初中数学湘教版九年级上册4.1正弦和余弦 同步练习
一、单选题
1．（2021·柳州模拟）如图，在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3
∴
故选：C
【分析】在直角三角形中，锐角的正弦的定义：锐角的正弦等于锐角的对边与斜边的比，根据此定义即可完成解答．
2．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴sin = ，即AB= .
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数sin=可求解.
3．（2021·成都模拟）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图， ， ， ，
∴ ，
则 .
故答案为：C.
【分析】将 转换成 去计算正弦值.
4．（2021·官渡模拟）如图，在 的正方形网格中， 经过格点A ，B，C，点 是 上任意一点，连接AP，BP，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，
∵ 经过格点 ， ， ，
∴∠ABC=90°，
∴AC是 的直径，
在Rt△ABC中，AC=
∴
故答案为：C．
【分析】连接AC，根据圆周角可得，再利用余弦的定义求解即可。
5．（2021·萧山模拟）在 中， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由已知得sinA=cosB= ，故C错误，D正确；
设BC=3k，AB=5k，则由勾股定理得AC=4k，
∴cosA= ，故A错误；
sinB= ，故B错误；
故答案为：D.
【分析】根据已知给出的条件，知sinA=cosB= ，逐个依次判断每个选项即可.
6．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】要求cos∠AOB的值，连接AD，CD，根据勾股定理可以得到OD=AD，则OC是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解。
【解答】连接AD，CD，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：
OD=AD=，
CD=OC=AC=，
所以∠OCD=90°．
则cos∠AOB．
故选B．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键。
二、填空题
7．（2021九上·茶陵期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在 中，
，
故答案是： .
【分析】由题意根据锐角三角函数sinB=计算可求解.
8．（2021九上·中方期末）在直角△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB= .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
，
，
故答案为： .
【分析】先画出图形，再根据正弦和余弦三角函数的定义即可得.
9．（2020·上海模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，所以BC= =6,所以cosA= = = .
【分析】根据勾股定理求出边BC的长，利用余弦定理cosA= 即可解得．
10．（2021·龙港模拟）如图，在平面直角坐标系中有一点 ，那么 与 轴的正半轴的夹角 的余弦值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
∵P（6，8）
∴OA=6，PA=8，
∴OP= =10，
∴cosα= = ；
故答案为： ．
【分析】过点P作PA⊥x轴，垂足为A，由P的坐标，得出OA=6，PA=8，OP=10，由此得出cosα的值。
11．（2021九下·哈尔滨月考）在 中， ， 是高，且 ，则 ．
【答案】1或9
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：分两种情况：
①△ABC是锐角三角形时，如图一．
∵在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝ ，
∴BD＝3，
∴AD＝ ，
∴CD＝AC AD＝5 4＝1；
②△ABC是钝角三角形时，如图二．
∵在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝ ，
∴BD＝3，
∴AD＝ ，
∴CD＝AC＋AD＝5＋4＝9．
故答案为：1或9．
【分析】分两种情况进行讨论：①△ABC是锐角三角形，②△ABC是钝角三角形，分别画出图形计算即可．
12．（2020九上·顺义期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB ＝
．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
而cosA= ＝ = ，
∴cos∠DCB= ．
故答案为： ．
【分析】利用余弦定义求解即可。
三、解答题
13．（2020九上·长春月考）如图，在 中， 于点D，若 ． ， ，求 的值．
【答案】解：
，
．
．
在 中
，
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在 中，利用正切定义解得CD的长，结合已知条件，可得BD的长，再由勾股定理解题即可．
14．用计算器求sin 35°29'的值.(结果精确到0.001)
【答案】解:sin 35°29'≈0.58047≈0.580
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】考查计算器中"sin"的用法。
15．（2020·吉林模拟）如图，海面上 ， 两岛分别位于 岛的正东和正北方向.一艘船从 岛出发以16海里 的速度向正北方向航行2小吋到达 岛，此吋测得 岛在 岛的南偏东 .求 ， 两岛之间的距离.（结果精确到0.1海里）（参考数据： ， ， ）
【答案】解： （海里）
在 中，
（海里）
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据题意，计算得到AC的长度，在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义求出AB即可。
四、综合题
16．（2017·湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（ ≈1.4， ≈1.7）
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
【答案】（1）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE= AE= ×80=40（米）
（2）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°﹣30°=60°，
∴∠CED=∠AEB=60°，
∴在Rt△CDE中，DE= ≈ =40（米），
则BD=DE+BE=40+40=80（米）
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；（2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．
17．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
（1）求AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
【答案】（1）解：作AB边上的高CH，垂足为H，∵在Rt△ACH中，sinA=，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69
（2）解：
∵在Rt△ACH中，cosA=，
∴AH=AC cosA=9cos48°，
∴在Rt△BCH中，tanB=，
∴∠B≈73°32′．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）作AB边上的高CH，垂足为H，在Rt△ACH中，利用sinA可求CH；
（2）在Rt△ACH中，利用cosA可求AH，在Rt△BCH中，利用tanB=，易求其值，再利用计算器求反三角函数即可．
18．用计算器求下列各式的值：
（1）sin59°；
（2）cos68°42′.
【答案】（1）解答： sin59°≈0.857，
（2）解答：cos68°42′=cos68.7°≈0.363.
【知识点】计算器—三角函数
【解析】直接利用计算器计算即可.
