鲁教版（五四制）九上3.6.2 二次函数的应用——求最大面积 教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）九上3.6.2 二次函数的应用——求最大面积 教案（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 90.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-01 17:43:15 | ||
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文档简介
6.2《二次函数的应用》(二)
一、教材分析?
二次函数的应用是九年级下册数学中的重要教学内容，它从具体问题入手，以实际问题为背景，通过实例巩固学生所学的知识。让学生通过现实生活中的一些问题，充分感受到应用性问题的重要性。
本节将通过学生自主探究活动、师生共同研讨体验将生活中的实际问题转化为数学问题的过程。能够将一些生活实际问题转化为数学问题，建立较为优化的二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数的关系式和图像的特点，确定二次函数的最值，从而解决实际问题。
二、学情分析?
本章内容是初中阶段最难的部分，抽象性很强，学生学习中难免会遇到困难，教师应当设置适当的引导性问题，以便使学生能够进入到二次函数的探索阶段，使他们将知识真正内化。
三、教学目标?
（一）知识与技能
1、能够将一些较简单的生活实际问题转化为数学问题，建立较为优化的二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数的关系式和图像的特点，确定二次函数的最值，从而解决实际问题。
2、进一步理解二次函数
图像的顶点坐标与函数最值的关系，并明确当a<0时函数取得最大值，当a>0时，函数取得最小值。
（二）过程与方法
1、经历将实际问题转化为函数问题的过程，了解“未知”转化成“已知”的数学思想，提高分析问题和解决问题的能力和严谨细致的学习习惯。
2、体会函数的思想方法和数形结合的思想方法。
(三)情感态度与价值观
1、通过对实际问题中最值问题的探究，认识到二次函数是刻画和解决实际问题的重要工具。
2、积极参加数学活动，发展解决问题的能力，增进数学交流能力，体会数学的应用价值，从而增强学好数学的信心，体验成功的乐趣。
四、教法与学法
教法：引探式教学法
学法：小组合作，自主探究
五、教学过程设计
教学程序
教师活动
教学内容
学生活动
设计意图
预设时间
一一、创设情境，导入新课
教师大屏幕出示《爸爸的难题》出示问题1：引导学生感受现实中处处都有数学问题。2：指出李洋运用了二次函数的知识解决了爸爸的难题，从而导入新课。教师板书课题6.2二次函数的应用(2)
服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件。
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获得最大利润？
通过生活中的实际问题引入新课，激发了学生探究学习的热情，并引导学生本节课需要二次函数的数学模型。
用学生感兴趣的情境导入，激发学生学习兴趣，渲染课堂气氛，实现师生互动，加深师生感情。
1分钟
二、基础扫描
一级台阶：口答1，2两个较简单的填空题二级台阶：笔答第3题回顾练习求二次函数最值的方法，为本节课做准备。三级台阶：根据图像回答问题。为本节课的重难点做铺垫。
1、二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是
，顶点坐标是
。当x=
时，y的最
值是
。2.
