初中数学湘教版八年级上册3.1平方根 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·西湖期末） （ ）
A．-4 B．2 C．4 D．8
2．（2021八下·武汉月考） （ ）
A．±2 B．±4 C．4 D．-4
3．（2020八上·榆次期中）一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个正数为（ ）
A．7 B．10 C．-10 D．100
4．（2020八上·周口期中）一个正数的算术平方根是a，那么比这个正数大2的数的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八上·栾城期中）若2＜ ＜3，则a的值可以是（ ）
A．﹣7 B． C． D．12
6．（2020八上·邢台期中）已知实数a的一个平方根是 ，则此实数的算术平方根是（ ）
A． B． C．2 D．4
7．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a-b的值为（ ）
A．-2 B．±5 C．5 D．-5
8．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ．但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．
请同学们观察下表：
n 0.09 9 900 90000 …
0.3 3 30 300 …
运用你发现的规律解决问题，已知 ≈1.435，则 ≈（ ）
A．14.35 B．1.435 C．0.1435 D．143.5
9．（2021七下·上海期中） 其中,无理数的个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册2.5《用计算器开方》 同步练习）用计算器计算 的近似值（精确到0.01），结果是（ ）
A．1.15 B．3.46 C．4.62 D．13.86
二、填空题
11．（2020八上·德江期末）实数 ， ， ， 中，无理数有 ；
12．（2021七下·北京月考）若无理数 满足： ，请写出两个这样的 ： ．
13．（2020八上·富平期中）已知 的平方根是 ，则 的值为 .
14．（2021八下·乐清期末）当x= 时， 值为0。
15．（2021八下·朝阳期中）已知 ，那么a＝ ．
16．（实数大小比较+++++++++++++++）用计算器比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“=”）
17．（2018八上·埇桥期末） =a， =b，则 = ．
18．（2020八上·常州期末）观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律:
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
（1）填空:x= ， y= .
（2）根据你发现的规律填空:
①已知 ≈1.414，则 = ， = ；
② = 0.274，记 的整数部分为x,则 = .
三、计算题
19．（2018八上·东台期中）求下列各式中的x的值：
（1）x2﹣9=0．
（2）2(x+1)2=72
20．（2020八上·青岛月考）求下列各数的算术平方根．
（1）289
（2）121
（3） ．
四、解答题
21．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.2《二次根式的乘除》.）在△ABC中，BC边上的高h= cm，它的面积恰好等于边长为 cm的正方形面积，求BC的长。
22．（2020八上·长春月考）已知2a－7的平方根是±5，2a＋b－1的算术平方根是4，求- ＋b的值.
23．（2020八上·无锡期中）已知2a-1的平方根为±3，3a+b-1的算术平方根为4.
（1）求a、b的值；
（2）求a+2b的算术平方根.
24．用计算器计算（精确到0.01）
（1）3﹣2
（2）+﹣．
五、综合题
25．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）计算：
（1） = ， = ， = ， = ， = ，
（2）根据计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（3）利用你总结的规律，计算： ．
26．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.2《二次根式的乘除》.）方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径.
27．（2020八上·商水月考）某地气象资料表明此地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t2＝ 来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径.
（1）如果雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
（2）如果一场雷雨持续了2 h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？
28．（2021八下·江津期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”.例如：1，4，9这三个数， ＝2， ＝3， ＝6，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6.
（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；
（2）已知16，a，36这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的概念进行解答.
2．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】 根据算术平方根的根念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，从而进行计算即可．
3．【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】一个正数的两个平方根分别为 a+3 和 4-2a ，
利用正数两个平方个的性质，它们是互为相反数，
+ =0，
，
，
，
．
故选择：D．
【分析】根据平方根的定义求解即可。
4．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由一个正数的算术平方根是a，得这个正数是 .
那么比这个正数大2的数的算术平方根是 ，
故答案为：C.
【分析】先根据算术平方根与平方的关系求出这个正数，然后即可求出结论.
