初中数学湘教版九年级上册第三章 图形的相似 单元测试
一、单选题
1．（2021·黄冈模拟）如图，平面直角坐标系中，已知 顶点 ，以原点 为位似中心，将 缩小后得到 ，若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意得：
顶点 ，以原点 为位似中心，将 缩小后得到 ，点 ，
， ，
，
又 的面积为 ，
；
故答案为：D.
【分析】根据题意易得点D为OA的中点，然后由位似可得△ABC∽△DEF，可得相似比为 ，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接求解即可.
2．（2021·黄冈模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，则 的值为（ ）
A． B．1:2 C．1:3 D．1:4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED.
∴ .
∴ .
故答案为：C.
【分析】由相似三角形的面积比=相似比的平方可得 ，即可得 的结果.
3．（2021九下·沁阳月考）如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：C.
【分析】根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”并结合各选项可判断求解.
4．（2021·长葛模拟）如图， 平行 平行 ，下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】 ，由平行线分线段成比例得：
① ，② ，③ ，
由①知：选项A错误，
，故答案为：C错误；
由②知：选项B错误；
由③知：选项D正确，
综上所述，正确答案为D.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"并结合各选项即可判断求解.
5．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于 ；
故答案为：D.
【分析】利用点B，D的坐标可求出OB，OD的长，利用相似三角形的性质可求出两三角形的相似比.
6．（2021·路南模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，以某点为位似中心，作出与 的位似比为 的位似 ，则位似中心的坐标和 的值分别为（ ）
A．(0，0)， B．(1，1)，2 C．(2，2)， D．(1，1)，
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图所示：位似中心E的坐标为：（2，2），
k的值为： ．
故答案为：C．
【分析】先求出位似中心E的坐标为：（2，2），再求解即可。
7．（2021·香坊模拟）如图， 、 交于 点， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，
，故A不符合题意，
，
， ，
，故B不符合题意，
， ，
， ，
，故C符合题意，
，
， ，
，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出△AEO△ABC，再根据 和相似三角形的性质对每个选项一一判断即可。
8．（2021·招远模拟）小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，列方程得：
，
解得 ，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
9．（2021·松北模拟）如图，在 ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DGBC，
∴ ，故A选项不符合题意；
∵DGBC，
∴ ，故B选项不符合题意；
∵EHAB，
∴ ，故C选项符合题意；
∵EHAB，
∴ ，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例逐项判定即可。
10．（2021·婺城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC=∠DCA=90°，EA∥DC，
∴∠MAB=∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB=BG，∠ABG=90°，
∴∠ACB=∠ABM=90°，
∴△ACB∽△MBA，
∴，
又∵M是BG中点，设BM=a，
∴AB=BG=2a，AM=，
∴
AE∥DC，IM与BC相交于O，
∴
∴.
故答案为：A
【分析】利用正方形的性质及平行线的性质可证得∠MAB=∠CBA，AB=BG，∠ACB=∠ABM=90°，由此可推出△ACB∽△MBA，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；利用线段中点的定义表示出AB，AM的长，利用比列式可表示出AC，BC，IA的长；利用平行线分线等成比列定理可表示出CO的长；根据BO=BC-OC，可表示出BO的长，然后求出BN与AN的比值.
二、填空题
11．（2021·泰州模拟） 2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果.地球表面纬度范围是0~90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适合人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家.那么黄金地带纬度的范围是 .（黄金比为0.618）
【答案】34.38°~55.62°
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：90°×0.618=55.62°，
90°-55.62°=34.38°，
∴黄金地带纬度的范围是：34.38°～55.62°.
故答案为：34.38°～55.62°.
【分析】利用黄金分割点，利用已知条件地球表面纬度范围是0~90°，可黄金地带纬度的范围.
12．（2021·永州模拟）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ 的最短边为10，则△ 的周长是
【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△ 相似，
经检验： 符合题意；
故答案为：
【分析】利用相似三角形的对应边之比等于周长比，可求出结果.
13．（2021九上·邵阳期末）如图，直线 ，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若 ， ， ，则EF的长为 .
