）若货物从如图所示的位置升高0.5 m，则水平移动了多少？
（2）由于货物较重但分布均匀，工人师傅试图将货物沿坡面AB推到适当位置后，再轻松平放进货厢.请问能否达到目的？为什么？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∴BC=.
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的定义得出，得出BC=，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 ．
故答案为：A．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题干可得如下图，则 ，
故答案为：B.
【分析】利用即可求出结论.
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD tan30°＝15× ＝5 ，
∴CE＝CD＋DE＝ .
故答案为：D.
【分析】证明四边形ABCD是矩形，可得AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，求出ED＝AD tan30°＝5 ，利用CE＝CD＋DE即可求出结论.
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图过E点作 交 的延长线于点M，
则
①当 时， 三点共线，
小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确.
②当 时，
等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确.
③当 时，
等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误.
综上所述：说法正确的为：①②，共2个.
故答案为：C.
【分析】如图过E点作EM⊥AB交AB的延长线于点M，①当 时，A、B、E三点共线，根据h=AE=AB+BE可求得h的值，比较h与3.3的大小即可判断求解；②当 时，根据h=AB+BE×sin可求得h的值，比较h与2.9的大小即可判断求解；③当 时，根据h=AB+BE×sin可求得h的值，比较h与3.1的大小即可判断求解.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，
∴ ，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）为 ，
∴在Rt△CED中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，
∴ ，
将 代入解得： ，
∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，
故答案为：D.
【分析】作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，可求出BF的长，利用坡度的定义，可求出CE的长，根据BE=BC-CE，可求出BE，DF的长；在Rt△ADF中，利用解直角三角形求出AF的长，然后根据AB=AF+BF求出AB的长.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=6m，
∴cos50°= = ，
∴AC= .
故答案为：B.
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cos50°= ，进而得出答案.
9．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
由题意可知：
∵∠CBE=45°，∠CAD=53°，AB=4.5米，
∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD，DE=AB=4.5米，
设CE=x米，则CD=BC+BD=（x+4.5）米，
在Rt△CEB中，BE= =x米，
在Rt△ADC中，CD=AD tan53°，
即x+4.5=x tan53°，
∴x≈13.64，
∴CE=13.64（米），
∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1（米）．
答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．
故答案为：B．
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，根据已知条件求出BE=AD，设CE=x，则，CD=BC+BD=x+4.5，根据锐角三角函数求出x的值，即可得出CD的值。
10．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】如图，当点 在线段 上时，连接 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
如图，当点 在 上时，作 于 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
故答案为：D．
【分析】当点 在线段 上时，连接 ．根据正弦函数，余弦函数的定义判断的大小，点 在 上时，作 于 ．判断的大小即可解决问题。
11．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°= .
【分析】利用特殊角的三角函数值可求出sin30°的值.
12．【答案】90°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin（x﹣30°）＝ ，
∴x﹣30°＝60°，
∴x＝90°，
故答案为：90°.
【分析】根据特殊角三函数值进行解答即可.
13．【答案】326
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，
，
∴ （米）
故答案为：326
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC的长.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知： ， ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即电视塔的高度为 米.
故答案为：
【分析】在Rt△APO中，利用解直角三角形求出AO的长；在Rt△BPO中，利用解直角三角形求出BO的长；然后根据AB=AO+BO，代入计算可求出AB的长.
15．【答案】14
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，
（米），
（米）；
故答案为：14．
【分析】根据直角三角形的性质求出OC，求出答案即可。
16．【答案】 、 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图1：
BD=1，tan∠ABD=
如图2：
BD=1，tan∠ABD=
如图3：
BD=1，tan∠ABD=
又
综上述， 、 或
故答案为： 、 或
【分析】此题有3种情况，第一种情况，等腰三角形ABC的顶角A是锐角时，由解直角三角形可以求出CD的长；第二种情况，等腰三角形ABC的顶角A是钝角时，由解直角三角形可以求出CD的长；第三种情况，等腰三角形ABC的顶角C是钝角时，由解直角三角形可以求出CD的长。
17．【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】熟记特殊的锐角三角函数值进行计算即可作答。
18．【答案】解：原式＝
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把特殊的锐角三角函数值代入计算即可
19．【答案】（1）解：原式= ；
（2）解：原式= .
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）将tan30°=，tan60°=，sin45°=代入计算即可；
（2）原式可化为1-4×+4+-1，据此计算即可.