5．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴4＜a-2＜9，
∴6＜a＜11．
又a-2≥0，即a≥2．
∴a的取值范围是6＜a＜11．
观察选项，只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件得到4＜a-2＜9，由此求得a的取值范围，易得符合条件的选项．
6．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】∵-2是实数 的一个平方根，
∴ ，
∴ 的算术平方根是 ，
故答案为：C．
【分析】根据平方根的概念从而得出a的值，再利用算术平方根的定义求解即可．
7．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，∴a=2，则b=-3，a=-2，b=3，
则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．
【分析】用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a-b的值；此题有两个答案，勿漏算．
8．【答案】A
【知识点】算术平方根；计算器在数的开方中的应用
【解析】解答：根据表格的规律： ， ，可知 ≈1.435，则 ≈14.35.
分析：根据被开方数的小数点移动两位，算术平方根的小数点每移动一位求出即可．
9．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-，为无理数
故答案为：A.
【分析】根据无理数的含义，判断得到答案即可。
10．【答案】A
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：4÷2 ≈1.15．
故答案为：A．
【分析】将原式转化为4÷，利用计算器计算即可。
11．【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】 ， ， =6是有理数；
是无理数
故答案为：
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
12．【答案】 或 （答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： ，
＜ ＜
或
故答案为： 或
【分析】由 ，可得 ＜ ＜ 从而可得答案．
13．【答案】5
【知识点】平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是 ，
a-1=4，
a=5.
故答案为：5.
【分析】由平方根的定义“如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）”可得：a-1=（）2=4，解这个关于a的方程即可求解.
14．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得：
2x-4=0
解之：x=2.
故答案为：2.
【分析】利用二次根式的值为0，则被开方数为0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
15．【答案】6
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵ ＝3，
∴3+a＝32＝9，
∴a＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【分析】两边同时平方，再求解即可。
16．【答案】＜
【知识点】计算器在数的开方中的应用；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵ ≈2.449， ≈2.466，
而2.449＜2.466，
∴ ＜ ．
故答案为：＜．
【分析】用计算器求出 和 的近似值，再比较大小即可．
17．【答案】0.1b
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =b，
∴ = = = =0.1b．
故答案为：0.1b．
【分析】算数平方根的小数点移动法则为”内2外1“，根号里边移动2位，外边移动1位，5.67与567小数点相差2位，以为标准移动小数点.
18．【答案】（1）0.1；10
（2）14.14；0.1414；
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)解：根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴ ， ；
故答案为：0.1，10
( 2 )解：①由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ， ；
故答案为： ，
②由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1）中的规律，求出 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
19．【答案】（1）解：∵x2-9=0，
∴x2=9，
∴x1=3，x2=-3
（2）解：∵2（x+1）2=72，
∴（x+1）2=36，
∴x+1=±6，
解得，x1=5，x2=-7
【知识点】平方根
【解析】【分析】（1）移项后，由平方根的意义可求解；
（2）先将系数化为1，把（x+1）看作一个整体，再用平方根的意义可求解。
20．【答案】（1）解：因为 ，所以
（2）解：因为1. ，所以
（3）解：因为2. ，所以
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】直接根据算术平方根的定义求解即可．
21．【答案】解：由题意， × BC×6 =（3 ） ，所以BC=2
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】根据△ABC的面积恰好等于边长为 3 cm的正方形面积可列方程，然后根据算术平方根的意义可求解。
22．【答案】解：∵2a-7的平方根是±5，
∴2a-7=25，
∴a=16，
∵2a+b-1的算术平方根是4，
∴2a+b-1=16，
∴b=-15，
∴ +b=-4-15=-19．
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】根据平方根或算术平方根的平方等于被开方数，可得二元一次方程组，解出方程组的解，即得a，b的值，然后代入计算即可.
23．【答案】（1）解：∵2a-1的平方根是±3，
∴2a-1=9，
∴a=5，
∵3a+b-1的算术平方根是4，
∴3a+b-1=16，
∴3×5+b-1=16，
∴b=2，
（2）解：把a=5，b=2代入a+2b得：
a+2b=5+2×2=9.
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义及算术平方根的定义列出方程组，求解得出a,b的值；
（2）把a，b的值代入代数式进行计算即可得解.
