初中数学湘教版八年级上册2.1三角形 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·渝北期中）若下列各组数值代表三根木棒的长度，则不能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm B．8cm，8cm，14cm
C．6cm，7cm，11cm D．1cm，2cm，4cm
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+4＞5，能摆成三角形，不符合题意；
B、8+8＞14，能摆成三角形，不符合题意；
C、6+7＞11，能摆成三角形，不符合题意；
D、1+2＜4，不能摆成三角形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】直接根据三角形的三边关系判断即可.
2．（2021八上·拱墅期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线
C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
故答案为：A.
【分析】根据等底同高的三角形的面积相等可知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
3．（2021八上·通川期末）如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1是三角形的一个外角，
∴∠1＞∠A，
又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答.
4．（2021八下·郫都期末）将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 、截成5，5，2三段，构成等腰三角形；
、不可能构成钝角三角形；
、截成4，4，4三段，构成等边三角形；
、截成3，4，5三段，构成直角三角形．
故选：B．
【分析】利用三角形的三边关系定理及等腰三角形的性质，对各选项逐一判断.
5．（2021八下·郫都期末）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形这样做的数学根据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．对顶角相等 D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：常用木条固定长方形门框ABCD，使其不变形，
这种做法的根据是三角形具有稳定性．
故选：A．
【分析】根据题意，观察图形，可得答案.
6．（2021·孝义模拟）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作 后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两锐角互余，对每个选项一一判断求解即可。
7．（2021八上·扶风期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80° B．82° C．84° D．86°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠2+∠3=180°-∠BAC=180°-105°=75°，∠1＝∠2，∠3＝∠4
∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2
∴∠2+2∠2=75°
解之：∠2=∠1=25°；
∴∠DAC=∠BAC-∠1=105°-25°=80°.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠2+∠3的值；再利用三角形的外角性质，可求出∠1的度数；然后根据∠DAC=∠BAC-∠1，代入计算求出∠DAC的度数.
8．（2019八上·陕县期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正确；
∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD=∠MFI，
∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误.
故答案为：C.
【分析】先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确；
根据∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确；
由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误.
二、填空题
9．（2021八下·东莞月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出图形
过点C做CD⊥AB，交AB于点D，如图所示
在直角三角形ABC中，AC=9，AB=15，根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2
∴BC=12
∵S△ABC=
AC×BC=
AB×CD
∴CD=AC×BC÷AB=
【分析】首先根据勾股定理计算得到BC的长度，继而根据三角形的面积为定值即可得到求出点C到AB的距离。
10．（2021八上·拱墅期末）一张小凳子的结构如图所示， ，若 ，则 的度数为 .
【答案】60°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，∠3=120°，
∴ ，
故答案为：60°.
【分析】根据三角形的外角等于它不相邻的两个内角和可得结果.
11．（2021八上·宜州期末）已知 的三边长为2，7， ，请写出一个符合条件的 的整数值，这个值可以是 .
【答案】6或7或8
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，7，x，
∴7-2＜x＜7+2，
即5＜x＜9，
故答案为：6或7或8.
【分析】由三角形两边之差＜三角形第三边＜三角形两边之和，列不等式组求解，进而得出解集范围内的整数解即可.
12．（2021八上·宜城期末）如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，等于与它不相邻的一个内角的3倍.则此三角形最大内角是 度.
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，
∴可设这一内角为x°，则与它相邻的外角为5x°，
∴x°+5x°=180°，
解得x=30，
∴5x°=150°，
又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的3倍，
∴与它不相邻的一个内角为：150°÷3=50°，
∴第三个内角为150°-50°=100°，
∴这个三角形最大的内角是100°.
故答案为：100.
【分析】先根据已知三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，互为邻补角的两个角和为180°，从而求出这个外角与它相邻的内角的度数，根据这个外角还等于与它不相邻的一个内角的3倍，可以得到这两个与它不相邻的内角的度数，进而得到这个三角形中最大的内角的度数.