【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ a∥b∥c，
∴ ，
即 ，
解得：DF=9，
则EF=DF-DE=6，
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例，得出，从而求出DF的长，利用EF=DF-DE即可求出结论.
14．（2020九上·玉屏月考）如图，当∠AED= 时，△ADE与△ABC相似.
【答案】∠ACB或∠ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，
即可证明，△ADE与△ABC相似，
故答案为：∠ACB或∠ABC.
【分析】由题意可知∠A是公共角，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC可求解（答案不唯一）.
15．（2021·烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线 与井口的直径 交于点E，如果测得 米， 米， 米，那么 为 米．
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： （米），
∴AB∥DC．
（米）．
故答案为：3
【分析】根据题意证明△ABE∽△CDE，根据对应边成比例求出CD即可。
16．（2021·宿迁）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 .
【答案】
【知识点】比例线段；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴ ，∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，
∴ ，
∴ ，
∵CF=2AF，
∴ ，
∴ ，
∵CD=2BD，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为 ，
此时△AFE面积最大为 .
故答案为：
【分析】 连接DF，由 ，∠C=∠C，易得△CDF∽△CBA，可得∠CFD=∠CAB，即可得DF∥BA，即△DFE∽△ABE，可得 ，根据△AEF与△ADF同高，可得 ，同理可得 ， ，可得 ，当△ABC面积最大时， △AFE面积最大，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，可得结果.
三、计算题
17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵AD=3，AB=5，
∴ =
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理直接求解。
18．（2020九上·槐荫期末）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，求DF的长度．
【答案】解：∵E是矩形ABCD的边CB上的一点
∴
∴
∵AF⊥DE
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∵AB＝3
∴
∵ ，CE＝1
∴
∵AD＝2
∴
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得DC的长及，利用勾股定理可求出DE的长，由垂直的定义可得出，进而得到，再利用相似三角形的性质可求出DF的长。
四、解答题
19．（2020九上·房山期末）如图，已知 ∥ ， ．求证： ．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴ ．
∵ ，
∴△ABD∽△DCE．
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线得到角相等，再利用两组对应边成比例和夹角相等得到三角形相似，再利用相似的性质求解即可。
20．（2020九上·中月考）如图， ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点 ， ， 和点 ， ， ，已知 ， ， ，则 的长为？
【答案】解：∵
∴
即： ，
解得：EF=8，
即：DF=DE+EF=4+8=12
答： 的长为12．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】先求出 ，再代值计算求解即可。
五、作图题
21．（2020九上·宽城期末）图、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图②、图③中仿照图①，只用无刻度的直尺，各画出一条线段CD，将线段AB分为23两部分。
要求：所画线段CD的位置不同，点C、D均在格点上。
【答案】解：如图
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，即可得到答案.
22．（2020九上·安徽月考）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
【答案】（1）解：如图，O点即为所求，
（2）解：△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即3：6=1：2．
（3）解：如图，△A1B1C1为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O．（2）根据△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，即可求解.（3）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1．
六、综合题
23．（2021·陕西模拟）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD.求大树OE的高度.（平面镜的大小忽略不计）
【答案】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE.
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴FB：AB=OE：OA，即1.5：1＝OE：OA，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴GD：CD=OE：OC，即1.5：1.5=OE：(OA+4)，
∴OE＝OA+4，
∵OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m.
答：大树的高度OE为12m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用有两组对应角相等的两三角形相似可证得△BAF∽△OAE，利用相似三角形的性质可求出OE=1.5OA；再证明△GDC∽△EOC，利用相似三角形的性质可求出OE=OA+4，由此建立关于OA的方程，解方程求出OA的长；同时可求出OE的长.
24．（2021·黄冈）如图，在 和 中， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中， ，
（2）解：由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 的长为9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠ACB=∠DCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEC.
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC的长.
25．（2021·长垣模拟）如图
（1）问题发现
如图1， 和 均为等边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 .
