初中数学湘教版八年级上册2.3等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·南城期中）已知等腰三角形的一个内角等于 ，则该三角形的一个底角是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
2．（2021八上·宜州期末）若等腰三角形的周长是 ，其中一边长为 ，则腰长是（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
3．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
4．（2020八上·重庆月考）一个角是 的等腰三角形是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．上述都正确
5．（2020八上·长沙月考）下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
6．（2020八上·安仁期中）在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和4cm，则它的周长为（ ）
A．10cm B．12 cm C．20 cm或16 cm D．20 cm
7．（2021八下·高阳期末）如图：用一张长为4cm，宽3cm的长方形纸片，过两个顶点剪一个三角形，按裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不可能实现的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八下·江门期末）如图，等边△ABC的边长是6，则高AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
9．（2021八下·高州期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
10．（2021八下·云浮期末）面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为 ．
11．（2021八下·龙华期末）如图，AB是一条东西走向的海岸线，在码头A的北偏东60°且距离该码头50海里的C处有一艘轮船，该轮船正以20海里/时的速度向海岸AB驶来，那么该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 小时．
12．（2021八下·乐清期末）一艘快艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后到达A地，若快艇的行驶速度保持不变，则快艇驶完AB这段路程的时间为 小时。
13．（2021八下·河西期末）已知等边三角形的边长是2，则这个三角形的面积是 ．（保留准确值）
14．（2021八下·罗湖期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的二个底角的度数等于 度．
15．（2021八下·达州期中）如图，D是等边△ABC 的边 AC 的中点，点 E 在 BC 的延长线上，且 CE=CD.若S△ABC= cm2，则△BDE 的周长是 .
16．（2021八下·崇州期中）老师在投影屏上展示了如下一道试题：
已知：如图，BD平分∠ABC，AB＝AD.求证：AD∥BC.
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD（①角平分线定义）.
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB（②等角对等边）.
∴③∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC（④内错角相等，两直线平行）.
则以上证明过程中，结论或者依据错误的一项是 .
三、解答题
17．（2020八上·长沙期末）如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
18．（2021八下·荔湾期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的长．
19．（2016八上·常州期中）如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN=CN﹣BM．
四、作图题
20．（2020八上·石景山期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为 ，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共多少个．
21．（2019八下·城区期末）已知△ABC的三条边长分别为2，5，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分成两个三角形，使其中一个三角形为等腰三角形.
（1）这样的直线最多可以画 条；
（2）请在三个备用图中分别画出符合条件的一条直线，要求每个图中得到的等腰三角形腰长不同，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.
五、综合题
22．如图，等边△ABC中，D是AC边的中点，DH⊥BC于H，
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求证：CH= BC．
23．（2021八下·龙华期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
24．（2017八下·鹿城期中）在 中，AB=20cm，BC=16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以 cm/s( >0且 ）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为 秒。
（1）若AB=AC，P在线段BC上，求当 为何值时，能够使 和 全等？
（2）若 ，求出发几秒后， 为直角三角形？
（3）若 ，当 的度数为多少时， 为等腰三角形？（请直接写出答案，不必写出过程）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当该内角为底角时，三角形的一个底角为50°；
当该内角为三角形的顶角时，
三角形的一个底角=（180°-50°）÷2=65°
∴底角的度数为50°或65°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，求出三角形的底角即可。
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若10cm为等腰三角形的腰长，则底边长为22-10-10=2（cm），
此时三角形的三边长分别为10cm，10cm，2cm，符合三角形的三边关系；
若10cm为等腰三角形的底边，则腰长为（22-10）÷2=6（cm），此时三角形的三边长分别为6cm，6cm，10cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为6cm或10cm，
故答案为：C.
【分析】根据 一边长为10cm是底边还是腰分类讨论，进而根据三角形三边关系判断能否围成三角形即可.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的判定定理对A作判断；等腰三角形包含等腰直角三角形；根据等边三角形的判定定理对CD作判断.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵等腰三角形有一个角为60°，
∴此三角形为等边三角形.
故答案为：B.
【分析】根据“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”可判断求解.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】根据已知题意等腰三角形首先排除B选项，根据三角形三边关系两边之和大于第三边，因此A、D不符合题意
故答案选C.
