初中数学湘教版九年级上册4.4解直角三角形的应用 同步练习

初中数学湘教版九年级上册4.4解直角三角形的应用 同步练习
一、单选题
1．（2020·滨江模拟）如图，测得一商店自动扶梯的长为 ，自动扶梯与地面所成的角为 ，则该自动扶梯到达的高度 为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·乐清模拟）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=12米，则树的高AB(单位：米)为（　　）
A． B． C．12tan37° D．12sin37°
3．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 .据此，可求得学校与工厂之间的距离 等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
6．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（　　）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
二、填空题
7．（2021·永州模拟）小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为　 　度
8．（2021·南通模拟）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是　 　m.（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.
9．（2021·南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　 　海里（结果保留根号）.
10．（2021·无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为　 　米.
11．（2021·仙桃）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为 ，从A处沿水平方向飞行至B处需 ，同时在地面C处分别测得A处的仰角为 ，B处的仰角为 .则这架无人机的飞行高度大约是　 　 （ ，结果保留整数）
12．（2018·南岗模拟）如图，在□ABCD中，点E为CD的中点，点F在BC上，且CF=2BF，连接AE，AF，若AF= ，AE=7，tan∠EAF= ，则线段BF的长为　 　
三、解答题
13．（2020·成华模拟）小明想测量湿地公园内某池塘两端A，B两点间的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝40°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝52.44°，若直线AB与EF之间的距离为60米，求A，B两点的距离（结果精确到0.1）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin52.44°≈0.79，cos52.44°≈0.61，tan52.44°≈1.30）
14．（2021·泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
15．（2019·聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示， 部分），在起点 处测得大楼部分楼体 的顶端 点的仰角为 ，底端 点的仰角为 ，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达 处，测得顶端 的仰角为 （如图②所示），求大楼部分楼体 的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据： ， ， ， ， ）
四、综合题
16．（2018九上·根河月考）经过江汉平原的沪蓉（上海﹣成都）高速铁路即将动工．工程需要测量汉江某一段的宽度．如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°．
（1）求所测之处江的宽度（sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48．）；
（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形．（不用考虑计算问题，叙述清楚即可）
17．（2021·徐州）如图，斜坡 的坡角 ，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点 ，过其另一端 安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线 ，垂足为点 为 与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 .
参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
（1）求 的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点 的太阳光线与 所成的角 .后排光伏板的前端 在 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 的最小值为多少（结果取整数）？
18．（2021·江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 与手臂 始终在同一直线上，枪身 与额头保持垂直量得胳膊 ， ，肘关节 与枪身端点 之间的水平宽度为 （即 的长度），枪身 ．
图1
（参考数据： ， ， ， ）
（1）求 的度数；
（2）测温时规定枪身端点 与额头距离范围为 ．在图2中，若测得 ，小红与测温员之间距离为 问此时枪身端点 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： ， ；故答案为：A.
【分析】利用 的正弦可得，从而求出h的值.
2．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知∠B=90°，
∴
∴AB=BCtan∠C=12tan37°.
故答案为：C.
【分析】利用解直角三角形求出AB的值.
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
，
.
故答案为：D.
【分析】利用即可求出AB.
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】如图，
∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1=90°-70°=20°，
∴∠2=∠1=20°，
即C点在B的北偏西20°的方向上．
故选B.
【分析】由AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米得AC2=AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC=90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
7．【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得坡角的正弦值为：
则斜坡的坡角的度数为30°.
故答案为：30.
【分析】利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得到斜坡的坡角的度数.
8．【答案】1.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴在直角 中，sinA＝ ，
则BC＝AB sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6，
＝1.101≈1.1（m），
故答案为：1.1.
【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.
9．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴ 海里， 海里，
在Rt△PCB中，PC= 海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC= 海里，
∴ 海里，
故答案为： .
【分析】如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，求出∠APC=90°-60°=30°，可得 海里，由勾股定理求出PC=海里，由于△PCB为等腰直角三角形，可得PC=BC= 海里，利用勾股定理求出PB即可.
10．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x= ，
故答案为： .
【分析】设BC=x，则AB=7x，根据勾股定理建立方程，求出x值即可.