13．（2021八上·新洲期末）如图，要使五边形木架不变形，至少要再钉上 根木条.
【答案】2
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：五边形只要作出通过一个顶点的两条对角线，即可把五边形分成三个三角形，则要使五边形不变形，则至少要钉上2根木条.
故答案为：2.
【分析】五边形只要作出通过一个顶点的两条对角线，即可把五边形分成三个三角形，利用三角形的稳定性即可得到.
14．（2021八上·鄂州期末）如图， 的 和 的平分线 ， 相交于点 ，若 ，则 的度数为 ．
【答案】123°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】由题意可知 ，
∵BE和CF分别是 和 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：123．
【分析】利用三角形的内角和定理可得到∠BGC=180°-∠GBC-∠GCB，再利用角平分线的定义可证得∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB，再利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的值，然后可求出∠BGC的度数.
三、计算题
15．若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|．
【答案】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a-b-c＜0，b-c-a＜0，c+a-b＞0．
∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|
=b+c-a+c+a-b+c+a-b
=3c+a-b．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。根据三边关系可得a-b-c＜0，b-c-a＜0，c+a-b＞0；再根据实数的绝对值的性质即可化简。
16．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=40°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵∠1=∠2，∠B=40°，
∴∠2=∠1=（180°﹣40°）÷2=70°，
又∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2=∠3+∠4，
∵∠3=∠4，
∴∠2=2∠3，
∴∠3= ∠2=35°，
∴∠BAC=∠1+∠3=105°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】先根据三角形内角和，求得∠2的度数，再根据三角形外角性质，求得∠3的度数，即可得出∠BAC的度数．
17．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE=10°，∠B=60°，求∠A的度数．
【答案】解：∵CE是AB边上的高，
∴∠A+∠ACE=90°，∠B+∠BCE=90°．
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB，
又∵∠DCE=10°，∠B=60°，
∴∠BCE=90°﹣∠B=30°，∠BCD=∠BCE+∠DCE=40°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠BCD+∠DCE=50°，
∴∠A=90°﹣∠ACE=40°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】在△BCE中由∠BEC=90°，∠B=60°能够得出∠BCE=30°；结合CD是∠ACB的角平分线，∠DCE=10°可得出∠ACE的度数；在Rt△ACE中由∠ACE的度数及∠AEC=90°，即可得出∠A的度数．
四、解答题
18．（2021八下·富顺月考）如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
【答案】解：∵S△ACD=×5×2=5，S△ABC=×5×3=7.5，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=5+7.5=12.5.
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】首先由三角形的面积公式可得S△ACD，S△ABC，然后根据S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC计算即可.
19．（2021八上·云县期末）如图， 中， 平分 ， 为 延长线上一点， 于点 ，若 ， ，求 的度数.
【答案】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】在△ABC中，由三角形内角和等于180°可求得∠BAC的度数，由角平分线定义可得∠CAD的度数，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可得∠CDP=∠CAD+∠C可求得∠CDP的度数，而∠CDP又是三角形PDE的一个外角，同理可求得∠P的度数.
20．（2021八上·紫阳期末）在 中，已知 ，若第三边 的长为偶数，求 的周长.
【答案】解： 在 中， ，
第三边 的取值范围是：
符合条件的偶数是 或 ，
当 时， 的周长为： ；
当 时， 的周长为： .
的周长为 或 .
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得由BC的长为偶数，求出BC的长，从而求出三角形的周长.
21．（2021八上·平罗期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠EAD的度数.
【答案】解：∵∠BAC=60°，∠C=50°
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-90°-∠C=40°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=30°
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=40°-30°=10°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先由AD是高得到 ∠ADC=90° ，接着通过三角形内角和求到∠DAC=40°，再由AE是角平分线得到 ∠EAC=30° ，最后由 ∠EAD=∠DAC-∠EAC 算出∠EAD的度数.