二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是
，顶点坐标是
。当x=
时，函数有最
值，是
。3.二次函数
y=-50x2
-1000x+15000
的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，函数有最
值，是
。（写出你的运算过程）4、根据如图所示的二次函数的图像填空
学生回答，计算，思考，将旧知识得以巩固加深，为本节课顺利完成任务做好准备。1)若-1≤x≤2，该函数的最大值是
，最小值是
；2)若-2≤x≤0，该函数的最大值是
，最小值是
；
本环节的设计起的承上启下的作用，在复习旧知的同时，为接下来的新课做好准备和铺垫。
8分钟
三、自主探究，合作交流
多媒体出示课本引例，教师适当地把问题拆分成几个小问题，帮助学生理清思路，化解难度，在学生独立阅读思考的基础上，请几名学生汇报每题的答案。问题5难度较大，设计小组讨论环节，让学生代表讲解小组的讨论结果，教师板书做题过程：设下降x个0.1元，所获利润为y元，则：y=(13-0.1x-10)(5000+500x)=-50(x-10)2+20000因为x≥0,13-0.1x≥0,所以0≤x≤130因为a<0.所以当x=10时，y最大=20000即批发价是12元时，可以获得最大利润。
探究引例：让学生自主阅读并思考屏幕出示的问题，问题1、单件T恤的利润是多少？利润
=
售价
-
成本
2、
此时厂家获得的总利润是多少？总利润
=
单件利润×数量3、降价0.1元后，单件T恤的利润是多少？销售量是多少？所获利润增加了吗4、降价0.2元后，单件T恤的利润是多少？销售量是多少？所获利润呢？5、降价x个0.1元后，单件T恤的利润是多少？销售量是多少？所获利润怎么表示呢？你能确定它的最大值吗？教师追问:厂家能无限降价吗？X的取值有什么限制呢？问题6：本题还可以怎样设未知量？你有其它的解法吗？独立思考后组内交流
学生独立思考并回答每个问题。小组交流问题5的思路及方法。学生解答后说明自己是用什么数学知识解决这个问题的，初步体会二次函数是解决最优化问题的一种方法。学生代表分析讲解思路，交流不同的解法。用投影展示比较上述两种方法，你能发现什么？从相同点，不同点，哪种方法更为简便等方面来说。
教科书上的这个情景问题有一定的难度，教师利用问题拆分，尽可能使学生的探索有章可循，给出引导之后，放手让学生思考，讨论，得出对各个问题的合理解释，从而解决整个问题。使学生感受到何时取得最大利润就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值的问题。
10-15分钟
引导学生深度探索利用图像和二次函数的增减性求最大利润强调数形结合的数学思想方法。
根据上面的数据，用描点的方法画出图像，观察思考：在批发价下降的过程中，利润先是不断增大，达到最大值后又不断降低，批发价为10元时利润值降为0.显示图像，动画。
继续提出问题：如果批发量不能低于15000件，则批发价定为多少时可以获得最大利润？70000-5000x≥15000X≤11在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，所以当批发价为11元时，可以获得最大利润。
通过这个问题让学生对实际问题中的最值问题有进一步的体会，有时候要结合自变量的取值范围，结合函数图像的增减性来求最值。
5分钟
四、学以致用
出示课本例题，教师巡回辅导，针对学生练习中的问题，及时给予点拨。提醒学生考虑问题要全面。
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
学生先独立思考解决，一名学生代表板演，而后小组交流，代表分析、讲解思路及要注意的问题。有问题及时引导学生发现并补充。小组互批、互议、互改。
问题贴近生活，增强数学的趣味性，生活化。放手让学生独立思考，自主探究交流，让学生讲解。真正把课堂还给学生，创设和谐高效课堂。
8-12分钟
五、拓展延伸
还记得本章一开始的“种多少橙子树问题”吗？引导学生通过描点画图像，并会观察图像解答问题。当X为何值时，y取最大值？最大值是多少？利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系结合函数图象，增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，根据经验，每多种一棵树，平均每棵树就少结5个橙子。增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量最多？我们已经得到表示增种橙子树的数量x（棵）与总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+6000
学生先独立思考，计算，描点，画图像，组内交流，展示答案。1、配方得：y=-5(x-10)2+60500当x=10时，y最大=60500先描顶点（10，60500）再描两个特殊点（5，60375）（15，60375）当X＜10时，橙子的总产量随着增种橙子树的增加而增加，当x＞10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小由图像可知，增种6、7、8、9、10、11、12、13、14棵，都可以使橙子总产量在60400以上。