1 / 1初中数学湘教版九年级上册4.1正弦和余弦 同步练习
一、单选题
1．（2021·柳州模拟）如图，在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·绍兴模拟）已知在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·成都模拟）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·官渡模拟）如图，在 的正方形网格中， 经过格点A ，B，C，点 是 上任意一点，连接AP，BP，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·萧山模拟）在 中， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2021九上·茶陵期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于 .
8．（2021九上·中方期末）在直角△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB= .
9．（2020·上海模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA＝ ．
10．（2021·龙港模拟）如图，在平面直角坐标系中有一点 ，那么 与 轴的正半轴的夹角 的余弦值为 ．
11．（2021九下·哈尔滨月考）在 中， ， 是高，且 ，则 ．
12．（2020九上·顺义期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝9，AC＝6，则cos∠DCB ＝
．
三、解答题
13．（2020九上·长春月考）如图，在 中， 于点D，若 ． ， ，求 的值．
14．用计算器求sin 35°29'的值.(结果精确到0.001)
15．（2020·吉林模拟）如图，海面上 ， 两岛分别位于 岛的正东和正北方向.一艘船从 岛出发以16海里 的速度向正北方向航行2小吋到达 岛，此吋测得 岛在 岛的南偏东 .求 ， 两岛之间的距离.（结果精确到0.1海里）（参考数据： ， ， ）
四、综合题
16．（2017·湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（ ≈1.4， ≈1.7）
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
17．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
（1）求AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
18．用计算器求下列各式的值：
（1）sin59°；
（2）cos68°42′.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3
∴
故选：C
【分析】在直角三角形中，锐角的正弦的定义：锐角的正弦等于锐角的对边与斜边的比，根据此定义即可完成解答．
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ，
∴sin = ，即AB= .
故答案为：A.
【分析】根据锐角三角函数sin=可求解.
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图， ， ， ，
∴ ，
则 .
故答案为：C.
【分析】将 转换成 去计算正弦值.
4．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，
∵ 经过格点 ， ， ，
∴∠ABC=90°，
∴AC是 的直径，
在Rt△ABC中，AC=
∴
故答案为：C．
【分析】连接AC，根据圆周角可得，再利用余弦的定义求解即可。
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由已知得sinA=cosB= ，故C错误，D正确；
设BC=3k，AB=5k，则由勾股定理得AC=4k，
∴cosA= ，故A错误；
sinB= ，故B错误；
故答案为：D.
【分析】根据已知给出的条件，知sinA=cosB= ，逐个依次判断每个选项即可.
6．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】要求cos∠AOB的值，连接AD，CD，根据勾股定理可以得到OD=AD，则OC是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到△ODC是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解。
【解答】连接AD，CD，设正方形网格的边长是1，则根据勾股定理可以得到：
OD=AD=，
CD=OC=AC=，
所以∠OCD=90°．
则cos∠AOB．
故选B．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键。
7．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在 中，
，
故答案是： .
【分析】由题意根据锐角三角函数sinB=计算可求解.
8．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，画出图形如下：
，
，
故答案为： .
【分析】先画出图形，再根据正弦和余弦三角函数的定义即可得.
9．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，所以BC= =6,所以cosA= = = .
【分析】根据勾股定理求出边BC的长，利用余弦定理cosA= 即可解得．
10．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
∵P（6，8）
∴OA=6，PA=8，
∴OP= =10，
∴cosα= = ；
故答案为： ．
【分析】过点P作PA⊥x轴，垂足为A，由P的坐标，得出OA=6，PA=8，OP=10，由此得出cosα的值。
11．【答案】1或9
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：分两种情况：
①△ABC是锐角三角形时，如图一．
∵在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝ ，
∴BD＝3，
∴AD＝ ，
∴CD＝AC AD＝5 4＝1；
②△ABC是钝角三角形时，如图二．
∵在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝ ，
∴BD＝3，
∴AD＝ ，
∴CD＝AC＋AD＝5＋4＝9．
故答案为：1或9．
【分析】分两种情况进行讨论：①△ABC是锐角三角形，②△ABC是钝角三角形，分别画出图形计算即可．
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
而cosA= ＝ = ，
∴cos∠DCB= ．
故答案为： ．
【分析】利用余弦定义求解即可。
13．【答案】解：
，
．
．
在 中
，
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在 中，利用正切定义解得CD的长，结合已知条件，可得BD的长，再由勾股定理解题即可．
14．【答案】解:sin 35°29'≈0.58047≈0.580
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】考查计算器中"sin"的用法。
15．【答案】解： （海里）
在 中，
（海里）
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据题意，计算得到AC的长度，在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义求出AB即可。
16．【答案】（1）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE= AE= ×80=40（米）
（2）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°﹣30°=60°，
∴∠CED=∠AEB=60°，
∴在Rt△CDE中，DE= ≈ =40（米），
则BD=DE+BE=40+40=80（米）
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；（2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．
17．【答案】（1）解：作AB边上的高CH，垂足为H，∵在Rt△ACH中，sinA=，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69
（2）解：
∵在Rt△ACH中，cosA=，
∴AH=AC cosA=9cos48°，
∴在Rt△BCH中，tanB=，
∴∠B≈73°32′．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）作AB边上的高CH，垂足为H，在Rt△ACH中，利用sinA可求CH；
（2）在Rt△ACH中，利用cosA可求AH，在Rt△BCH中，利用tanB=，易求其值，再利用计算器求反三角函数即可．
18．【答案】（1）解答： sin59°≈0.857，
（2）解答：cos68°42′=cos68.7°≈0.363.
【知识点】计算器—三角函数
【解析】直接利用计算器计算即可.
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