【精品解析】初中数学湘教版八年级上册4.2不等式的基本性质 同步练习

初中数学湘教版八年级上册4.2不等式的基本性质 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·成都期末）已知m＜n，下列不等式一定成立的是（　　）
A．3m＜3n B．m﹣6＞n﹣6 C．﹣2m＜﹣2n D．
2．（2021八下·城阳期末）据气象台预报，2021年6月某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）．
A．t≥17 B．t≤25 C．17 ≤t ≤25 D．17＜t＜25
3．（2021八下·福田期末）若 ，则下列式子中正确的是（　　）．
A． B． C． D．
4．（2021八下·沈北期末）下列不等式变形正确的是（　　）
A．由4x﹣1＞0得：4x＞1 B．由5x＞3得：x＞3
C．由 ＞0得：y＜0 D．由﹣2x＜4得：x＜﹣2
5．（2021八上·下城期末）若x+2021>y+2021， 则（　　）
A．x+26．（2021八上·上城期末）若 ，则 成立的条件是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2020八上·嘉兴期中）已知a的2倍比1大，其数量关系用不等式表示　 　.
8．（2020八上·乐清月考）已知a＞b，则15a+c　 　15b+c（填“＞”“＜”或“＝”）.
9．（2020八下·扶风期末）若a＞b，要使ac＜bc，则c　 　0．
10．（2020八下·惠东期中）若 ，则 　 　 ．
11．（2020八下·北镇期中）根据不等式的基本性质，可将“mx＜2”化为“x＞ ”，则m的取值范围是　 　.
12．如果0三、计算题
13．利用不等式的基本性质，将下列不等式化为 或 的形式：
（1） ；
（2） .
14．若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．
四、解答题
15．（2020八上·镇海期中）某数学兴趣小组在学习“不等式的性质”时，有两名同学的对话如下：
你认为小英和小亮的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例。
16．依据不等式的性质，把下列不等式化成x>a或x（1）x+3<5
（2）x- >
17．用不等式表示下列关系：哥哥存款x元，弟弟存款y，兄弟2人的存款总数少于1000元．
五、综合题
18．（2019八上·长兴期中）已知x>y，比较下列式子的大小，并说明理由。
（1）2x+1>2y+1；
（2）5-2x<5-2y
19．（2019八上·南浔期中）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题
（1）完成下列填空：
已知 用“＜”或“＞”填空
4+2　 　3+1
﹣3﹣2　 　2﹣1
（2）一般地，如果 那么a+c　 　b+d（用“＜”或“＞”填空）请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性．
20．（2019八下·青铜峡月考）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a－b＞0，则a　 　b；
（2）若a－b＝0，则a　 　b；
（3）若a－b＜0，则a　 　b.
（4）这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.在不等式m＜n的两边同时乘以3，不等号的方向不变，即3m＜3n，原变形正确，故此选项符合题意.
B.在不等式m＜n的两边同时加上-6，不等号的方向不变，即m-6＜n-6，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.在不等式m＜n的两边同时乘以-2，不等号的方向改变，即-2m＞-2n，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.在不等式m＜n的两边同时除以2，不等号的方向不变，即 ＜ ，原变形错误，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】由于某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，则变化的范围为17 ≤t ≤25．
故答案为：C．
【分析】根据题意直接列出不等式即可。
3．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、由 可得 ，符合题意；
B、由 可得 ，不符合题意；
C、由 可得 ，不符合题意；
D、由 可得 ，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．由4x-1＞0得：4x＞1，故本选项符合题意；
B．由5x＞3得：x＞ ，故本选项不符合题意；
C．由 ＞0得：y＞0，故本选项不符合题意；
D．由-2x＜4得：x＞-2，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质解答即可判断选项。
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x+2021>y+2021，
两边同时减去2019得x+2>y+2，故A选项计算错误；
两边同时减去2023得x-2>y-2，故B选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以2得2x＞2y，故C选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以-2得－2x<－2y，故D选项计算正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此判断即可.
6．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当 时， ，
故答案为：D.
【分析】根据不等式性质③：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此判断即可.
7．【答案】2a>1
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：依题可得，
2a＞1.
故答案为：2a＞1.
【分析】根据题意列出数量关系式.