运用求二次函数最大值的方法解决橙子最大产量问题，验证本章第一节所提出猜想的正确性。利用图像，可以使问题形象化，直观化，进一步强化了数形结合的思想方法的重要性。
5分钟
六、小结反思，梳理收获
听取学生总结本节的收获。教师做适当的点评和补充。1、根据实际问题，构建二次函数模型2、运用二次函数及其性质求函数最值1、建模思想：根据题意构造二次函数2、数形结合思想：根据图象特征来解决问题
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤
：求出二次函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内
学生精心梳理自己的收获，跟随老师进行有效性的总结、回顾，争先交流自己的收获。
通过知识总结，使学生这节课所学的知识系统化，感性认识上升为理性认识。
3分钟
七、课后作业
布置后续学习要求。作业分必做与选做以满足不同层次学生的需要。
课后作业：必做：习题：1、2选做：3．
学生可根据自己的能力有选择地完成。
巩固课堂知识，提高知识运用的熟练程度。
五、板书设计：
6.2二次函数的应用（二）
实际问题-----建立模型-----二次函数最值问题
解：设下降x个0.1元，所获利润为y元，则：
y=(13-0.1x-10)(5000+500x)
=-50(x-10)2+20000
因为x≥0,13-0.1x≥0,所以0≤x≤130
因为a<0.所以当x=10时，y最大=20000
即批发价是12元时，可以获得最大利润。
六、教后反思
1、以生活实例激发学生兴趣。
本着“数学源于生活，又服务于生活”的宗旨，本节课从情境创设到例题、习题，作业的设计，都是与生活息息相关的问题，使学生有亲近感，极大的调动了学生的学习兴趣，提高了课堂效率。
2、放手给学生提供展示平台。
在本节课中我让学生通过自主探究、小组合作交流完成一系列学习活动。在问题解决中学生自由走上讲台展示自己的聪明见解，不仅体现民主课堂气氛，培养了学生的能力，同时也利于了解学生的认知情况及思维误区，以便及时加以引导、启发和激励。
3、一题多解，变式练习。
在例题教学中鼓励学生用多种方法求解，启发、引导学生寻找这一类问题的规律性解法，反思、升华自己的理解，达到举一反三的效果，并适时渗透转化、建模，数形结合等数学思想，培养学生运用数学思想的能力且使学生养成反思的习惯。
一、教材分析?
二次函数的应用是九年级下册数学中的重要教学内容，它从具体问题入手，以实际问题为背景，通过实例巩固学生所学的知识。让学生通过现实生活中的一些问题，充分感受到应用性问题的重要性。
本节将通过学生自主探究活动、师生共同研讨体验将生活中的实际问题转化为数学问题的过程。能够将一些生活实际问题转化为数学问题，建立较为优化的二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数的关系式和图像的特点，确定二次函数的最值，从而解决实际问题。
二、学情分析?
本章内容是初中阶段最难的部分，抽象性很强，学生学习中难免会遇到困难，教师应当设置适当的引导性问题，以便使学生能够进入到二次函数的探索阶段，使他们将知识真正内化。
三、教学目标?
（一）知识与技能
1、能够将一些较简单的生活实际问题转化为数学问题，建立较为优化的二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数的关系式和图像的特点，确定二次函数的最值，从而解决实际问题。
2、进一步理解二次函数
图像的顶点坐标与函数最值的关系，并明确当a<0时函数取得最大值，当a>0时，函数取得最小值。
（二）过程与方法
1、经历将实际问题转化为函数问题的过程，了解“未知”转化成“已知”的数学思想，提高分析问题和解决问题的能力和严谨细致的学习习惯。
2、体会函数的思想方法和数形结合的思想方法。
(三)情感态度与价值观
1、通过对实际问题中最值问题的探究，认识到二次函数是刻画和解决实际问题的重要工具。
2、积极参加数学活动，发展解决问题的能力，增进数学交流能力，体会数学的应用价值，从而增强学好数学的信心，体验成功的乐趣。
四、教法与学法
教法：引探式教学法
学法：小组合作，自主探究
五、教学过程设计
教学程序
教师活动
教学内容
学生活动
设计意图
预设时间
一一、创设情境，导入新课
教师大屏幕出示《爸爸的难题》出示问题1：引导学生感受现实中处处都有数学问题。2：指出李洋运用了二次函数的知识解决了爸爸的难题，从而导入新课。教师板书课题6.2二次函数的应用(2)
服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件。
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获得最大利润？
通过生活中的实际问题引入新课，激发了学生探究学习的热情，并引导学生本节课需要二次函数的数学模型。
用学生感兴趣的情境导入，激发学生学习兴趣，渲染课堂气氛，实现师生互动，加深师生感情。
1分钟
二、基础扫描
一级台阶：口答1，2两个较简单的填空题二级台阶：笔答第3题回顾练习求二次函数最值的方法，为本节课做准备。三级台阶：根据图像回答问题。为本节课的重难点做铺垫。
1、二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是
，顶点坐标是
。当x=
时，y的最
值是
。2.