20．【答案】解：由题意可知 ， ， 米，
在 中， (米)，
在 中， (米)，
(米)．
答：这栋楼的高度约为95米．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正切函数分别在Rt△ABD与Rt△ACD中求得BD与CD的长即可．
21．【答案】解：由题意得： ，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有 m，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得CH=BH，设CH=BH=xm，则有 m，由 列出方程，求出x值即可.
22．【答案】解：如图，过点D作 于E，过D作 于F，则四边形EBFD是矩形，
设 ，
在Rt△ADE中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
在Rt△CDF中， ， ，
∴ ，
又 ，
即： ，
解得： ，
故：点D到AB的距离是214m
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点D作 于E，过D作 垂直于F，则四边形EBFD是矩形， 设DE=x,根据角的正切值定义可得到， ，则 ，再根据题意算出 ，又BE=CF,即 解出答案即可
23．【答案】（1）
（2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值；
（2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。
24．【答案】（1）解：如图1，作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， .
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
（2）解： ，
.
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：
∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 作 ，交AB的延长线于C，设 ， ， 由，解出x值即可；
（2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD， 以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，可得∠PDB=90°，
由（1）得可得，据此可得∠PBD=60°，由∠CBD=∠PBD-∠PBC，求出∠CBD的度数即可.
25．【答案】（1）解：设水平移动xm，由i=1∶3有 ，x=1.5（m）
（2）解：当重心G落在直线CD上时，过点E作货厢底部的垂线于H，交BF于I，过点G作GT⊥BF于T，如图，此时点E到货厢底部的垂线最长，GT= FT= EF=1（m），
∵货厢底部与地面平行，
∴EH∥CD，
∴∠IHT=∠ABD，∵∠BDA = ∠IHB =90°
∴∠IBH=∠BAD，
∵∠BIH =∠EIF，∠IHB=∠EFI = 90°，∵tan ∠BAD=
∴
（m）
∴ EI =
∵∠ABD = ∠GBT，
∴∠BDA=∠GTB = 90°
∴∠BGT =∠BAD，
∴
∴ （m），
∴BF= FT+ BT= = （m）
∴BI= BF-FI= （m）
∵
∴IH2 +（3IH）2=BI2
∴
∴IH=
∴EH=EI+ IH=
∵
∴货物的E点碰不到货厢顶部，工人师傅能达到目的.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）设水平移动xm，利用坡度的定义可建立关于x的方程，解方程求出x的值；
（2）当重心G落在直线CD上时，过点E作货厢底部的垂线于H，交BF于I，过点G作GT⊥BF于T，如图，此时点E到货厢底部的垂线最长，可求出GT，FT的长；再证明∠IBH=∠BAD，利用解直角三角形求出FI的长，利用勾股定理求出EI的长；然后证明∠BGT =∠BAD，分别求出BF，BI的长，可得到IH与BH的比值；利用勾股定理求出IH的长，根据EH=EI+IH，代入计算求出EH的长.
1 / 1初中数学湘教版九年级上册第四章 锐角三角函数 单元测试
一、单选题
1．（2021·长春模拟）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为（　　）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∴BC=.
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的定义得出，得出BC=，即可得出答案.
2．（2021·河西模拟） 的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 ．
故答案为：A．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
3．（2021九下·咸宁月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据题干可得如下图，则 ，
故答案为：B.
【分析】利用即可求出结论.
4．（2021·十堰）如图，小明利用一个锐角是 的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离 为 ， 为 （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD tan30°＝15× ＝5 ，
∴CE＝CD＋DE＝ .
故答案为：D.
【分析】证明四边形ABCD是矩形，可得AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，在Rt△AED中，求出ED＝AD tan30°＝5 ，利用CE＝CD＋DE即可求出结论.
5．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（　　）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
6．（2021·株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示， 垂直地面 于点 ， 与水平线 的夹角为 ， ，若 米， 米，车辆的高度为 （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度.
①当 时， 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当 时， 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当 时， 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.则上述说法正确的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图过E点作 交 的延长线于点M，
则
①当 时， 三点共线，
小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确.
②当 时，
等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确.
③当 时，
等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误.
综上所述：说法正确的为：①②，共2个.
故答案为：C.
【分析】如图过E点作EM⊥AB交AB的延长线于点M，①当 时，A、B、E三点共线，根据h=AE=AB+BE可求得h的值，比较h与3.3的大小即可判断求解；②当 时，根据h=AB+BE×sin可求得h的值，比较h与2.9的大小即可判断求解；③当 时，根据h=AB+BE×sin可求得h的值，比较h与3.1的大小即可判断求解.
7．（2021·重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为 ，坡顶D到BC的垂直距离 米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据： ； ； ）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，
∴ ，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）为 ，
∴在Rt△CED中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，
∴ ，
将 代入解得： ，
∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，
故答案为：D.