五、作图题
22．（2020八上·无锡期中）在如图所示的正方形网格中，每个小方格的边长为 1，点 A、B、C 是格点.
（1）只用直尺（不带刻度）作出AB边上的高CH（保留作图痕迹）；
（2）只用直尺（不带刻度）作出AC边上的高BG（保留作图痕迹）.
【答案】（1）解：
（2）解：
或
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）结合网格特点和三角形高的概念作图可得；
（2）结合网格特点和三角形高的概念作图可得.
23．（2020八上·余干月考）如图：在正方形网格中有一个△ABC，请按下列要求进行（借助于网格）
（1）请作出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）请作出△ABC中AB边上的高CE；
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）找到BC的中点D，连接AD即可；（2）过点C画AB的垂线，交AB延长线于点E．
六、综合题
24．（2020八上·巴南月考）如图，AD，CE是△ABC的两条高；已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.
（1）求△ABC的面积；
（2）求BC的长.
【答案】（1）解：S△ABC＝ AB·CE＝ ×12×9＝54.
（2）解：因为S△ABC＝ BC·AD，
所以 ×10×BC＝54.
所以BC＝ .
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】(1)根据三角形的面积公式计算；
(2)由S△ABC＝ AB·CE＝ BC·AD建立方程即可求解.
25．（2021八上·崇左期末）“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有 种．
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
【答案】（1）3
（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），
∴51×8=408（元）．
答：至少需要408元购买材料．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】（1）三角形的第三边x满足：7-3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．
【分析】( 1 )根据在三角形中任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边, 确定第三边的取值范围,从而确定符合条件的三角形的个数.
（2）求出各三角形的周长的和,再乘以售价为8元/分米,可得出所需钱数.
26．（2021八上·确山期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为 ，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 .
（2）如图，已知 ，在射线 上取一点A，过点A作 交 于点B，以A为端点作射线 ，交线段 于点C（点C不与O、B重合），若 ，判定 、 是否是“梦想三角形”，为什么？
【答案】（1） 或
（2）解：结论： ， 都是“梦想三角形”
理由： ， ，
，
，
为“梦想三角形”，
， ， ，
，
，
“梦想三角形”.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的内角是36°，
当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18°
故答案为：36°或18°；
【分析】（1）分两种情形：当108°是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可；
（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”.
27．（2020八上·宜春期中）已知 的面积是 ，请完成下列问题：
（1）如图1所示，若 是 的 边上的中线，则 的面积 的面积．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）如图2所示，若 ， 分别是 的 ， 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法：连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， 则 ， ．由题意得： ， ，可列方程组为 ，解得 ，通过解这个方程组可得四边形 的面积为 ．
（3）如图3所示， ， ，请你计算四边形 的面积，并说明理由．
【答案】（1）＝
（2）；40
（3）解：如图3，连结 ，
，
∴ ，
，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
由题意得： ， ，
可列方程组为： ，
解得： ，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1，过A作 于H，
是 的 边上的中线，
，
， ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解方程组得 ，
，
，
故答案为： ，40；
【分析】（1）根据等底等高的两个三角形面积相等，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以 ；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结 ，由 ，得到 ，同理可得 ，设 ， ，则 ， ，由题意得列方程组即可得到结果．
1 / 1初中数学湘教版八年级上册2.1三角形 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·渝北期中）若下列各组数值代表三根木棒的长度，则不能用它们摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm B．8cm，8cm，14cm
C．6cm，7cm，11cm D．1cm，2cm，4cm
2．（2021八上·拱墅期末）在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（ ）
A．中线 B．高线
C．角平分线 D．某一边的垂直平分线
3．（2021八上·通川期末）如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
4．（2021八下·郫都期末）将长为12的线段截成长度为整数的三段，使它们成为一个三角形的三边，则构成的三角形不可能是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
5．（2021八下·郫都期末）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形这样做的数学根据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．对顶角相等 D．垂线段最短
6．（2021·孝义模拟）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八上·扶风期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80° B．82° C．84° D．86°
8．（2019八上·陕县期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于EF两点，∠BAC∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI.下列结论：①∠BAC=∠BFD；②∠ENI=∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI=∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2021八下·东莞月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，AB＝15，则点C到AB的距离是 ．
10．（2021八上·拱墅期末）一张小凳子的结构如图所示， ，若 ，则 的度数为 .