二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是
，顶点坐标是
。当x=
时，函数有最
值，是
。3.二次函数
y=-50x2
-1000x+15000
的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，函数有最
值，是
。（写出你的运算过程）4、根据如图所示的二次函数的图像填空
学生回答，计算，思考，将旧知识得以巩固加深，为本节课顺利完成任务做好准备。1)若-1≤x≤2，该函数的最大值是
，最小值是
；2)若-2≤x≤0，该函数的最大值是
，最小值是
；
本环节的设计起的承上启下的作用，在复习旧知的同时，为接下来的新课做好准备和铺垫。
8分钟
三、自主探究，合作交流
多媒体出示课本引例，教师适当地把问题拆分成几个小问题，帮助学生理清思路，化解难度，在学生独立阅读思考的基础上，请几名学生汇报每题的答案。问题5难度较大，设计小组讨论环节，让学生代表讲解小组的讨论结果，教师板书做题过程：设下降x个0.1元，所获利润为y元，则：y=(13-0.1x-10)(5000+500x)=-50(x-10)2+20000因为x≥0,13-0.1x≥0,所以0≤x≤130因为a<0.所以当x=10时，y最大=20000即批发价是12元时，可以获得最大利润。
探究引例：让学生自主阅读并思考屏幕出示的问题，问题1、单件T恤的利润是多少？利润
=
售价
-
成本
2、
此时厂家获得的总利润是多少？总利润
=
单件利润×数量3、降价0.1元后，单件T恤的利润是多少？销售量是多少？所获利润增加了吗4、降价0.2元后，单件T恤的利润是多少？销售量是多少？所获利润呢？5、降价x个0.1元后，单件T恤的利润是多少？销售量是多少？所获利润怎么表示呢？你能确定它的最大值吗？教师追问:厂家能无限降价吗？X的取值有什么限制呢？问题6：本题还可以怎样设未知量？你有其它的解法吗？独立思考后组内交流
学生独立思考并回答每个问题。小组交流问题5的思路及方法。学生解答后说明自己是用什么数学知识解决这个问题的，初步体会二次函数是解决最优化问题的一种方法。学生代表分析讲解思路，交流不同的解法。用投影展示比较上述两种方法，你能发现什么？从相同点，不同点，哪种方法更为简便等方面来说。
教科书上的这个情景问题有一定的难度，教师利用问题拆分，尽可能使学生的探索有章可循，给出引导之后，放手让学生思考，讨论，得出对各个问题的合理解释，从而解决整个问题。使学生感受到何时取得最大利润就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值的问题。
10-15分钟
引导学生深度探索利用图像和二次函数的增减性求最大利润强调数形结合的数学思想方法。
根据上面的数据，用描点的方法画出图像，观察思考：在批发价下降的过程中，利润先是不断增大，达到最大值后又不断降低，批发价为10元时利润值降为0.显示图像，动画。
继续提出问题：如果批发量不能低于15000件，则批发价定为多少时可以获得最大利润？70000-5000x≥15000X≤11在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，所以当批发价为11元时，可以获得最大利润。
通过这个问题让学生对实际问题中的最值问题有进一步的体会，有时候要结合自变量的取值范围，结合函数图像的增减性来求最值。
5分钟
四、学以致用
出示课本例题，教师巡回辅导，针对学生练习中的问题，及时给予点拨。提醒学生考虑问题要全面。
某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
学生先独立思考解决，一名学生代表板演，而后小组交流，代表分析、讲解思路及要注意的问题。有问题及时引导学生发现并补充。小组互批、互议、互改。