【分析】作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，可求出BF的长，利用坡度的定义，可求出CE的长，根据BE=BC-CE，可求出BE，DF的长；在Rt△ADF中，利用解直角三角形求出AF的长，然后根据AB=AF+BF求出AB的长.
8．（2021·开福模拟）如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（　　）
A． B． C．6cos50° D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=6m，
∴cos50°= = ，
∴AC= .
故答案为：B.
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cos50°= ，进而得出答案.
9．（2021·天桥模拟）小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角 已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（　　）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
A．13.6 B．18.1 C．17.3 D．16.8
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
由题意可知：
∵∠CBE=45°，∠CAD=53°，AB=4.5米，
∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD，DE=AB=4.5米，
设CE=x米，则CD=BC+BD=（x+4.5）米，
在Rt△CEB中，BE= =x米，
在Rt△ADC中，CD=AD tan53°，
即x+4.5=x tan53°，
∴x≈13.64，
∴CE=13.64（米），
∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1（米）．
答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．
故答案为：B．
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，根据已知条件求出BE=AD，设CE=x，则，CD=BC+BD=x+4.5，根据锐角三角函数求出x的值，即可得出CD的值。
10．（2021·龙港模拟）如图，在平面直角坐标系 中， ， ， ， 是正方形 边上的线段，点 在其中某条线段上，若射线 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ，则点 所在的线段可以是 　　
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】如图，当点 在线段 上时，连接 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
如图，当点 在 上时，作 于 ．
， ， ，
，
同法可证，点 在 上时， ，
故答案为：D．
【分析】当点 在线段 上时，连接 ．根据正弦函数，余弦函数的定义判断的大小，点 在 上时，作 于 ．判断的大小即可解决问题。
二、填空题
11．（2021·杭州）sin30°=　 　
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°= .
【分析】利用特殊角的三角函数值可求出sin30°的值.
12．（2021·崆峒模拟）若sin（x﹣30°）＝ ，则x＝　 　.
【答案】90°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵sin（x﹣30°）＝ ，
∴x﹣30°＝60°，
∴x＝90°，
故答案为：90°.
【分析】根据特殊角三函数值进行解答即可.
13．（2021·梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 　 　米.（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）
【答案】326
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°，
，
∴ （米）
故答案为：326
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC的长.
14．（2021·百色）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机.当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为　 　米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知： ， ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即电视塔的高度为 米.
故答案为：
【分析】在Rt△APO中，利用解直角三角形求出AO的长；在Rt△BPO中，利用解直角三角形求出BO的长；然后根据AB=AO+BO，代入计算可求出AB的长.
15．（2021·烟台）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为　 　米．（结果精确到1米，参考数据： ， ）
【答案】14
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，无人机所在水平线与旗杆所在竖直线交于点B，旗杆为CD，无人机为点A，由题意可知，AB=45米，∠BAC=30°，BD=40米，
（米），
（米）；
故答案为：14．
【分析】根据直角三角形的性质求出OC，求出答案即可。
16．（2017九上·大庆期中）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝ ，则CD的长为　 　.
【答案】 、 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】如图1：
BD=1，tan∠ABD=
如图2：
BD=1，tan∠ABD=
如图3：
BD=1，tan∠ABD=
又
综上述， 、 或
故答案为： 、 或
【分析】此题有3种情况，第一种情况，等腰三角形ABC的顶角A是锐角时，由解直角三角形可以求出CD的长；第二种情况，等腰三角形ABC的顶角A是钝角时，由解直角三角形可以求出CD的长；第三种情况，等腰三角形ABC的顶角C是钝角时，由解直角三角形可以求出CD的长。
三、计算题
17．（2020九上·蚌埠月考）计算： ．
【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】熟记特殊的锐角三角函数值进行计算即可作答。
18．（2020·虹口模拟）计算：
【答案】解：原式＝
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把特殊的锐角三角函数值代入计算即可
19．（2021九下·咸宁月考）计算：
（1）3tan230°＋ tan60°－2sin245°；
（2）(2019－π)0－4cos30°＋ ＋|1－ |.
【答案】（1）解：原式= ；
（2）解：原式= .
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）将tan30°=，tan60°=，sin45°=代入计算即可；
（2）原式可化为1-4×+4+-1，据此计算即可.