24．【答案】解：（1）原式≈3×1.414﹣2×1.732≈0.78；
（2）原式≈1.732×1.414+2.236﹣3.142÷2≈3.11．
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【分析】（1）利用计算器计算出2和3的算术平方根，按照运算顺序依次计算可得；
（2）用计算器分别求得3和2的算术平方根及5的算术平方根，求得π的，按照从左往右的顺序计算即可．
25．【答案】（1）；0.7；0；6；
（2）解：分类讨论：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上所述： = ；
（3）解：利用（2）中得到的规律，可得原式=|3.14﹣π|=π﹣3.14．
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）【解答】 =， =0.7， =0， =6， = .（2）中根据算术的平方根的定义可知， 结果是一个正数，但a不一定是正数，所以需要去分类讨论；（3）在计算 时需要注意括号里3.14﹣π的正负性，并利用（2）中得到的结论去做.
26．【答案】解：因为长方形面积为 ，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是 ，所以
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】长方形面积=长宽，圆的面积=π ，根据已知条件圆的面积等于长方形面积可列方程求解。
27．【答案】（1） ，
，
将d＝8代入得： .
答：这场雷雨大约能持续 .
（2） ，
，
，
将t＝2代入可得 .
答：这场雷雨区域的直径大约是60 km.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据 ，其中 是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；（2）根据 ，其中 是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案.
28．【答案】（1）解： ，且 都是整数，
这三个数是“老根数”，
，
最小算术平方根为4，最大算术平方根为20；
（2）解： 这三个数是“老根数”，
为正整数， ，且 都是整数，
因为 ，
所以分以下两种情况：
①当 ，即 时，
则最大算术平方根是24，最小算术平方根是 ，
因此有 ，
解得 ，符合题设，且符合“老根数”的定义；
②当 ，即 时，
则最大算术平方根是 ，最小算术平方根是24，
因此有 ，
解得 ，符合题设，且符合“老根数”的定义，
综上， 的值为9或64.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据“老根数”的定义、算术平方根的定义即可得；（2）根据“老根数”的定义、“最大算术平方根是最小算术平方根的2倍”建立方程，利用算术平方根的性质解方程即可得.
1 / 1初中数学湘教版八年级上册3.1平方根 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·西湖期末） （ ）
A．-4 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根的概念进行解答.
2．（2021八下·武汉月考） （ ）
A．±2 B．±4 C．4 D．-4
【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】 根据算术平方根的根念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，从而进行计算即可．
3．（2020八上·榆次期中）一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个正数为（ ）
A．7 B．10 C．-10 D．100
【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】一个正数的两个平方根分别为 a+3 和 4-2a ，
利用正数两个平方个的性质，它们是互为相反数，
+ =0，
，
，
，
．
故选择：D．
【分析】根据平方根的定义求解即可。
4．（2020八上·周口期中）一个正数的算术平方根是a，那么比这个正数大2的数的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由一个正数的算术平方根是a，得这个正数是 .
那么比这个正数大2的数的算术平方根是 ，
故答案为：C.
【分析】先根据算术平方根与平方的关系求出这个正数，然后即可求出结论.
5．（2020八上·栾城期中）若2＜ ＜3，则a的值可以是（ ）
A．﹣7 B． C． D．12
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴4＜a-2＜9，
∴6＜a＜11．
又a-2≥0，即a≥2．
∴a的取值范围是6＜a＜11．
观察选项，只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件得到4＜a-2＜9，由此求得a的取值范围，易得符合条件的选项．
6．（2020八上·邢台期中）已知实数a的一个平方根是 ，则此实数的算术平方根是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】∵-2是实数 的一个平方根，
∴ ，
∴ 的算术平方根是 ，
故答案为：C．
【分析】根据平方根的概念从而得出a的值，再利用算术平方根的定义求解即可．
7．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a-b的值为（ ）
A．-2 B．±5 C．5 D．-5
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，∴a=2，则b=-3，a=-2，b=3，
则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．
【分析】用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a-b的值；此题有两个答案，勿漏算．
8．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ．但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．
请同学们观察下表：
n 0.09 9 900 90000 …
0.3 3 30 300 …
运用你发现的规律解决问题，已知 ≈1.435，则 ≈（ ）
A．14.35 B．1.435 C．0.1435 D．143.5
【答案】A
【知识点】算术平方根；计算器在数的开方中的应用
【解析】解答：根据表格的规律： ， ，可知 ≈1.435，则 ≈14.35.