问题贴近生活，增强数学的趣味性，生活化。放手让学生独立思考，自主探究交流，让学生讲解。真正把课堂还给学生，创设和谐高效课堂。
8-12分钟
五、拓展延伸
还记得本章一开始的“种多少橙子树问题”吗？引导学生通过描点画图像，并会观察图像解答问题。当X为何值时，y取最大值？最大值是多少？利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵树之间的关系结合函数图象，增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，根据经验，每多种一棵树，平均每棵树就少结5个橙子。增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量最多？我们已经得到表示增种橙子树的数量x（棵）与总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+6000
学生先独立思考，计算，描点，画图像，组内交流，展示答案。1、配方得：y=-5(x-10)2+60500当x=10时，y最大=60500先描顶点（10，60500）再描两个特殊点（5，60375）（15，60375）当X＜10时，橙子的总产量随着增种橙子树的增加而增加，当x＞10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小由图像可知，增种6、7、8、9、10、11、12、13、14棵，都可以使橙子总产量在60400以上。
运用求二次函数最大值的方法解决橙子最大产量问题，验证本章第一节所提出猜想的正确性。利用图像，可以使问题形象化，直观化，进一步强化了数形结合的思想方法的重要性。
5分钟
六、小结反思，梳理收获
听取学生总结本节的收获。教师做适当的点评和补充。1、根据实际问题，构建二次函数模型2、运用二次函数及其性质求函数最值1、建模思想：根据题意构造二次函数2、数形结合思想：根据图象特征来解决问题
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤
：求出二次函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内
学生精心梳理自己的收获，跟随老师进行有效性的总结、回顾，争先交流自己的收获。
通过知识总结，使学生这节课所学的知识系统化，感性认识上升为理性认识。
3分钟
七、课后作业
布置后续学习要求。作业分必做与选做以满足不同层次学生的需要。
课后作业：必做：习题：1、2选做：3．
学生可根据自己的能力有选择地完成。
巩固课堂知识，提高知识运用的熟练程度。
五、板书设计：
6.2二次函数的应用（二）
实际问题-----建立模型-----二次函数最值问题
解：设下降x个0.1元，所获利润为y元，则：
y=(13-0.1x-10)(5000+500x)
=-50(x-10)2+20000
因为x≥0,13-0.1x≥0,所以0≤x≤130
因为a<0.所以当x=10时，y最大=20000
即批发价是12元时，可以获得最大利润。
六、教后反思
1、以生活实例激发学生兴趣。
本着“数学源于生活，又服务于生活”的宗旨，本节课从情境创设到例题、习题，作业的设计，都是与生活息息相关的问题，使学生有亲近感，极大的调动了学生的学习兴趣，提高了课堂效率。
2、放手给学生提供展示平台。
在本节课中我让学生通过自主探究、小组合作交流完成一系列学习活动。在问题解决中学生自由走上讲台展示自己的聪明见解，不仅体现民主课堂气氛，培养了学生的能力，同时也利于了解学生的认知情况及思维误区，以便及时加以引导、启发和激励。
3、一题多解，变式练习。
在例题教学中鼓励学生用多种方法求解，启发、引导学生寻找这一类问题的规律性解法，反思、升华自己的理解，达到举一反三的效果，并适时渗透转化、建模，数形结合等数学思想，培养学生运用数学思想的能力且使学生养成反思的习惯。