11．（2021八上·宜州期末）已知 的三边长为2，7， ，请写出一个符合条件的 的整数值，这个值可以是 .
12．（2021八上·宜城期末）如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，等于与它不相邻的一个内角的3倍.则此三角形最大内角是 度.
13．（2021八上·新洲期末）如图，要使五边形木架不变形，至少要再钉上 根木条.
14．（2021八上·鄂州期末）如图， 的 和 的平分线 ， 相交于点 ，若 ，则 的度数为 ．
三、计算题
15．若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|．
16．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=40°，求∠BAC的度数．
17．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠DCE=10°，∠B=60°，求∠A的度数．
四、解答题
18．（2021八下·富顺月考）如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
19．（2021八上·云县期末）如图， 中， 平分 ， 为 延长线上一点， 于点 ，若 ， ，求 的度数.
20．（2021八上·紫阳期末）在 中，已知 ，若第三边 的长为偶数，求 的周长.
21．（2021八上·平罗期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠EAD的度数.
五、作图题
22．（2020八上·无锡期中）在如图所示的正方形网格中，每个小方格的边长为 1，点 A、B、C 是格点.
（1）只用直尺（不带刻度）作出AB边上的高CH（保留作图痕迹）；
（2）只用直尺（不带刻度）作出AC边上的高BG（保留作图痕迹）.
23．（2020八上·余干月考）如图：在正方形网格中有一个△ABC，请按下列要求进行（借助于网格）
（1）请作出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）请作出△ABC中AB边上的高CE；
六、综合题
24．（2020八上·巴南月考）如图，AD，CE是△ABC的两条高；已知AD＝10，CE＝9，AB＝12.
（1）求△ABC的面积；
（2）求BC的长.
25．（2021八上·崇左期末）“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有 种．
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
26．（2021八上·确山期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为 ，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 .
（2）如图，已知 ，在射线 上取一点A，过点A作 交 于点B，以A为端点作射线 ，交线段 于点C（点C不与O、B重合），若 ，判定 、 是否是“梦想三角形”，为什么？
27．（2020八上·宜春期中）已知 的面积是 ，请完成下列问题：
（1）如图1所示，若 是 的 边上的中线，则 的面积 的面积．（填“ ”“ ”或“ ”）
（2）如图2所示，若 ， 分别是 的 ， 边上的中线，求四边形 的面积可以用如下方法：连接 ，由 得： ，同理： ，设 ， 则 ， ．由题意得： ， ，可列方程组为 ，解得 ，通过解这个方程组可得四边形 的面积为 ．
（3）如图3所示， ， ，请你计算四边形 的面积，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3+4＞5，能摆成三角形，不符合题意；
B、8+8＞14，能摆成三角形，不符合题意；
C、6+7＞11，能摆成三角形，不符合题意；
D、1+2＜4，不能摆成三角形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】直接根据三角形的三边关系判断即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
故答案为：A.
【分析】根据等底同高的三角形的面积相等可知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
3．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1是三角形的一个外角，
∴∠1＞∠A，
又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 、截成5，5，2三段，构成等腰三角形；
、不可能构成钝角三角形；
、截成4，4，4三段，构成等边三角形；
、截成3，4，5三段，构成直角三角形．
故选：B．
【分析】利用三角形的三边关系定理及等腰三角形的性质，对各选项逐一判断.