11．【答案】20
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作水平线的垂线，垂足为点 ，
由题意得： ， ，
，
在 中， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
即这架无人机的飞行高度大约是 ，
故答案为：20.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E，由题意得：AB=30m，∠ACE=75°，∠BCE=30°，AB∥CE，据此可求得∠ACB、∠ABC的度数，然后分别在Rt△ABD、Rt△ACD中，求解可得AD、BD、CD的值，进而求得BC的值，最后在Rt△BCE中进行求解即可.
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】过F作FG⊥AE于G，延长AE、BC交于H，
在Rt△AFG中，∵tan∠EAF= ，∴设FG=5x，AG=2x，
由勾股定理得：( )2=(2x)2+(5x)2，
∴x1=1，x2=﹣1（舍），∴AG=2，FG=5，
∵AE=7，∴EG=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠D=∠DCH，∠DAE=∠H，
∵DE=EC，
∴△ADE≌△HCE，∴EH=AE=7，
Rt△FGH中，∵FG=5，GH=5+7=12，∴FH=13，
∵CF=2BF，设BF=a，则CF=2a，AD=CH=3a，
∴2a+3a=13，a= ，∴BF= ，
故答案为 ．
【分析】构造直角三角形，做FG⊥AE，并将AE延长交BC延长线于点H，在Rt△AFG中，因为，AF=，可知AG=2，GF=5，因为点E为CD的中点，所以△ADE≌△HCE，所以可知HG=12，由勾股定理可知FH=13，又因为FC=2BF=，可知BF=.
13．【答案】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如图所示，
由题意可得，AM＝BN＝60米，CD＝100米，∠ACF＝40°，∠BDF＝52.44°，
∴CM＝ 71.43（米），
DN＝ 46.15（米），
∴AB＝CD+DN﹣CM＝100+46.15﹣71.43≈74.7（米），
即A、B两点的距离是74.7米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB＝CN﹣CM，从而可以求得AB的长．
14．【答案】解：过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示
在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m
则BF= (m)
∴CF=BC+BF=30+25=55(m)
在Rt△DCE中，∠DCE ，CD=180m
∴ (m)
∵四边形CFGE是矩形
∴EG=CF
∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)
即山顶D的高度为114m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，在Rt△BAF中，可求出BF= (m)， 从而可得CF=BC+BF=55m，在Rt△DCE中 ，可求出DE=CDsin∠DCE≈
59m， 由矩形的性质可得EG=CF ， 利用DG=DE+EG=DE+CF即可求出结论.
15．【答案】解：设楼高 为 米.
∵在 中， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ .
解得 （米）.
在 中， ，
∴ （米）.
答：大楼部分楼体 的高度约为17米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】设CE=x，则在等腰直角三角形AEC中可得AE=CE，则BE=CE-AB，在Rt△BCE中解直角三角形可得到x的值，在有一个角是30°的直角三角形AED中解直角三角形可得DE的长，继而得到CD的高。
16．【答案】（1）解：在Rt△BAC中，∠ACB=68°，
∴AB=AC tan68°≈100×2.48=248（米）
答：所测之处江的宽度约为248米．
（2）解：
①延长BA至C，测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D，测得CD，做记录；③测AE，做记录．根据△BAE∽△BCD，得到比例线段，从而解答
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 （1）在Rt△BAC中利用tan68°即可求出河宽AB.
（2）还可利用全等、相似等办法解决求河宽的问题。
17．【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴ 的最小值为 。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ADF中，由求出AF， 在Rt△AEF中，由求出AE即可；
（2） 设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，由三角形外角的性质可得=45°，利用解直角三角形分别求出DF、FG， 由AG=AF+FG求出AG， 由求出AN， 在Rt△ANM中，由求出AM，利用EM=AM-AE求出EM即得结论.
18．【答案】（1）解：过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，
在Rt△BMK中，
，
∴∠BMK ，
∴∠MBK=90 - =23.6 ，
∴∠ABC=23.6 +90 =113.6 ，
答：∠ABC的度数为113.6
（2）解：延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90 ，
∴∠BMN ，∠BMK ，
∴∠NMH ，
在Rt△NMH中，
，
∴ (cm)，
∴枪身端点A与小红额头的距离为 (cm)，
∵ ，
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先求出MK=16.8cm，再求出 ∠BMK ， 最后求解即可；
（2）先求出∠NMH=45°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
1 / 1初中数学湘教版九年级上册4.4解直角三角形的应用 同步练习
一、单选题
1．（2020·滨江模拟）如图，测得一商店自动扶梯的长为 ，自动扶梯与地面所成的角为 ，则该自动扶梯到达的高度 为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解： ， ；故答案为：A.