四、解答题
20．（2020·甘孜）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据： ）
【答案】解：由题意可知 ， ， 米，
在 中， (米)，
在 中， (米)，
(米)．
答：这栋楼的高度约为95米．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用正切函数分别在Rt△ABD与Rt△ACD中求得BD与CD的长即可．
21．（2021·湘西）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 处的仰角为30°，在平地上 处观测到楼顶 处的仰角为 ，并测得A、 两处相距 ，求“一心阁” 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
【答案】解：由题意得： ，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有 m，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得CH=BH，设CH=BH=xm，则有 m，由 列出方程，求出x值即可.
22．（2019·巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 ， ，求出点D到AB的距离．（参考数据 ， ， ）
【答案】解：如图，过点D作 于E，过D作 于F，则四边形EBFD是矩形，
设 ，
在Rt△ADE中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
在Rt△CDF中， ， ，
∴ ，
又 ，
即： ，
解得： ，
故：点D到AB的距离是214m
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点D作 于E，过D作 垂直于F，则四边形EBFD是矩形， 设DE=x,根据角的正切值定义可得到， ，则 ，再根据题意算出 ，又BE=CF,即 解出答案即可
五、综合题
23．（2019九上·宜阳期末）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°=　 　；
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【答案】（1）
（2）解：∵tanA= ，
∴设BC=3，AC=4，
∴ctanA= =
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC= AB，
∴AC= = = AB，
∴ctan30°= = ．
故答案为： ；
【分析】（1）根据含30度直角三角形的边之间的关系得出BC= AB，然后根据勾股定理算出AC的长，然后根据余切函数的定义即可算出ctan30°的值；
（2）根据正切函数的定义，由 tanA= ， 设BC=3，AC=4， 然后再根据余切函数的定义算出 ctanA的值 。
24．（2021·荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 的方向上，当海监船行驶 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 方向上.
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
【答案】（1）解：如图1，作 ，交AB的延长线于C，
由题意知： ， .
设 ：则 ，
，
解得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，
（2）解： ，
.
因此海监船继续向东航行有触礁危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，
以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，∴∠PDB=90°，
由（1）得：
∴ ，
∴∠PBD=60°，
∴∠CBD=15°，
∴海监船由B处开始沿南偏东小于 的方向航行能安全通过这一海域
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1） 作 ，交AB的延长线于C，设 ， ， 由，解出x值即可；
（2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD， 以 为圆心， 为半径作圆，过 作圆P的切线 交 于点D，可得∠PDB=90°，
由（1）得可得，据此可得∠PBD=60°，由∠CBD=∠PBD-∠PBC，求出∠CBD的度数即可.
25．（2021·泰州模拟）货车长方体货厢的净高BC为2.5 m，底部B离地面的高度BD为1.2 m.现欲将高为2 m的正方体货物装进货厢，工人师傅搭了坡度为i=1∶3的坡面AB.
（1）若货物从如图所示的位置升高0.5 m，则水平移动了多少？
（2）由于货物较重但分布均匀，工人师傅试图将货物沿坡面AB推到适当位置后，再轻松平放进货厢.请问能否达到目的？为什么？
【答案】（1）解：设水平移动xm，由i=1∶3有 ，x=1.5（m）
（2）解：当重心G落在直线CD上时，过点E作货厢底部的垂线于H，交BF于I，过点G作GT⊥BF于T，如图，此时点E到货厢底部的垂线最长，GT= FT= EF=1（m），
∵货厢底部与地面平行，
∴EH∥CD，
∴∠IHT=∠ABD，∵∠BDA = ∠IHB =90°
∴∠IBH=∠BAD，
∵∠BIH =∠EIF，∠IHB=∠EFI = 90°，∵tan ∠BAD=
∴
（m）
∴ EI =
∵∠ABD = ∠GBT，
∴∠BDA=∠GTB = 90°
∴∠BGT =∠BAD，
∴
∴ （m），
∴BF= FT+ BT= = （m）
∴BI= BF-FI= （m）
∵
∴IH2 +（3IH）2=BI2
∴
∴IH=
∴EH=EI+ IH=
∵
∴货物的E点碰不到货厢顶部，工人师傅能达到目的.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）设水平移动xm，利用坡度的定义可建立关于x的方程，解方程求出x的值；
（2）当重心G落在直线CD上时，过点E作货厢底部的垂线于H，交BF于I，过点G作GT⊥BF于T，如图，此时点E到货厢底部的垂线最长，可求出GT，FT的长；再证明∠IBH=∠BAD，利用解直角三角形求出FI的长，利用勾股定理求出EI的长；然后证明∠BGT =∠BAD，分别求出BF，BI的长，可得到IH与BH的比值；利用勾股定理求出IH的长，根据EH=EI+IH，代入计算求出EH的长.
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