5．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：常用木条固定长方形门框ABCD，使其不变形，
这种做法的根据是三角形具有稳定性．
故选：A．
【分析】根据题意，观察图形，可得答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作 后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两锐角互余，对每个选项一一判断求解即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠2+∠3=180°-∠BAC=180°-105°=75°，∠1＝∠2，∠3＝∠4
∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2
∴∠2+2∠2=75°
解之：∠2=∠1=25°；
∴∠DAC=∠BAC-∠1=105°-25°=80°.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠2+∠3的值；再利用三角形的外角性质，可求出∠1的度数；然后根据∠DAC=∠BAC-∠1，代入计算求出∠DAC的度数.
8．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠DBF+∠BAC=90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠BAC=∠BFD，故①正确；
∵∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN=∠EAM，
∵∠FEN=∠AEM，
∴∠ENI=∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD=∠MFI，
∵∠AMD=∠FMI，
∴∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误.
故答案为：C.
【分析】先根据∠ACB=90°可知∠DBF+∠BAC=90°，再由FD⊥AB可知∠BDF=90°，所以∠DBF+∠BFD=90°，通过等量代换即可得出∠BAC=∠BFD，故①正确；
根据∠BAC=∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN=∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN=∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI=∠EMI，故②正确；
由①知∠BAC=∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD=∠MFI，再根据∠AMD=∠FMI可知，∠AIF=∠ADM=90°，即AI⊥FI，故③正确；
因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误.
9．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画出图形
过点C做CD⊥AB，交AB于点D，如图所示
在直角三角形ABC中，AC=9，AB=15，根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2
∴BC=12
∵S△ABC=
AC×BC=
AB×CD
∴CD=AC×BC÷AB=
【分析】首先根据勾股定理计算得到BC的长度，继而根据三角形的面积为定值即可得到求出点C到AB的距离。
10．【答案】60°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠3=∠1+∠2，∠1=∠2，∠3=120°，
∴ ，
故答案为：60°.
【分析】根据三角形的外角等于它不相邻的两个内角和可得结果.
11．【答案】6或7或8
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，7，x，
∴7-2＜x＜7+2，
即5＜x＜9，
故答案为：6或7或8.
【分析】由三角形两边之差＜三角形第三边＜三角形两边之和，列不等式组求解，进而得出解集范围内的整数解即可.
12．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，
∴可设这一内角为x°，则与它相邻的外角为5x°，
∴x°+5x°=180°，
解得x=30，
∴5x°=150°，
又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的3倍，
∴与它不相邻的一个内角为：150°÷3=50°，
∴第三个内角为150°-50°=100°，
∴这个三角形最大的内角是100°.
故答案为：100.
【分析】先根据已知三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，互为邻补角的两个角和为180°，从而求出这个外角与它相邻的内角的度数，根据这个外角还等于与它不相邻的一个内角的3倍，可以得到这两个与它不相邻的内角的度数，进而得到这个三角形中最大的内角的度数.
13．【答案】2
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：五边形只要作出通过一个顶点的两条对角线，即可把五边形分成三个三角形，则要使五边形不变形，则至少要钉上2根木条.
故答案为：2.
【分析】五边形只要作出通过一个顶点的两条对角线，即可把五边形分成三个三角形，利用三角形的稳定性即可得到.
14．【答案】123°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】由题意可知 ，
∵BE和CF分别是 和 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：123．
【分析】利用三角形的内角和定理可得到∠BGC=180°-∠GBC-∠GCB，再利用角平分线的定义可证得∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB，再利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的值，然后可求出∠BGC的度数.