【分析】利用 的正弦可得，从而求出h的值.
2．（2021·乐清模拟）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=12米，则树的高AB(单位：米)为（　　）
A． B． C．12tan37° D．12sin37°
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意可知∠B=90°，
∴
∴AB=BCtan∠C=12tan37°.
故答案为：C.
【分析】利用解直角三角形求出AB的值.
3．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
4．（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 .据此，可求得学校与工厂之间的距离 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
，
.
故答案为：D.
【分析】利用即可求出AB.
5．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
6．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A地出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（　　）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】如图，
∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1=90°-70°=20°，
∴∠2=∠1=20°，
即C点在B的北偏西20°的方向上．
故选B.
【分析】由AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米得AC2=AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC=90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
二、填空题
7．（2021·永州模拟）小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为　 　度
【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得坡角的正弦值为：
则斜坡的坡角的度数为30°.
故答案为：30.
【分析】利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得到斜坡的坡角的度数.
8．（2021·南通模拟）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是　 　m.（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.
【答案】1.1
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴在直角 中，sinA＝ ，
则BC＝AB sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6，
＝1.101≈1.1（m），
故答案为：1.1.
【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.
9．（2021·南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　 　海里（结果保留根号）.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴ 海里， 海里，
在Rt△PCB中，PC= 海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC= 海里，
∴ 海里，
故答案为： .
【分析】如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，求出∠APC=90°-60°=30°，可得 海里，由勾股定理求出PC=海里，由于△PCB为等腰直角三角形，可得PC=BC= 海里，利用勾股定理求出PB即可.
10．（2021·无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为　 　米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x= ，
故答案为： .
【分析】设BC=x，则AB=7x，根据勾股定理建立方程，求出x值即可.
11．（2021·仙桃）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为 ，从A处沿水平方向飞行至B处需 ，同时在地面C处分别测得A处的仰角为 ，B处的仰角为 .则这架无人机的飞行高度大约是　 　 （ ，结果保留整数）
【答案】20
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作水平线的垂线，垂足为点 ，
由题意得： ， ，
，
在 中， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
即这架无人机的飞行高度大约是 ，
故答案为：20.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E，由题意得：AB=30m，∠ACE=75°，∠BCE=30°，AB∥CE，据此可求得∠ACB、∠ABC的度数，然后分别在Rt△ABD、Rt△ACD中，求解可得AD、BD、CD的值，进而求得BC的值，最后在Rt△BCE中进行求解即可.
12．（2018·南岗模拟）如图，在□ABCD中，点E为CD的中点，点F在BC上，且CF=2BF，连接AE，AF，若AF= ，AE=7，tan∠EAF= ，则线段BF的长为　 　
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】过F作FG⊥AE于G，延长AE、BC交于H，
在Rt△AFG中，∵tan∠EAF= ，∴设FG=5x，AG=2x，
由勾股定理得：( )2=(2x)2+(5x)2，
∴x1=1，x2=﹣1（舍），∴AG=2，FG=5，
∵AE=7，∴EG=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠D=∠DCH，∠DAE=∠H，
∵DE=EC，
∴△ADE≌△HCE，∴EH=AE=7，
Rt△FGH中，∵FG=5，GH=5+7=12，∴FH=13，
∵CF=2BF，设BF=a，则CF=2a，AD=CH=3a，
∴2a+3a=13，a= ，∴BF= ，
故答案为 ．
【分析】构造直角三角形，做FG⊥AE，并将AE延长交BC延长线于点H，在Rt△AFG中，因为，AF=，可知AG=2，GF=5，因为点E为CD的中点，所以△ADE≌△HCE，所以可知HG=12，由勾股定理可知FH=13，又因为FC=2BF=，可知BF=.
