鲁教版（五四制）九上3.5.2 确定二次函数表达式 教案（表格式）

《确定二次函数表达式》（第2课时）
教学设计
一、教材和学情分析：
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教材分析：
《确定二次函数的表达式》（2）是鲁教版教科书初中数学九年级上册第三章第五节的内容。本节内容共安排2个课时完成，本节课为第2课时。本节课的主要内容是利用待定系数法求二次函数表达式。让学生经历确定二次函数的表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。本节为选学内容，利用三元一次方程组解决确定二次函数的表达式的相关问题。三元一次方程组的解法并不是本节课的重点，在教学和学习中，不应加大三元一次方程组的复杂程度，而应引导学生掌握确定二次函数表达式的多种方法，在对多种方法的比较中体会各种方法的适用范围，从而选择最简单或是最适合自己思维方式的解决办法。上节学生已经掌握了二元一次方程组解决二次函数问题的基本方法，在分析问题条件和解决问题方法上也更加牢固了数形结合的意识。本节课通过探究多种方法解决二次函数问题更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的联系，进一步培养学生数形结合和建立数学模型解决问题的意识和能力，为今后解析几何的学习奠定了更加重要的基础。
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学情分析：
本节课面对的是初中三年级的学生，通过前面的学习，学生已经初步掌握了确定二次函数表达式的基本条件，并学习了利用待定系数法确定二次函数表达式的方法。上节主要学习了利用二元一次方程去求解的例题，在此基础上，学生已建立了初步的利用方程思想解决二次函数问题、数形结合来分析问题的意识，有了初步的建立二次函数解题模型的思想。在此认知基础上，学生学习本节知识困难不大，关键是让学生利用三元一次方程组确定二次函数的表达式，并且进一步锻炼对三种形式的函数表达式灵活运用的能力。学生已经具备了初步的逻辑辨证能力和空间想象能力，自主探索、合作交流已经成为他们学习数学的重要方式。但是，初四年级的同学大多已具有独立思考、综合整合问题的能力，但也不乏活泼好动、好奇心强等特点，对于探究式的自主学习，有优势，但还需进行正确的引导。
二、教学目标：
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知识与技能：
1、会利用待定系数法求二次函数的表达式。
2、掌握用三元一次方程组确定二次函数表达式的方法。
3、会根据题中给出的不同条件，利用三种不同的表达方法来确定二次函数的表达式。
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过程与方法：
1、经历确定二次函数表达式的探究过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
2、经历同一数学问题用不同的方法解决的过程，体现问题解法的多样化，同进培养学生思维的广阔性和灵活性，培养学生的创新意识和变式能力。
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情感态度与价值观：
1、通过学习过程中的感受和体会，培养学生的探索精神和参与意识，让每个学生都获得力所能及的数学知识，增强自信心。
2、利用观察、探究、归纳等方法，积淀学生的数学文化素养，鼓励学生努力去发现、去思考、去总结、去创造，不断培养学生的创新、探索意识。
三、重点难点：
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教学重点：
会根据题中给出的不同条件，利用三种不同的表达方式来确定二次函数的表达式。?
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教学难点：
综合运用方程组与函数的知识解决实际问题。
四、教学方法与教学策略：
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教法：
1、情景教学法：利用多媒体提供丰富素材，激发学生探索的欲望。
2、引导教学法：激活学生的思维，将教师主导与学生主体相结合。
3、探究教学法：提出问题，让学生通过自主探究，解决问题，掌握新知。
4、互动教学法：引导学生学会合作、学会学习，培养团队意识和合作能力。
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学法：
以学生独立思考、自主探究、合作交流为主要形式的学习模式。
◆教学策略：
根据本节课的特点、目标要求及学生的实际情况，主要采用探究式教学法，引导学生进行观察探索、猜想验证、合作交流、归纳总结,进而培养学生数学学习的良好习惯，培养创新精神，使他们体会到数学问题解决的严密性和规范性，进一步培养建立数学模型解决问题的思想。
五、教学资源：
多媒体课件、教学用书、探究学习导学案等。
六、课时安排：
1课时
七、设计思路：
八、教学过程：
教学程序
教师活动
学生活动
设计意图
复习提问，引入新课
学习目标：1、利用三元一次方程组确定二次函数的表达式。2、掌握确定二次函数表达式的多种方法。3、对多种方法进行比较，体会多种方法的适用范围问题：二次函数解析式有哪几种表达方式？1、一般式：y=ax2+bx+c2、顶点式：y=a(x-h)2+k3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)师适时点拨：◆三者表达都是二次函数关系，书写形式不同。◆三者可根据实际条件选择应用，也可通过变形进行相互的转换。