15．【答案】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，
得a-b-c＜0，b-c-a＜0，c+a-b＞0．
∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|
=b+c-a+c+a-b+c+a-b
=3c+a-b．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。根据三边关系可得a-b-c＜0，b-c-a＜0，c+a-b＞0；再根据实数的绝对值的性质即可化简。
16．【答案】解：∵∠1=∠2，∠B=40°，
∴∠2=∠1=（180°﹣40°）÷2=70°，
又∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2=∠3+∠4，
∵∠3=∠4，
∴∠2=2∠3，
∴∠3= ∠2=35°，
∴∠BAC=∠1+∠3=105°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】先根据三角形内角和，求得∠2的度数，再根据三角形外角性质，求得∠3的度数，即可得出∠BAC的度数．
17．【答案】解：∵CE是AB边上的高，
∴∠A+∠ACE=90°，∠B+∠BCE=90°．
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB，
又∵∠DCE=10°，∠B=60°，
∴∠BCE=90°﹣∠B=30°，∠BCD=∠BCE+∠DCE=40°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠BCD+∠DCE=50°，
∴∠A=90°﹣∠ACE=40°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】在△BCE中由∠BEC=90°，∠B=60°能够得出∠BCE=30°；结合CD是∠ACB的角平分线，∠DCE=10°可得出∠ACE的度数；在Rt△ACE中由∠ACE的度数及∠AEC=90°，即可得出∠A的度数．
18．【答案】解：∵S△ACD=×5×2=5，S△ABC=×5×3=7.5，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=5+7.5=12.5.
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】首先由三角形的面积公式可得S△ACD，S△ABC，然后根据S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC计算即可.
19．【答案】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】在△ABC中，由三角形内角和等于180°可求得∠BAC的度数，由角平分线定义可得∠CAD的度数，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可得∠CDP=∠CAD+∠C可求得∠CDP的度数，而∠CDP又是三角形PDE的一个外角，同理可求得∠P的度数.
20．【答案】解： 在 中， ，
第三边 的取值范围是：
符合条件的偶数是 或 ，
当 时， 的周长为： ；
当 时， 的周长为： .
的周长为 或 .
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得由BC的长为偶数，求出BC的长，从而求出三角形的周长.
21．【答案】解：∵∠BAC=60°，∠C=50°
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-90°-∠C=40°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=30°
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=40°-30°=10°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】先由AD是高得到 ∠ADC=90° ，接着通过三角形内角和求到∠DAC=40°，再由AE是角平分线得到 ∠EAC=30° ，最后由 ∠EAD=∠DAC-∠EAC 算出∠EAD的度数.
22．【答案】（1）解：
（2）解：
或
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）结合网格特点和三角形高的概念作图可得；
（2）结合网格特点和三角形高的概念作图可得.
23．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）找到BC的中点D，连接AD即可；（2）过点C画AB的垂线，交AB延长线于点E．
24．【答案】（1）解：S△ABC＝ AB·CE＝ ×12×9＝54.
（2）解：因为S△ABC＝ BC·AD，
所以 ×10×BC＝54.
所以BC＝ .
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】(1)根据三角形的面积公式计算；
(2)由S△ABC＝ AB·CE＝ BC·AD建立方程即可求解.
25．【答案】（1）3
（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），
∴51×8=408（元）．
答：至少需要408元购买材料．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】（1）三角形的第三边x满足：7-3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．
【分析】( 1 )根据在三角形中任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边, 确定第三边的取值范围,从而确定符合条件的三角形的个数.
（2）求出各三角形的周长的和,再乘以售价为8元/分米,可得出所需钱数.
26．【答案】（1） 或
（2）解：结论： ， 都是“梦想三角形”
理由： ， ，
，
，
为“梦想三角形”，
， ， ，
，
，
“梦想三角形”.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的内角是36°，
当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18°
故答案为：36°或18°；
【分析】（1）分两种情形：当108°是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可；
（2）根据“梦想三角形”的定义可以判断：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”.
27．【答案】（1）＝
（2）；40
（3）解：如图3，连结 ，
，
∴ ，
，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
由题意得： ， ，
可列方程组为： ，
解得： ，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）如图1，过A作 于H，
是 的 边上的中线，
，
， ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解方程组得 ，
，
，
故答案为： ，40；
【分析】（1）根据等底等高的两个三角形面积相等，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以 ；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结 ，由 ，得到 ，同理可得 ，设 ， ，则 ， ，由题意得列方程组即可得到结果．
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