【分析】根据等腰三角形性质：腰相等及三角形的三边的关系逐项判定即可。
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当腰是4，底边是8时，4+4=8，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4，腰长是8时，能构成三角形，则其周长=8+8+4=20．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系作答即可。
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】A.长度3边上的高在纸片上，可以实现；
B.长度3边上的高在纸片上，可以实现；
C.长方形对角线长5，可以实现；
D.高大于3，不在纸片上，不可能实现；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质即可得到结论。
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解： 等边三角形的三线合一，
也是三角形 边上的中线，
，
由勾股定理得 ，
故答案为：D．
【分析】先求出AD是三角形 边上的中线，再求出BD=3，最后利用利用勾股定理计算求解即可。
9．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
则∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠C=∠CBD，
∴BD=CD=8，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=8，
∴AD= BD=4，
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABD=∠CBD=30°，再求出BD=CD=8，最后计算求解即可。
10．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，
则 ，BD＝CD，
即 ，
∴BC＝16，
∴BD＝ BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
故答案为：10．
【分析】先求出BC＝16，再求出BD=8，最后利用勾股定理计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∵AC＝50海里，
∴CD＝ AC＝25（海里），
∴该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 ＝ （小时），
答：该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 小时，
故答案为： ．
【分析】先求出CD＝ AC＝25海里，再计算求解即可。
12．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∠AOB=180°-30°-60°=90°，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴
∴∠B=30°
∴AB=2AO；
∵从O港出发，1小时后到达A地，
∴快艇驶完AB这段路程的时间为2小时.
故答案为：2.
【分析】利用已知条件可求出∠AOB=90°，再证明∠B=30°，利用30°的直角边等于斜边的一半可证得AB=2AO；再根据从O港出发，1小时后到达A地，就可求出快艇驶完AB这段路程的时间.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的边长是2，
∴BD= BC= ×2=1，
在Rt△ABD中，AD= =
所以，三角形的面积= ×2× =
故答案为 ．
【分析】先求出BD=1，再求出AD= = ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
14．【答案】75或15
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于点D，如图1所示，
∵CD＝ AC，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°；
作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，如图2所示，
∵BD＝ AB，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BAC＝150°，
∴∠ABC＝∠C＝15°；
故答案为：75度或15．
【分析】作CD⊥AB于点D，作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，按两种情况分析讨论，即可得出答案。
15．【答案】 cm
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵S△ABC= ，
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
设等边三角形ABC的边长为2a，
∴S△ABC=BD×AC= ，即×=a2=，
解得：a=1，
∴BD=a=，
∵CE=BD，
∴∠E=∠CDE=∠ACB=30°，
∴CD=CE=a=1，BC=BC+CE=2+1=3，
∵BD⊥AC，△ABC为等边三角形，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∴∠CBD=∠E，
∴CE=BD=，
∴△BDE的周长= BD+DE+BE=++3=（3+2）cm，
故答案为：（3+2）cm.
【分析】根据等边△ABC的面积求出其边长，然后结合D是AC的中点，CE=CD，推得△BDE和△ECE皆为等腰三角形，从而求出△BDE的三边长，则其周长可求.
16．【答案】②
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD①（角平分线定义），
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB②（等边对等角），
∴③∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC④（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：②.
【分析】根据题意即可判断出②是等边对等角.
17．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°，
∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°，
∴∠D=∠E=∠F=90°﹣30°=60°，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，边相等及三个角等于60°，再根据三角形的内角和等于180°得到 DF=DE=EF ，再判断 △DEF是等边三角形，进行作答即可。
18．【答案】解：如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M.
∵∠B＝90°，
∴四边形HBMD是矩形.
∴HD＝BM，BH＝MD，∠ABM＝∠ADC＝90°，
又∵∠C＝60°，
∴∠ADH＝∠MDC＝30°，
∴在Rt△AHD中，AD＝1，∠ADH＝30°，则AH＝ AD＝ ，DH＝ .
∴MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－ ＝ .
∴在Rt△CMD中，CD＝2MC＝4－ ，DM＝ ×CD＝ .
∴AB＝BH－AH＝DM－AH＝ － ＝
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先求出 ∠ADH＝∠MDC＝30°， 再求出 MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－ ＝ ，最后计算求解即可。
19．【答案】证明：∵ON∥BC，
∴∠NOB=∠OBD
∵BO平分∠ABD，
∴∠ABO=∠DBO，
∴∠MOB=∠OBM，
∴BM=OM
∵ON∥BC，
∴∠NOC=∠OCD
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCO=∠BCO，
∴∠NCO=∠NOC，
∴ON=CN
∵ON=OM+MN，ON=CN，OM=BM，
∴CN=BM+MN，
∴MN=CN﹣BM．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】只要证明BM=OM，ON=CN，即可解决问题．
20．【答案】解：如图， 和 是腰长为 的等腰三角形，作图如下：
，
可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有 、 、 、 、 共5种．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的定义作图即可求解。
21．【答案】（1）7
（2）解：如图即为所求.