①线段 ， 之间的数量关系为 ；
② 的度数为 ；
（2）拓展探究
如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在同一直线上，连接 ，求 的值及 的度数；
（3）解决问题
如图3，在正方形 中， ，若点 满足 ，且 ，请直接写出点 到直线 的距离.
【答案】（1）AD=BE；60°
（2）解： 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，
，
即 ，
，
， ，
，
，
，
，
故 ，
（3）解：∵点P满足PD= ，
∴点P在以点D为圆心， 为半径的圆上，
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图3，点P是两圆的交点，若点P在BD上方，连结BP，过点C作CH⊥BP于H，过点D作DE⊥CH于E，
∵CD= =BC，∠BCD=90°，
∴BD=2 ，
∵∠BPD=90°，
∴BP= ，
∵∠BPD=90°=∠PHE=∠PEH，
∴PH=PE，∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，四边形PHED是矩形，
∴PH=DE，
在△BCH和△CDE中，
∴△BCH≌△CDE（AAS）
∴BH=CE，CH=DE，
∴CH=PH，
∵BP=3 ，BC= ，
∴CH=PH=3 -BH，
在Rt△CHB中， ，
即 ，
解得BH= 或 ，
∴点 到直线 的距离为 或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①∵ 和 均为等边三角形，
∴CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴ ；
②∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB=∠ADC，
∵∠CDE=60°，
∴∠ADC=120°=∠CEB，
∴∠AEB=120°-60°=60°，
故答案为① ，②∠AEB的度数为 ；
【分析】（1）①用“边角边”可证△CDA≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AD＝BE；
②由全等三角形的性质可得∠CEB＝∠ADC＝120°可求解；
（2）可先证明△CAE∽△BAD，由相似三角形的性质可得比例式和∠AEC＝∠ADB＝135°即可求解；
（3）由题意可知：点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理即可求点C到BP的距离CH的值．
1 / 1初中数学湘教版九年级上册第三章 图形的相似 单元测试
一、单选题
1．（2021·黄冈模拟）如图，平面直角坐标系中，已知 顶点 ，以原点 为位似中心，将 缩小后得到 ，若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·黄冈模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，则 的值为（ ）
A． B．1:2 C．1:3 D．1:4
3．（2021九下·沁阳月考）如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·长葛模拟）如图， 平行 平行 ，下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
6．（2021·路南模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，以某点为位似中心，作出与 的位似比为 的位似 ，则位似中心的坐标和 的值分别为（ ）
A．(0，0)， B．(1，1)，2 C．(2，2)， D．(1，1)，
7．（2021·香坊模拟）如图， 、 交于 点， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·招远模拟）小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·松北模拟）如图，在 ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·婺城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·泰州模拟） 2021年3月20日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果.地球表面纬度范围是0~90°，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适合人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也囊括了大多发达国家.那么黄金地带纬度的范围是 .（黄金比为0.618）
12．（2021·永州模拟）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ 的最短边为10，则△ 的周长是
13．（2021九上·邵阳期末）如图，直线 ，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若 ， ， ，则EF的长为 .
14．（2020九上·玉屏月考）如图，当∠AED= 时，△ADE与△ABC相似.
15．（2021·烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆 ，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线 与井口的直径 交于点E，如果测得 米， 米， 米，那么 为 米．
16．（2021·宿迁）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 .
三、计算题
17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
18．（2020九上·槐荫期末）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，求DF的长度．
四、解答题
19．（2020九上·房山期末）如图，已知 ∥ ， ．求证： ．
20．（2020九上·中月考）如图， ，直线 ， 与这三条平行线分别交于点 ， ， 和点 ， ， ，已知 ， ， ，则 的长为？
五、作图题
21．（2020九上·宽城期末）图、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图②、图③中仿照图①，只用无刻度的直尺，各画出一条线段CD，将线段AB分为23两部分。
要求：所画线段CD的位置不同，点C、D均在格点上。
22．（2020九上·安徽月考）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
六、综合题
23．（2021·陕西模拟）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD.求大树OE的高度.（平面镜的大小忽略不计）
24．（2021·黄冈）如图，在 和 中， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
25．（2021·长垣模拟）如图
（1）问题发现
如图1， 和 均为等边三角形，点 ， ， 在同一直线上，连接 .