分析：根据被开方数的小数点移动两位，算术平方根的小数点每移动一位求出即可．
9．（2021七下·上海期中） 其中,无理数的个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-，为无理数
故答案为：A.
【分析】根据无理数的含义，判断得到答案即可。
10．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册2.5《用计算器开方》 同步练习）用计算器计算 的近似值（精确到0.01），结果是（ ）
A．1.15 B．3.46 C．4.62 D．13.86
【答案】A
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】解：4÷2 ≈1.15．
故答案为：A．
【分析】将原式转化为4÷，利用计算器计算即可。
二、填空题
11．（2020八上·德江期末）实数 ， ， ， 中，无理数有 ；
【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】 ， ， =6是有理数；
是无理数
故答案为：
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
12．（2021七下·北京月考）若无理数 满足： ，请写出两个这样的 ： ．
【答案】 或 （答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： ，
＜ ＜
或
故答案为： 或
【分析】由 ，可得 ＜ ＜ 从而可得答案．
13．（2020八上·富平期中）已知 的平方根是 ，则 的值为 .
【答案】5
【知识点】平方根
【解析】【解答】解： 的平方根是 ，
a-1=4，
a=5.
故答案为：5.
【分析】由平方根的定义“如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）”可得：a-1=（）2=4，解这个关于a的方程即可求解.
14．（2021八下·乐清期末）当x= 时， 值为0。
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由题意得：
2x-4=0
解之：x=2.
故答案为：2.
【分析】利用二次根式的值为0，则被开方数为0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
15．（2021八下·朝阳期中）已知 ，那么a＝ ．
【答案】6
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵ ＝3，
∴3+a＝32＝9，
∴a＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【分析】两边同时平方，再求解即可。
16．（实数大小比较+++++++++++++++）用计算器比较大小： ．（填“＞”、“＜”或“=”）
【答案】＜
【知识点】计算器在数的开方中的应用；无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵ ≈2.449， ≈2.466，
而2.449＜2.466，
∴ ＜ ．
故答案为：＜．
【分析】用计算器求出 和 的近似值，再比较大小即可．
17．（2018八上·埇桥期末） =a， =b，则 = ．
【答案】0.1b
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ =b，
∴ = = = =0.1b．
故答案为：0.1b．
【分析】算数平方根的小数点移动法则为”内2外1“，根号里边移动2位，外边移动1位，5.67与567小数点相差2位，以为标准移动小数点.
18．（2020八上·常州期末）观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律:
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
（1）填空:x= ， y= .
（2）根据你发现的规律填空:
①已知 ≈1.414，则 = ， = ；
② = 0.274，记 的整数部分为x,则 = .
【答案】（1）0.1；10
（2）14.14；0.1414；
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】(1)解：根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴ ， ；
故答案为：0.1，10
( 2 )解：①由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ， ；
故答案为： ，
②由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案；（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；（3）利用（1）中的规律，求出 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
三、计算题
19．（2018八上·东台期中）求下列各式中的x的值：
（1）x2﹣9=0．
（2）2(x+1)2=72
【答案】（1）解：∵x2-9=0，
∴x2=9，
∴x1=3，x2=-3
（2）解：∵2（x+1）2=72，
∴（x+1）2=36，
∴x+1=±6，
解得，x1=5，x2=-7
【知识点】平方根
【解析】【分析】（1）移项后，由平方根的意义可求解；
（2）先将系数化为1，把（x+1）看作一个整体，再用平方根的意义可求解。
20．（2020八上·青岛月考）求下列各数的算术平方根．
（1）289
（2）121
（3） ．
【答案】（1）解：因为 ，所以
（2）解：因为1. ，所以
（3）解：因为2. ，所以
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】直接根据算术平方根的定义求解即可．
四、解答题
21．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.2《二次根式的乘除》.）在△ABC中，BC边上的高h= cm，它的面积恰好等于边长为 cm的正方形面积，求BC的长。
【答案】解：由题意， × BC×6 =（3 ） ，所以BC=2
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】根据△ABC的面积恰好等于边长为 3 cm的正方形面积可列方程，然后根据算术平方根的意义可求解。
22．（2020八上·长春月考）已知2a－7的平方根是±5，2a＋b－1的算术平方根是4，求- ＋b的值.