听老师讲读学习目标和学习重难点，明确本节的学习任务。学生根据以往学习经验,逐个回答问题。学生思考判断后回答问题。
明确本节的学习目标，知道自己应该从哪方面来学习，了解学习重点和难点。复习回顾与本节课有关的内容,为本节课的学习做好铺垫。问题激发，实现知识的自然过渡，让学生顺利接受新知。
合作探究，运用一般式、顶点式、交点式求解二次函数
（一）1、例1、已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式。（本题需要利用三元一次方程组解决问题，但三元一次方程组的解法并不是本节课的教学重点，不应加大三元一次方程组的复杂程度，而应引导学生掌握确定二次函数表达式的多种方法，在对多种方法的比较中体会各种方法的适用范围。）2、提出问题：以上确定二次函数解析式的方法适合哪种具体情况，我们应该怎样来解决？学生交流总结：已知图象上三点或三组对应值，设一般式，列三元一次方程组，求解二次函数。（二）1、例2、已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5），求抛物线的解析式。2、总结规律：已知图象的顶点坐标、对称轴或最值，设顶点式，列方程，求解二次函数（三）1、例3、已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0），并经过点M（0,1），求抛物线的解析式。2、引导学生总结规律：已知二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，设交点式，列方程，求解二次函数。3、通过以上三个例题总结求解二次函数的一般规律：确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，从一般式、顶点式、交点式中恰当地选用一种比较简单的函数表达式
。
学生认真完成，进一步感知待定系数法确定二次函数关系，利用一般式和三元一次方程组解决问题的基本思路。学生积极思考，找到解决问题的一般规律和方法。学生思考完成，进一步感知待定系数法确定二次函数关系，运用顶点式，列方程解决问题的基本思路。学生认真思考，积极研究探讨，找到解决问题的一般规律和最佳方法。学生认真思考，进一步感知运用交点式和一般式确定二次函数关系的方法，并对两种方法进行对比。进一步思考问题的本质和规律性，体会一题多解和优越性，寻求解决问题的最佳方案的必要性。
体会三元一次方程组求解二次函数的适用范围。培养学生善于观察，灵活运用知识、善于总结数学规律的能力。体会不同条件下不同方法的适用范围，选择最简单或是最适合自己思维方式的解决办法。培养学生敏锐的数学眼光，灵活运用知识、善于总结数学规律，建立合理的数学模型。继续体会不同条件下不同方法的适用范围，体会三种方式的条件特征，并加以比较，选择最佳解决方案。培养学生从数学的角度分析问题，用数学的思维方式合理解决问题，体会数学规律和数学模型在数学中作用。
跟踪练习、巩固提高
已知一个二次函数图象经过（1，0），（3，0）和（0，9）三点，求这个函数的解析式。已知一个二次函数的图象经过（－1，8），（1，2），（2，5）三点。求这个函数的解析式。3、已知二次函数的图象过点（4，-3），并且当x=3时有最大值4，求这个二次函数的表达式。4、已知二次函数图象的对称轴为直线x=1，最低点的纵坐标为-
8，且过点（-2,10），求这个二次函数的解析式。5、已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A点，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。6、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B(3，0)两点，且函数最大值为2，求二次函数的解析式。
1、认真审题，发现问题的本质，利用最适合的方法来解决问题。2、学生互相交流，积极思考，找到解决问题的一般规律和方法。3、尝试总结什么情况下适用本方法。
1、培养善于观察，勤于思考，灵活运用知识的能力，继续体会数学建模的思想。2、培养学生归纳总结数学问题和数学规律方法的能力。
一题
多解，灵活应用
例4、有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里，(如图所示)，求抛物线的解析式．
（鼓励学生开动脑筋，运用二次函数的三种表达方式来求解。）小组合作探讨，全班统一交流方法一：解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c由抛物线经过(0，0)、(20，16)和(40，0)三点可得方程组
方法二：解：设抛物线为y=a(x-20)2＋16
∵
点(0，0)在抛物线上∴
0=400a+16∴a=
-1/25∴
所求抛物线解析式为
方法三：解：设抛物线为y=ax(x-40
）∵
点(20，16)在抛物线上
本题条件较丰富，学生可以根据已有的知识和经验自己选择合适的方法进行解答，鼓励一题多解。小组合作探讨，各抒己见，全班统一交流。
在分析问题条件和解决问题方法上更加牢固数形结合的意识。通过探究多种方法解决二次函数问题更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的联系，进一步培养学生数形结合和建立数学模型解决问题的意识和能力，为今后解析几何的学习奠定了更加重要的基础。
联系实际，能力提升
例5、某经济开发区建区以来5年的财政收入情况如图所示，可以看出图中的折线近似于抛物线的一部分试求出图象过A、C、D三点的二次函数关系。利用1的结果，分别求出x=2和x=5时该二次函数值，并分别与点B、点E比较。利用1中得到的二次函数的关系式，预测该开发区第6年的财政收入可能达到