8．【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，15>0
∴15a＞15b
∴15a+c＞15b+c
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质2，在不等式两端同时乘15时，不改变不等号的方向，故由a＞b，得出15a＞15b，然后根据不等式的性质1，在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不改变，从而即可得出答案.
9．【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： 若a＞b， 当c＜0时， ac＜bc.
故答案为：＜.
【分析】根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负数，不等号的方向改变，即可求出c＜0.
10．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵a＜b＜0，
∴ab＜ ．
故答案为：＜．
【分析】运用不等式的基本性质求解即可．
11．【答案】m＜0
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】因为mx＜2化为x＞ ，
根据不等式的基本性质3得：m＜0，
故答案为：m＜0.
【分析】由mx＜2化为x＞ ，可知不等号改变方向，根据不等式的基本性质3，可得m＜0.
12．【答案】a<1<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】a<1< 因为0所以a<1<
【分析】根据不等式的性质1，在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，由a<1得出1<，从而得出答案。
13．【答案】（1）解：两边同除以3，得
x＞－
（2）解：两边同乘以3，得
2x＞18-x
两边同时加上x，得
2x+x＞18
即3x＞18
两边同除以3，得
x＞6
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，两边同时除以3，不等号的方向不变；
（2）首先去分母，不等式两边分别乘以3，将未知数移动到不等号左边，常数放在不等号右边，进行计算即可。
14．【答案】解：∵2a+b=12，a≥0，b≥0，
∴2a≤12．
∴a≤6．
∴0≤a≤6．
由2a+b=12得；b=12﹣2a，
将b=12﹣2a代入P=3a+2b得：
p=3a+2（12﹣2a）
=24﹣a．
当a=0时，P有最大值，最大值为p=24．
当a=6时，P有最小值，最小值为P=18
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由2a+b=12，其中a≥0，b≥0，可知0≤a≤6，由2a+b=12得；b=12﹣2a，然后代入P=3a+2b得；p=24﹣a，最后根据a的范围即可求得p的范围．
15．【答案】解：（1）正确
∵a>b
∴a+c>b+c (1)不等式两边同时加一个相同的数不等号方向不变
∵c>d
∴b+c>b+d (2) 同上
∴a+c>b+d 不等式的传递性
（ 2 ）错误
举反例，答案不唯一。
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的传递性可对小英的说法作出判断；对小亮的说法举出反例进行说明即可。
16．【答案】（1）解：根据不等式性质1，不等式两边都减3，不等号的方向不变，
得x+3-3<5-3，
即x<2
（2）解：根据不等式性质1，不等式两边都加上 ，不等号的方向不变，
得x- + > + ，
即x>1
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变即可得到。
17．【答案】解：哥哥存款x元，弟弟存款y，兄弟2人的存款总数少于1000元用不等式表示为：x+y＜1000
【知识点】不等式的定义
【解析】【分析】根据题意列出不等式即可．
18．【答案】（1）解：∵x>y ∴2x>2y，∴2x+1>2x+1
（2）解：∵x>y ∴-2x<-2y ∴5-2x<5-2y
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，即不等式两边同加上或同减去一个数不等号方向不变，不等式两边同乘以或同除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或同除以一个负数，不等号方向改变，据此逐步分析即可判断。
19．【答案】（1）＞；＜
（2）结论：a+c＜b+d． 理由：因为a＜b，所以a+c＜b+c， 因为c＜d，所以b+c＜b+d， 所以a+c＜b+d
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵4+2=6，3+1=4
∴4+2＞3+1；
∵-3-2=-5，2-1=1，
∴-3-2＜2-1
故答案为：＞，＜.
【分析】（1）利用不等式的性质，可作出判断。
（2）利用（1）中的规律可以作出判断；根据不等式的性质进行证明。
20．【答案】（1）＞
（2）=
（3）＜
（4）解：（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）
=4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1
=b2+3
因为b2+3＞0，所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1.
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）因为a﹣b＞0，所以a﹣b+b＞0+b，即a＞b；（2）因为a﹣b=0，所以a﹣b+b=0+b，即a=b；（3）因为a﹣b＜0，所以a﹣b+b＜0+b，即a＜b.
故答案为＞、=、＜、
【分析】（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，结果仍是等式，等式的两边同时加上b即可；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小.