说明：如上7种作法均可.
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）以点A为圆心，AB为半径做弧，交AC于点M1；以点C为圆心，BC为半径做弧，交AC于点M2；以点B为圆心，BC为半径做弧，交AC于点M3；交AB于点M4；作AB的垂直平分线，交AC于点M5；作AC的垂直平分线，交AB于点M6；作BC的垂直平分线，交AC于点M7；共7条
故答案为：7
【分析】（1）根据等腰三角形的性质分别利用AB.、BC、AC为底以及AB、BC、AC为腰得出正确的图形即可；（2）根据等腰三角形和垂直平分线的性质作图即可.
22．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
即BD⊥AC；
（2）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，AC=BC，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC=90°，
∴CH= DC，
而CD= AC，
∴CH= AC，
∴CH= BC
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）直接根据等边三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠C=60°，AC=BC，由DH⊥BC得到∠DHC=90°，根据含30°的直角三角形三边的关系得CH= DC，然后利用CD= AC即可得到结论．
23．【答案】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）解：∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝ （180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝ ，
∴BE＝2 ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质，得到AC是∠EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可证明CE＝CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE＝AB，在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长。
24．【答案】（1）解：
（2）解：①
（3）解：
①当PQ=CQ， ，
②当
，
③当 ，
，
点P在边BC的延长线上， 为等腰三角形，
，
综上所述：当 为等腰三角形时， 的度数为
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定方法SAS，求出 a的值；（2）由△BPD为直角三角形，∠B=60°，求出点P出发的时间；（3）当P在边BC上，ΔCPQ 为等腰三角形，分别求出∠CPQ的度数.
1 / 1初中数学湘教版八年级上册2.3等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·南城期中）已知等腰三角形的一个内角等于 ，则该三角形的一个底角是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当该内角为底角时，三角形的一个底角为50°；
当该内角为三角形的顶角时，
三角形的一个底角=（180°-50°）÷2=65°
∴底角的度数为50°或65°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，求出三角形的底角即可。
2．（2021八上·宜州期末）若等腰三角形的周长是 ，其中一边长为 ，则腰长是（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若10cm为等腰三角形的腰长，则底边长为22-10-10=2（cm），
此时三角形的三边长分别为10cm，10cm，2cm，符合三角形的三边关系；
若10cm为等腰三角形的底边，则腰长为（22-10）÷2=6（cm），此时三角形的三边长分别为6cm，6cm，10cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为6cm或10cm，
故答案为：C.
【分析】根据 一边长为10cm是底边还是腰分类讨论，进而根据三角形三边关系判断能否围成三角形即可.
3．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（ ）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的判定定理对A作判断；等腰三角形包含等腰直角三角形；根据等边三角形的判定定理对CD作判断.
4．（2020八上·重庆月考）一个角是 的等腰三角形是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．上述都正确
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵等腰三角形有一个角为60°，
∴此三角形为等边三角形.
故答案为：B.
【分析】根据“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”可判断求解.
5．（2020八上·长沙月考）下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】根据已知题意等腰三角形首先排除B选项，根据三角形三边关系两边之和大于第三边，因此A、D不符合题意
故答案选C.