①线段 ， 之间的数量关系为 ；
② 的度数为 ；
（2）拓展探究
如图2， 和 均为等腰直角三角形， ，点 ， ， 在同一直线上，连接 ，求 的值及 的度数；
（3）解决问题
如图3，在正方形 中， ，若点 满足 ，且 ，请直接写出点 到直线 的距离.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由题意得：
顶点 ，以原点 为位似中心，将 缩小后得到 ，点 ，
， ，
，
又 的面积为 ，
；
故答案为：D.
【分析】根据题意易得点D为OA的中点，然后由位似可得△ABC∽△DEF，可得相似比为 ，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接求解即可.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED.
∴ .
∴ .
故答案为：C.
【分析】由相似三角形的面积比=相似比的平方可得 ，即可得 的结果.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：C.
【分析】根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”并结合各选项可判断求解.
4．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】 ，由平行线分线段成比例得：
① ，② ，③ ，
由①知：选项A错误，
，故答案为：C错误；
由②知：选项B错误；
由③知：选项D正确，
综上所述，正确答案为D.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"并结合各选项即可判断求解.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于 ；
故答案为：D.
【分析】利用点B，D的坐标可求出OB，OD的长，利用相似三角形的性质可求出两三角形的相似比.
6．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图所示：位似中心E的坐标为：（2，2），
k的值为： ．
故答案为：C．
【分析】先求出位似中心E的坐标为：（2，2），再求解即可。
7．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，
，故A不符合题意，
，
， ，
，故B不符合题意，
， ，
， ，
，故C符合题意，
，
， ，
，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出△AEO△ABC，再根据 和相似三角形的性质对每个选项一一判断即可。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，列方程得：
，
解得 ，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
9．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DGBC，
∴ ，故A选项不符合题意；
∵DGBC，
∴ ，故B选项不符合题意；
∵EHAB，
∴ ，故C选项符合题意；
∵EHAB，
∴ ，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例逐项判定即可。
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC=∠DCA=90°，EA∥DC，
∴∠MAB=∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB=BG，∠ABG=90°，
∴∠ACB=∠ABM=90°，
∴△ACB∽△MBA，
∴，
又∵M是BG中点，设BM=a，
∴AB=BG=2a，AM=，
∴
AE∥DC，IM与BC相交于O，
∴
∴.
故答案为：A
【分析】利用正方形的性质及平行线的性质可证得∠MAB=∠CBA，AB=BG，∠ACB=∠ABM=90°，由此可推出△ACB∽△MBA，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；利用线段中点的定义表示出AB，AM的长，利用比列式可表示出AC，BC，IA的长；利用平行线分线等成比列定理可表示出CO的长；根据BO=BC-OC，可表示出BO的长，然后求出BN与AN的比值.
11．【答案】34.38°~55.62°
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：90°×0.618=55.62°，
90°-55.62°=34.38°，
∴黄金地带纬度的范围是：34.38°～55.62°.
故答案为：34.38°～55.62°.
【分析】利用黄金分割点，利用已知条件地球表面纬度范围是0~90°，可黄金地带纬度的范围.
12．【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△ 相似，
经检验： 符合题意；
故答案为：
【分析】利用相似三角形的对应边之比等于周长比，可求出结果.
13．【答案】6
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ a∥b∥c，
∴ ，
即 ，
解得：DF=9，
则EF=DF-DE=6，
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例，得出，从而求出DF的长，利用EF=DF-DE即可求出结论.
14．【答案】∠ACB或∠ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，
即可证明，△ADE与△ABC相似，
故答案为：∠ACB或∠ABC.
【分析】由题意可知∠A是公共角，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC可求解（答案不唯一）.
15．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： （米），
∴AB∥DC．
（米）．
故答案为：3
【分析】根据题意证明△ABE∽△CDE，根据对应边成比例求出CD即可。
16．【答案】
【知识点】比例线段；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴ ，∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，
∴ ，
∴ ，
∵CF=2AF，
∴ ，
∴ ，
∵CD=2BD，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为 ，
此时△AFE面积最大为 .