三、解答题
13．（2020·成华模拟）小明想测量湿地公园内某池塘两端A，B两点间的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝40°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝52.44°，若直线AB与EF之间的距离为60米，求A，B两点的距离（结果精确到0.1）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin52.44°≈0.79，cos52.44°≈0.61，tan52.44°≈1.30）
【答案】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如图所示，
由题意可得，AM＝BN＝60米，CD＝100米，∠ACF＝40°，∠BDF＝52.44°，
∴CM＝ 71.43（米），
DN＝ 46.15（米），
∴AB＝CD+DN﹣CM＝100+46.15﹣71.43≈74.7（米），
即A、B两点的距离是74.7米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB＝CN﹣CM，从而可以求得AB的长．
14．（2021·泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
【答案】解：过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示
在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m
则BF= (m)
∴CF=BC+BF=30+25=55(m)
在Rt△DCE中，∠DCE ，CD=180m
∴ (m)
∵四边形CFGE是矩形
∴EG=CF
∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)
即山顶D的高度为114m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，在Rt△BAF中，可求出BF= (m)， 从而可得CF=BC+BF=55m，在Rt△DCE中 ，可求出DE=CDsin∠DCE≈
59m， 由矩形的性质可得EG=CF ， 利用DG=DE+EG=DE+CF即可求出结论.
15．（2019·聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示， 部分），在起点 处测得大楼部分楼体 的顶端 点的仰角为 ，底端 点的仰角为 ，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达 处，测得顶端 的仰角为 （如图②所示），求大楼部分楼体 的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据： ， ， ， ， ）
【答案】解：设楼高 为 米.
∵在 中， ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ .
解得 （米）.
在 中， ，
∴ （米）.
答：大楼部分楼体 的高度约为17米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】设CE=x，则在等腰直角三角形AEC中可得AE=CE，则BE=CE-AB，在Rt△BCE中解直角三角形可得到x的值，在有一个角是30°的直角三角形AED中解直角三角形可得DE的长，继而得到CD的高。
四、综合题
16．（2018九上·根河月考）经过江汉平原的沪蓉（上海﹣成都）高速铁路即将动工．工程需要测量汉江某一段的宽度．如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得∠ACB=68°．
（1）求所测之处江的宽度（sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48．）；
（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形．（不用考虑计算问题，叙述清楚即可）
【答案】（1）解：在Rt△BAC中，∠ACB=68°，
∴AB=AC tan68°≈100×2.48=248（米）
答：所测之处江的宽度约为248米．
（2）解：
①延长BA至C，测得AC做记录；②从C沿平行于河岸的方向走到D，测得CD，做记录；③测AE，做记录．根据△BAE∽△BCD，得到比例线段，从而解答
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 （1）在Rt△BAC中利用tan68°即可求出河宽AB.
（2）还可利用全等、相似等办法解决求河宽的问题。
17．（2021·徐州）如图，斜坡 的坡角 ，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点 ，过其另一端 安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线 ，垂足为点 为 与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 .
参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
（1）求 的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点 的太阳光线与 所成的角 .后排光伏板的前端 在 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 的最小值为多少（结果取整数）？
【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴ 的最小值为 。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ADF中，由求出AF， 在Rt△AEF中，由求出AE即可；
（2） 设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，由三角形外角的性质可得=45°，利用解直角三角形分别求出DF、FG， 由AG=AF+FG求出AG， 由求出AN， 在Rt△ANM中，由求出AM，利用EM=AM-AE求出EM即得结论.
18．（2021·江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 与手臂 始终在同一直线上，枪身 与额头保持垂直量得胳膊 ， ，肘关节 与枪身端点 之间的水平宽度为 （即 的长度），枪身 ．
图1
（参考数据： ， ， ， ）
（1）求 的度数；
（2）测温时规定枪身端点 与额头距离范围为 ．在图2中，若测得 ，小红与测温员之间距离为 问此时枪身端点 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
【答案】（1）解：过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，
在Rt△BMK中，
，
∴∠BMK ，
∴∠MBK=90 - =23.6 ，
∴∠ABC=23.6 +90 =113.6 ，
答：∠ABC的度数为113.6
（2）解：延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90 ，
∴∠BMN ，∠BMK ，
∴∠NMH ，
在Rt△NMH中，
，
∴ (cm)，
∴枪身端点A与小红额头的距离为 (cm)，
∵ ，
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）先求出MK=16.8cm，再求出 ∠BMK ， 最后求解即可；
（2）先求出∠NMH=45°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
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