【分析】根据等腰三角形性质：腰相等及三角形的三边的关系逐项判定即可。
6．（2020八上·安仁期中）在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和4cm，则它的周长为（ ）
A．10cm B．12 cm C．20 cm或16 cm D．20 cm
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】①当腰是4，底边是8时，4+4=8，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是4，腰长是8时，能构成三角形，则其周长=8+8+4=20．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系作答即可。
7．（2021八下·高阳期末）如图：用一张长为4cm，宽3cm的长方形纸片，过两个顶点剪一个三角形，按裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不可能实现的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】A.长度3边上的高在纸片上，可以实现；
B.长度3边上的高在纸片上，可以实现；
C.长方形对角线长5，可以实现；
D.高大于3，不在纸片上，不可能实现；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质即可得到结论。
8．（2021八下·江门期末）如图，等边△ABC的边长是6，则高AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解： 等边三角形的三线合一，
也是三角形 边上的中线，
，
由勾股定理得 ，
故答案为：D．
【分析】先求出AD是三角形 边上的中线，再求出BD=3，最后利用利用勾股定理计算求解即可。
9．（2021八下·高州期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
则∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠C=∠CBD，
∴BD=CD=8，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=8，
∴AD= BD=4，
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABD=∠CBD=30°，再求出BD=CD=8，最后计算求解即可。
二、填空题
10．（2021八下·云浮期末）面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为 ．
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，
则 ，BD＝CD，
即 ，
∴BC＝16，
∴BD＝ BC＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
故答案为：10．
【分析】先求出BC＝16，再求出BD=8，最后利用勾股定理计算求解即可。
11．（2021八下·龙华期末）如图，AB是一条东西走向的海岸线，在码头A的北偏东60°且距离该码头50海里的C处有一艘轮船，该轮船正以20海里/时的速度向海岸AB驶来，那么该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 小时．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∵AC＝50海里，
∴CD＝ AC＝25（海里），
∴该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 ＝ （小时），
答：该轮船到达海岸AB所需要的最少时间为 小时，
故答案为： ．
【分析】先求出CD＝ AC＝25海里，再计算求解即可。
12．（2021八下·乐清期末）一艘快艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后到达A地，若快艇的行驶速度保持不变，则快艇驶完AB这段路程的时间为 小时。
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∠AOB=180°-30°-60°=90°，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴
∴∠B=30°
∴AB=2AO；
∵从O港出发，1小时后到达A地，
∴快艇驶完AB这段路程的时间为2小时.
故答案为：2.
【分析】利用已知条件可求出∠AOB=90°，再证明∠B=30°，利用30°的直角边等于斜边的一半可证得AB=2AO；再根据从O港出发，1小时后到达A地，就可求出快艇驶完AB这段路程的时间.
13．（2021八下·河西期末）已知等边三角形的边长是2，则这个三角形的面积是 ．（保留准确值）
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的边长是2，
∴BD= BC= ×2=1，
在Rt△ABD中，AD= =
所以，三角形的面积= ×2× =
故答案为 ．
【分析】先求出BD=1，再求出AD= = ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
14．（2021八下·罗湖期中）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的二个底角的度数等于 度．
【答案】75或15
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：作CD⊥AB于点D，如图1所示，
∵CD＝ AC，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°；
作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，如图2所示，
∵BD＝ AB，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BAC＝150°，
∴∠ABC＝∠C＝15°；
故答案为：75度或15．
【分析】作CD⊥AB于点D，作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，按两种情况分析讨论，即可得出答案。
15．（2021八下·达州期中）如图，D是等边△ABC 的边 AC 的中点，点 E 在 BC 的延长线上，且 CE=CD.若S△ABC= cm2，则△BDE 的周长是 .
【答案】 cm
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵S△ABC= ，
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
设等边三角形ABC的边长为2a，
∴S△ABC=BD×AC= ，即×=a2=，
解得：a=1，
∴BD=a=，
∵CE=BD，
∴∠E=∠CDE=∠ACB=30°，
∴CD=CE=a=1，BC=BC+CE=2+1=3，
∵BD⊥AC，△ABC为等边三角形，
∴∠CBD=∠ABC=30°，
∴∠CBD=∠E，
∴CE=BD=，
∴△BDE的周长= BD+DE+BE=++3=（3+2）cm，
故答案为：（3+2）cm.
【分析】根据等边△ABC的面积求出其边长，然后结合D是AC的中点，CE=CD，推得△BDE和△ECE皆为等腰三角形，从而求出△BDE的三边长，则其周长可求.
16．（2021八下·崇州期中）老师在投影屏上展示了如下一道试题：
已知：如图，BD平分∠ABC，AB＝AD.求证：AD∥BC.
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD（①角平分线定义）.
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB（②等角对等边）.
∴③∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC（④内错角相等，两直线平行）.
则以上证明过程中，结论或者依据错误的一项是 .
【答案】②
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD①（角平分线定义），
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB②（等边对等角），
∴③∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC④（内错角相等，两直线平行）.
故答案为：②.
【分析】根据题意即可判断出②是等边对等角.
三、解答题
17．（2020八上·长沙期末）如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，
∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，
∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°，
∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°，
∴∠D=∠E=∠F=90°﹣30°=60°，
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，边相等及三个角等于60°，再根据三角形的内角和等于180°得到 DF=DE=EF ，再判断 △DEF是等边三角形，进行作答即可。
18．（2021八下·荔湾期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的长．
【答案】解：如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M.