故答案为：
【分析】 连接DF，由 ，∠C=∠C，易得△CDF∽△CBA，可得∠CFD=∠CAB，即可得DF∥BA，即△DFE∽△ABE，可得 ，根据△AEF与△ADF同高，可得 ，同理可得 ， ，可得 ，当△ABC面积最大时， △AFE面积最大，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，可得结果.
17．【答案】解：∵DE∥BC，
∴ = ，
∵AD=3，AB=5，
∴ =
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理直接求解。
18．【答案】解：∵E是矩形ABCD的边CB上的一点
∴
∴
∵AF⊥DE
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∵AB＝3
∴
∵ ，CE＝1
∴
∵AD＝2
∴
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形的性质可得DC的长及，利用勾股定理可求出DE的长，由垂直的定义可得出，进而得到，再利用相似三角形的性质可求出DF的长。
19．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴ ．
∵ ，
∴△ABD∽△DCE．
∴ ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线得到角相等，再利用两组对应边成比例和夹角相等得到三角形相似，再利用相似的性质求解即可。
20．【答案】解：∵
∴
即： ，
解得：EF=8，
即：DF=DE+EF=4+8=12
答： 的长为12．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】先求出 ，再代值计算求解即可。
21．【答案】解：如图
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，即可得到答案.
22．【答案】（1）解：如图，O点即为所求，
（2）解：△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即3：6=1：2．
（3）解：如图，△A1B1C1为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA′、BB′的交点就是位似中心O．（2）根据△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，即可求解.（3）要画△A1B1C1，先确定点A1的位置，因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9．再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1，过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1．
23．【答案】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE.
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴FB：AB=OE：OA，即1.5：1＝OE：OA，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴GD：CD=OE：OC，即1.5：1.5=OE：(OA+4)，
∴OE＝OA+4，
∵OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m.
答：大树的高度OE为12m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用有两组对应角相等的两三角形相似可证得△BAF∽△OAE，利用相似三角形的性质可求出OE=1.5OA；再证明△GDC∽△EOC，利用相似三角形的性质可求出OE=OA+4，由此建立关于OA的方程，解方程求出OA的长；同时可求出OE的长.
24．【答案】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中， ，
（2）解：由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 的长为9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠ACB=∠DCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEC.
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC的长.
25．【答案】（1）AD=BE；60°
（2）解： 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，
，
即 ，
，
， ，
，
，
，
，
故 ，
（3）解：∵点P满足PD= ，
∴点P在以点D为圆心， 为半径的圆上，
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图3，点P是两圆的交点，若点P在BD上方，连结BP，过点C作CH⊥BP于H，过点D作DE⊥CH于E，
∵CD= =BC，∠BCD=90°，
∴BD=2 ，
∵∠BPD=90°，
∴BP= ，
∵∠BPD=90°=∠PHE=∠PEH，
∴PH=PE，∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，四边形PHED是矩形，
∴PH=DE，
在△BCH和△CDE中，
∴△BCH≌△CDE（AAS）
∴BH=CE，CH=DE，
∴CH=PH，
∵BP=3 ，BC= ，
∴CH=PH=3 -BH，
在Rt△CHB中， ，
即 ，
解得BH= 或 ，
∴点 到直线 的距离为 或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①∵ 和 均为等边三角形，
∴CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴ ；
②∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB=∠ADC，
∵∠CDE=60°，
∴∠ADC=120°=∠CEB，
∴∠AEB=120°-60°=60°，
故答案为① ，②∠AEB的度数为 ；
【分析】（1）①用“边角边”可证△CDA≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AD＝BE；
②由全等三角形的性质可得∠CEB＝∠ADC＝120°可求解；
（2）可先证明△CAE∽△BAD，由相似三角形的性质可得比例式和∠AEC＝∠ADB＝135°即可求解；
（3）由题意可知：点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理即可求点C到BP的距离CH的值．
1 / 1