1 / 1初中数学湘教版八年级上册4.2不等式的基本性质 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·成都期末）已知m＜n，下列不等式一定成立的是（　　）
A．3m＜3n B．m﹣6＞n﹣6 C．﹣2m＜﹣2n D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.在不等式m＜n的两边同时乘以3，不等号的方向不变，即3m＜3n，原变形正确，故此选项符合题意.
B.在不等式m＜n的两边同时加上-6，不等号的方向不变，即m-6＜n-6，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.在不等式m＜n的两边同时乘以-2，不等号的方向改变，即-2m＞-2n，原变形错误，故此选项不符合题意；
D.在不等式m＜n的两边同时除以2，不等号的方向不变，即 ＜ ，原变形错误，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，据此判断即可.
2．（2021八下·城阳期末）据气象台预报，2021年6月某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　）．
A．t≥17 B．t≤25 C．17 ≤t ≤25 D．17＜t＜25
【答案】C
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】由于某日我区最高气温25℃，最低气温17℃，则变化的范围为17 ≤t ≤25．
故答案为：C．
【分析】根据题意直接列出不等式即可。
3．（2021八下·福田期末）若 ，则下列式子中正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、由 可得 ，符合题意；
B、由 可得 ，不符合题意；
C、由 可得 ，不符合题意；
D、由 可得 ，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
4．（2021八下·沈北期末）下列不等式变形正确的是（　　）
A．由4x﹣1＞0得：4x＞1 B．由5x＞3得：x＞3
C．由 ＞0得：y＜0 D．由﹣2x＜4得：x＜﹣2
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．由4x-1＞0得：4x＞1，故本选项符合题意；
B．由5x＞3得：x＞ ，故本选项不符合题意；
C．由 ＞0得：y＞0，故本选项不符合题意；
D．由-2x＜4得：x＞-2，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据不等式的性质解答即可判断选项。
5．（2021八上·下城期末）若x+2021>y+2021， 则（　　）
A．x+2【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵x+2021>y+2021，
两边同时减去2019得x+2>y+2，故A选项计算错误；
两边同时减去2023得x-2>y-2，故B选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以2得2x＞2y，故C选项计算错误；
两边同时减去2021后再乘以-2得－2x<－2y，故D选项计算正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此判断即可.
6．（2021八上·上城期末）若 ，则 成立的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当 时， ，
故答案为：D.
【分析】根据不等式性质③：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此判断即可.
二、填空题
7．（2020八上·嘉兴期中）已知a的2倍比1大，其数量关系用不等式表示　 　.
【答案】2a>1
【知识点】不等式的定义
【解析】【解答】解：依题可得，
2a＞1.
故答案为：2a＞1.
【分析】根据题意列出数量关系式.
8．（2020八上·乐清月考）已知a＞b，则15a+c　 　15b+c（填“＞”“＜”或“＝”）.
【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，15>0
∴15a＞15b
∴15a+c＞15b+c
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质2，在不等式两端同时乘15时，不改变不等号的方向，故由a＞b，得出15a＞15b，然后根据不等式的性质1，在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不改变，从而即可得出答案.
9．（2020八下·扶风期末）若a＞b，要使ac＜bc，则c　 　0．
【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： 若a＞b， 当c＜0时， ac＜bc.
故答案为：＜.
【分析】根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负数，不等号的方向改变，即可求出c＜0.
10．（2020八下·惠东期中）若 ，则 　 　 ．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】∵a＜b＜0，
∴ab＜ ．
故答案为：＜．
【分析】运用不等式的基本性质求解即可．
11．（2020八下·北镇期中）根据不等式的基本性质，可将“mx＜2”化为“x＞ ”，则m的取值范围是　 　.
【答案】m＜0
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】因为mx＜2化为x＞ ，
根据不等式的基本性质3得：m＜0，
故答案为：m＜0.
【分析】由mx＜2化为x＞ ，可知不等号改变方向，根据不等式的基本性质3，可得m＜0.