的数值。（精确到0.1亿元）解答：设一般式结果：y=0.2x2-0.2x+2.6(2)当x=2时，y=3,与点B纵坐标的误差为0
当x=5时，y=6.6,与E纵坐标的误差为0.3（3）当x=6时，y=8.6估计该公司第6年的利润可达万元。
仔细阅读问题并解答，认真考虑题中提出的各个小问题，与实际生活相联系，体会用数据来估计生活问题的知识和方法。学生更加了解本节重要知识点，使知识更加系统内化，重点突出数形结合、用数学知识解决实际问题的思想。
让学生经历确定二次函数的表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法。通过问题的归纳与总结、反思与交流，让学生体会到数学来自于生活，又高于生活，培养数学应用意识
检测升华，新知内化
试试看，你掌握得很好吗？⑴．若二次函数的图象有最高点（1，-6），且经过点（2，-8），求该二次函数的解析式⑵．若二次函数的图象过点（0,0）、（1,3）、（2,7）三点，求该二次函数解析式⑶．若二次函数的图象与x轴的交点坐标为（1,0）,(2,0),且经过点（3,4）,求此二次函数的关系⑷．若抛物线的对称轴为，且经过点（1,4）、（5,0），求此函数的解析式⑸．已知二次函数的图象过点A（-1,0）、B（3,0），与y轴交于点C,且BC=,求此函数解析式。选做：⑹．有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？（用多种方法解答）
1、认真完成每个习题，然后小组交流研讨，要求学生只列式子，体会解题方法，不必一一计算结果。2、利用本节课所学知识灵活运用解题方法和思路3、确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种比较简单的函数表达式
。
1、灵活多样的习题形式，可以激发学生求知的欲望，调动学生的学习积极性。2、题目的设计面向全体同学，便于全面反馈，及时了解课堂学习效果,从而进行有针对性的辅导,及时查漏补缺。同时又具有层次性，有利于不同层次的学生实现不同的目标，获得成功的体验。
条理总结，深化思想
求二次函数解析式的一般方法：1、已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式2、已知图象的顶点坐标、对称轴或最值，
通常选择顶点式3、已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种比较简单的函数表达式
。
同学们畅所欲言，互相交流，总结本节所学知识的主干和精髓。
培养学生分析解决问题的能力的同时，也要学会总结，用数学的规律来分析问题，用数学的语言来表达问题。
作业跟踪，巩固拓展
课后作业（1——6只列式，7——10列式求解）A类（完成了你会更扎实）1.抛物线y=ax?+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式2.抛物线y=ax?+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．3.抛物线y=ax?+bx+c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．(要求用多种方法)4.抛物线过点（-1，-8），它的对称轴是直线x=-2，且在x轴上截得线段的长度为6，求抛物线解析式．5.已知二次函数的图像过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数图象的顶点坐标．6.已知二次函数y=ax?+bx+c的图象过点A(-1，0)，且经过直线y=2x-4与坐标轴的两交点，求这个二次函数的表达式。7.二次函数y=ax?+bx+c，当x＜6时y随x的增大而减小，x＞6时，y随x的增大而增大，其最小值为-12，其图像与x轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。8.已知二次函数y=ax?+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。B类（加油！你会更聪明）9.已知二次函数y=x?+2（n+3）x+16的顶点在坐标轴上，求该二次函数表达式。10.已知抛物线y=ax?+bx+c的顶点坐标为P（2,-1），图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的面积为6，求该抛物线所对应函数的解析式。
学生根据课堂所学知识灵活解题，课后完成。B类为选做题，用以提升学生能力，学生可根据情况自主选择完成。
全面巩固新知。梯度作业用以满足不同层次学生的需要。B类作业用以提升能力，拓展知识面，培养学生的发散思维和创新能力，激发学生勇于探索的热情。
九、板书设计：
确定二次函数的表达式（第2课时）
(一)二次函数解析式的三种表达形式
1、一般式：y=ax2+bx+c
2、顶点式：y=a(x-h)2+k
3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
（二）求解二次函数的一般方法：
待定系数法
（三）求解二次函数的一般过程：1、设
2、列
3、解
4、答
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种比较简单的函数表达式
。
联系实际，能力提升
合作探究，运用一般式、顶点式、交点式方程求解二次函数
复习旧知，引入新课
检测升华，新知内化
条理总结，深化思想
跟踪练习，巩固提高
一题多解，灵活应用用
作业跟踪，巩固拓展