2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷(word解析版)

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．下列说法不一定正确的是（　　）
A．所有的等边三角形都相似
B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似
D．所有的正方形都相似
2．下列说法正确的是（　　）
A．所有的菱形都相似
B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似
D．所有等腰三角形都相似
3．已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（　　）
A．只有（1）相似
B．只有（2）相似
C．都相似
D．都不相似
4．两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知△ABC三边长是，，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是（　　）
A．1，，
B．1，，
C．1，，
D．1，，
7．如图，在△ABC中，点D为AB上一点，且，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．下列说法正确的是（　　）
A．所有菱形都相似
B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似
D．所有平行四边形都相似
9．若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（　　）条．
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF的长为（　　）
A．3cm
B．2cm
C．2.5cm
D．3.5cm
二．填空题
11．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是　
　．
12．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　
　倍．
13．若两个相似多边形的周长的比是1：2，则它们的面积比为　
　．
14．如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝　
　时，△ADP与△BCP相似．
15．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则相似比为　
　．
16．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝　
　度．
17．在△ABC中，AB＝10，AC＝5，点M在边AB上，且AM＝2，点N在AC边上．当AN＝　
　时，△AMN与原三角形相似．
18．一把剪刀如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，当手握的地方EC张开3cm时，剪刀的尖端A，D两点的距离为　
　cm．
19．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC的面积等于　
　；
（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）　
　．
20．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点M，N是边AD，AB上任意两点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A恰巧落在对角线BD上的点E处，下列结论：
①△MED∽△ENB；②若∠DME＝20°，则∠ENB＝100°；
③若DE：BE＝1：2，则AM：AN＝1：2；
④若菱形边长为4，M是AD的中点，连接MC，则线段MC＝2，
其中正确的结论有：　
　（填写所有正确结论的序号）
三．解答题
21．已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
22．如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．
23．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝4，AC＝9．
（1）求CD的长；
（2）求证：△ABE∽△ACB．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形DECF的三个顶点D，E，F分别落在边AB，AC，BC上．
（1）用尺规作出正方形DECF；
（2）求正方形DECF的边长．
25．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为　
　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
26．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
27．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　
　；
②当菱形的“接近度”等于　
　时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、所有的等边三角形都相似，正确；
B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；
C、所有的菱形不一定都相似，故错误；
D、所有的正方形都相似，正确．
故选：C．
2．解：A、所有的菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误；
B、所有的矩形对应角相等但对应边的比不一定相等，故错误；
C、所有的正方形都相似，正确；
D、所有的等腰梯三角形形不一定都相似，错误，
故选：C．
3．解：对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；
对于（2）图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．
故选：C．
4．解：由题意可以假设EF＝GH＝a，EH＝FG＝2a，DH＝BF＝x，AE＝CG＝y．
∴AH＝y+2a，BE＝x+a，
∵△ADH∽△BAE，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝a，y＝a，
∵∠AHD＝90°，
∴AD＝＝＝a，CD＝AD＝a，
∴矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比＝2a2：×a＝，
故选：D．
5．解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
6．解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：＝1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1，，，
故选：A．
7．解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，
∴BD＝EF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，故A不正确；
∵，
∴，故B不正确；
∴DE＝BF＝CF，
∵∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△EFC，
∴，故C不正确；
设DE与BC之间的距离为h，
∴S△EFC＝，S四边形DBCE＝BF?h，
∵DE＝BF＝CF，
∴S四边形DBCE＝2S△EFC，即＝2，故D正确．
故选：D．
8．解：∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴所有正方形都是相似多边形，
故选：C．
9．解：由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：C．
10．解：∵∠BAC＝90°，
∴∠AGD+∠ADC＝90°，
∵四边形GFDE是矩形，
∴∠GDE＝90°，∠GFB＝∠DEC＝90°，GD∥BC，GF＝DE，
∴∠ADG+∠EDC＝90°，∠AGD＝∠B，
∴∠AGD＝∠EDC，
∴∠B＝∠EDC，
∴△BFG∽△DEC，
∴DE：BF＝CE：GF，
∵BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴GF：4.5＝2：GF，
∴GF＝3cm，
故选：A．
二．填空题
11．解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′＝BC：B′C′，
∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，
∴C′D′＝1.6，
故答案为：1.6．
12．解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
13．解：相似多边形的周长的比是1：2，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4．
14．解：①当△APD∽△PBC时，
，
即，
解得：PD＝1或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，
，即，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
15．解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4＝，
∴相似比＝＝＝1：2．
故答案为：1：2．
16．解：如图所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵对角线BD是它的相似对角线，
∴△ABD∽△DBC，
∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠ADC，
又∵∠A+∠C+∠ADC＝360°﹣70°＝290°，
∴∠ADC＝145°，
故答案为：145．
17．解：由题意可知，AB＝10，AC＝5，AM＝2，
①若△AMN∽△ABC，
则
即，
解得：AN＝1；
②若△AMN∽△ACB，
则，
即，
解得：AN＝4；
故AN＝1或4．
故答案为：1或4．
18．解：∵AB＝2BC，BD＝2BE，
∴＝2，＝2，
∴＝，
又∵∠ABD＝∠CBE，
∴△ADB∽△CEB，
∴＝，
∴＝2，
解得：AD＝6（cm），
故答案为：6．
19．解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3＝6；
（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，
与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，
则四边形DEFG即为所求．
故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．
20．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ABD＝60°，
∵∠A＝∠MEN＝60°，
∴∠MED+∠BEN＝120°，
∵∠MED+∠DME＝120°，
∴∠DME＝∠BEN，
∴△MED∽△ENB，故①正确，
∵∠DME＝20°，
∴∠BEN＝∠DME＝20°，
∴∠ENB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，故②正确，
设DE＝a，BE＝2a，则AB＝AD＝3a，设BN＝x，则AN＝EN＝3a﹣x，
∵△MED∽△ENB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝AM＝，DM＝，
∵AM+DM＝3a，
∴+＝3a，
解得x＝a，
∴AM＝a，AN＝a，
∴AM：AN＝4：5，故③错误，
作MH⊥CD交CD的延长线于H．
在Rt△DMH中，∵∠H＝90°，∠MDH＝60°，DM＝2，
∴DH＝1，MH＝，CH＝4+1＝5，
∴CM＝＝2，
故④正确，
故答案为①②④．
三．解答题
21．证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，
∴．
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA．
22．解：（1）①∵内角为80°，
∴与它相邻内角的度数为100°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|100﹣80|＝20．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
故答案为：20；0；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），如矩形的“接近度”的定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
23．（1）解：∵AE＝4，AC＝9
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5；
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE；
∴＝，
∴CD＝＝＝，
（2）证明：∵＝＝，＝＝
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
24．解：（1）如图所示，即为所求．
（2）设正方形DECF的边长为x，则有DF＝CF＝x，BF＝3﹣x，
∵正方形DECF，
∴DF∥AC，
∴，
即，
解得x＝，
∴正方形DECF的边长为．
25．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
26．解：（1）由已知得MN＝AB＝2，MD＝AD＝BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，＝，
∴DM?BC＝AB?MN，即BC2＝4，
∴BC＝2，即它的另一边长为2；
（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴＝，
∵AB＝CD＝2，BC＝4，
∴DF＝＝1，
∴矩形EFDC的面积＝CD?DF＝2×1＝2．
27．解：（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越接近1，矩形越接近于正方形；
越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．