12．如果0【答案】a<1<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】a<1< 因为0所以a<1<
【分析】根据不等式的性质1，在不等式的两边都除以同一个正数，不等号方向不变，由a<1得出1<，从而得出答案。
三、计算题
13．利用不等式的基本性质，将下列不等式化为 或 的形式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：两边同除以3，得
x＞－
（2）解：两边同乘以3，得
2x＞18-x
两边同时加上x，得
2x+x＞18
即3x＞18
两边同除以3，得
x＞6
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，两边同时除以3，不等号的方向不变；
（2）首先去分母，不等式两边分别乘以3，将未知数移动到不等号左边，常数放在不等号右边，进行计算即可。
14．若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．
【答案】解：∵2a+b=12，a≥0，b≥0，
∴2a≤12．
∴a≤6．
∴0≤a≤6．
由2a+b=12得；b=12﹣2a，
将b=12﹣2a代入P=3a+2b得：
p=3a+2（12﹣2a）
=24﹣a．
当a=0时，P有最大值，最大值为p=24．
当a=6时，P有最小值，最小值为P=18
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由2a+b=12，其中a≥0，b≥0，可知0≤a≤6，由2a+b=12得；b=12﹣2a，然后代入P=3a+2b得；p=24﹣a，最后根据a的范围即可求得p的范围．
四、解答题
15．（2020八上·镇海期中）某数学兴趣小组在学习“不等式的性质”时，有两名同学的对话如下：
你认为小英和小亮的结论正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出一个反例。
【答案】解：（1）正确
∵a>b
∴a+c>b+c (1)不等式两边同时加一个相同的数不等号方向不变
∵c>d
∴b+c>b+d (2) 同上
∴a+c>b+d 不等式的传递性
（ 2 ）错误
举反例，答案不唯一。
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式的传递性可对小英的说法作出判断；对小亮的说法举出反例进行说明即可。
16．依据不等式的性质，把下列不等式化成x>a或x（1）x+3<5
（2）x- >
【答案】（1）解：根据不等式性质1，不等式两边都减3，不等号的方向不变，
得x+3-3<5-3，
即x<2
（2）解：根据不等式性质1，不等式两边都加上 ，不等号的方向不变，
得x- + > + ，
即x>1
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】由不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变即可得到。
17．用不等式表示下列关系：哥哥存款x元，弟弟存款y，兄弟2人的存款总数少于1000元．
【答案】解：哥哥存款x元，弟弟存款y，兄弟2人的存款总数少于1000元用不等式表示为：x+y＜1000
【知识点】不等式的定义
【解析】【分析】根据题意列出不等式即可．
五、综合题
18．（2019八上·长兴期中）已知x>y，比较下列式子的大小，并说明理由。
（1）2x+1>2y+1；
（2）5-2x<5-2y
【答案】（1）解：∵x>y ∴2x>2y，∴2x+1>2x+1
（2）解：∵x>y ∴-2x<-2y ∴5-2x<5-2y
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，即不等式两边同加上或同减去一个数不等号方向不变，不等式两边同乘以或同除以一个正数，不等号方向不变，同乘以或同除以一个负数，不等号方向改变，据此逐步分析即可判断。
19．（2019八上·南浔期中）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题
（1）完成下列填空：
已知 用“＜”或“＞”填空
4+2　 　3+1
﹣3﹣2　 　2﹣1
（2）一般地，如果 那么a+c　 　b+d（用“＜”或“＞”填空）请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性．
【答案】（1）＞；＜
（2）结论：a+c＜b+d． 理由：因为a＜b，所以a+c＜b+c， 因为c＜d，所以b+c＜b+d， 所以a+c＜b+d
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）∵4+2=6，3+1=4
∴4+2＞3+1；
∵-3-2=-5，2-1=1，
∴-3-2＜2-1
故答案为：＞，＜.
【分析】（1）利用不等式的性质，可作出判断。
（2）利用（1）中的规律可以作出判断；根据不等式的性质进行证明。
20．（2019八下·青铜峡月考）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a－b＞0，则a　 　b；
（2）若a－b＝0，则a　 　b；
（3）若a－b＜0，则a　 　b.
（4）这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”.
请运用这种方法尝试解决下面的问题：
比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小.
【答案】（1）＞
（2）=
（3）＜
（4）解：（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）
=4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1
=b2+3
因为b2+3＞0，所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1.
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：（1）因为a﹣b＞0，所以a﹣b+b＞0+b，即a＞b；（2）因为a﹣b=0，所以a﹣b+b=0+b，即a=b；（3）因为a﹣b＜0，所以a﹣b+b＜0+b，即a＜b.
故答案为＞、=、＜、
【分析】（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，结果仍是等式，等式的两边同时加上b即可；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小.
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