∵∠B＝90°，
∴四边形HBMD是矩形.
∴HD＝BM，BH＝MD，∠ABM＝∠ADC＝90°，
又∵∠C＝60°，
∴∠ADH＝∠MDC＝30°，
∴在Rt△AHD中，AD＝1，∠ADH＝30°，则AH＝ AD＝ ，DH＝ .
∴MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－ ＝ .
∴在Rt△CMD中，CD＝2MC＝4－ ，DM＝ ×CD＝ .
∴AB＝BH－AH＝DM－AH＝ － ＝
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先求出 ∠ADH＝∠MDC＝30°， 再求出 MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－ ＝ ，最后计算求解即可。
19．（2016八上·常州期中）如图，已知在△ABC中，△ABC的外角∠ABD的平分线与∠ACB的平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN=CN﹣BM．
【答案】证明：∵ON∥BC，
∴∠NOB=∠OBD
∵BO平分∠ABD，
∴∠ABO=∠DBO，
∴∠MOB=∠OBM，
∴BM=OM
∵ON∥BC，
∴∠NOC=∠OCD
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCO=∠BCO，
∴∠NCO=∠NOC，
∴ON=CN
∵ON=OM+MN，ON=CN，OM=BM，
∴CN=BM+MN，
∴MN=CN﹣BM．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】只要证明BM=OM，ON=CN，即可解决问题．
四、作图题
20．（2020八上·石景山期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为 ，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共多少个．
【答案】解：如图， 和 是腰长为 的等腰三角形，作图如下：
，
可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有 、 、 、 、 共5种．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的定义作图即可求解。
21．（2019八下·城区期末）已知△ABC的三条边长分别为2，5，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分成两个三角形，使其中一个三角形为等腰三角形.
（1）这样的直线最多可以画 条；
（2）请在三个备用图中分别画出符合条件的一条直线，要求每个图中得到的等腰三角形腰长不同，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.
【答案】（1）7
（2）解：如图即为所求.
说明：如上7种作法均可.
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）以点A为圆心，AB为半径做弧，交AC于点M1；以点C为圆心，BC为半径做弧，交AC于点M2；以点B为圆心，BC为半径做弧，交AC于点M3；交AB于点M4；作AB的垂直平分线，交AC于点M5；作AC的垂直平分线，交AB于点M6；作BC的垂直平分线，交AC于点M7；共7条
故答案为：7
【分析】（1）根据等腰三角形的性质分别利用AB.、BC、AC为底以及AB、BC、AC为腰得出正确的图形即可；（2）根据等腰三角形和垂直平分线的性质作图即可.
五、综合题
22．如图，等边△ABC中，D是AC边的中点，DH⊥BC于H，
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求证：CH= BC．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
即BD⊥AC；
（2）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，AC=BC，
∵DH⊥BC，
∴∠DHC=90°，
∴CH= DC，
而CD= AC，
∴CH= AC，
∴CH= BC
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】（1）直接根据等边三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠C=60°，AC=BC，由DH⊥BC得到∠DHC=90°，根据含30°的直角三角形三边的关系得CH= DC，然后利用CD= AC即可得到结论．
23．（2021八下·龙华期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）解：∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝ （180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝ ，
∴BE＝2 ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的性质，得到AC是∠EAB的角平分线，根据角平分线的性质即可证明CE＝CB；
（2）通过倒角证明△AEB是等边三角形，所以BE＝AB，在Rt△ABC中，根据30°所对的直角边等于斜边的一半求得AC，再根据勾股定理求出AB，即得出BE的长。
24．（2017八下·鹿城期中）在 中，AB=20cm，BC=16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以 cm/s( >0且 ）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为 秒。
（1）若AB=AC，P在线段BC上，求当 为何值时，能够使 和 全等？
（2）若 ，求出发几秒后， 为直角三角形？
（3）若 ，当 的度数为多少时， 为等腰三角形？（请直接写出答案，不必写出过程）
【答案】（1）解：
（2）解：①
（3）解：
①当PQ=CQ， ，
②当
，
③当 ，
，
点P在边BC的延长线上， 为等腰三角形，
，
综上所述：当 为等腰三角形时， 的度数为
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定方法SAS，求出 a的值；（2）由△BPD为直角三角形，∠B=60°，求出点P出发的时间；（3）当P在边BC上，ΔCPQ 为等腰三角形，分别求出∠CPQ的度数.
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