【答案】解：∵2a-7的平方根是±5，
∴2a-7=25，
∴a=16，
∵2a+b-1的算术平方根是4，
∴2a+b-1=16，
∴b=-15，
∴ +b=-4-15=-19．
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】根据平方根或算术平方根的平方等于被开方数，可得二元一次方程组，解出方程组的解，即得a，b的值，然后代入计算即可.
23．（2020八上·无锡期中）已知2a-1的平方根为±3，3a+b-1的算术平方根为4.
（1）求a、b的值；
（2）求a+2b的算术平方根.
【答案】（1）解：∵2a-1的平方根是±3，
∴2a-1=9，
∴a=5，
∵3a+b-1的算术平方根是4，
∴3a+b-1=16，
∴3×5+b-1=16，
∴b=2，
（2）解：把a=5，b=2代入a+2b得：
a+2b=5+2×2=9.
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义及算术平方根的定义列出方程组，求解得出a,b的值；
（2）把a，b的值代入代数式进行计算即可得解.
24．用计算器计算（精确到0.01）
（1）3﹣2
（2）+﹣．
【答案】解：（1）原式≈3×1.414﹣2×1.732≈0.78；
（2）原式≈1.732×1.414+2.236﹣3.142÷2≈3.11．
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【分析】（1）利用计算器计算出2和3的算术平方根，按照运算顺序依次计算可得；
（2）用计算器分别求得3和2的算术平方根及5的算术平方根，求得π的，按照从左往右的顺序计算即可．
五、综合题
25．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）计算：
（1） = ， = ， = ， = ， = ，
（2）根据计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（3）利用你总结的规律，计算： ．
【答案】（1）；0.7；0；6；
（2）解：分类讨论：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
综上所述： = ；
（3）解：利用（2）中得到的规律，可得原式=|3.14﹣π|=π﹣3.14．
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）【解答】 =， =0.7， =0， =6， = .（2）中根据算术的平方根的定义可知， 结果是一个正数，但a不一定是正数，所以需要去分类讨论；（3）在计算 时需要注意括号里3.14﹣π的正负性，并利用（2）中得到的结论去做.
26．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练：16.2《二次根式的乘除》.）方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是 cm，宽是 cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径.
【答案】解：因为长方形面积为 ，圆的面积等于长方形面积，不妨设圆的半径为r，于是 ，所以
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】长方形面积=长宽，圆的面积=π ，根据已知条件圆的面积等于长方形面积可列方程求解。
27．（2020八上·商水月考）某地气象资料表明此地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t2＝ 来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径.
（1）如果雷雨区域的直径为8 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
（2）如果一场雷雨持续了2 h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？
【答案】（1） ，
，
将d＝8代入得： .
答：这场雷雨大约能持续 .
（2） ，
，
，
将t＝2代入可得 .
答：这场雷雨区域的直径大约是60 km.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据 ，其中 是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；（2）根据 ，其中 是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案.
28．（2021八下·江津期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”.例如：1，4，9这三个数， ＝2， ＝3， ＝6，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6.
（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；
（2）已知16，a，36这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值.
【答案】（1）解： ，且 都是整数，
这三个数是“老根数”，
，
最小算术平方根为4，最大算术平方根为20；
（2）解： 这三个数是“老根数”，
为正整数， ，且 都是整数，
因为 ，
所以分以下两种情况：
①当 ，即 时，
则最大算术平方根是24，最小算术平方根是 ，
因此有 ，
解得 ，符合题设，且符合“老根数”的定义；
②当 ，即 时，
则最大算术平方根是 ，最小算术平方根是24，
因此有 ，
解得 ，符合题设，且符合“老根数”的定义，
综上， 的值为9或64.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据“老根数”的定义、算术平方根的定义即可得；（2）根据“老根数”的定义、“最大算术平方根是最小算术平方根的2倍”建立方程，利用算术平方根的性质解方程即可得.
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