鲁教版（五四制）九上3.7.2二次函数与一元二次方程 教案

二次函数与一元二次方程的关系2教学设计
一、教学目标
知识与技能：
1、能够利用二次函数y=ax2+bx+c的图象估算一元二次方程ax2+bx+c=0的的近似根。
2、
理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线
y=h
(h是实数)
交点的横坐标并估算方程的根。
过程与方法：
1、用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。让学生了解求解方程的思路，进一步发展估算能力，体会“近似逼近”和“数形结合”的思想。
情感态度与价值观：
1、培养良好的合作意识，体会探究的乐趣，学会用辩证的观点看问题。
二、教学重难点
教学重点：掌握利用数形结合的思想和逼近的方法求一元二次方程的近似解.
教学难点：用逼近法求一元二次方程的近似解.
三、教学过程：
1、仔细观看，大胆联想
教师提问：如何判断
位于哪两个整数之间？更靠近哪个整数？（观看视频）
设计意图：通过加入视频教学，激发学生学习的兴趣，体会算数平方根中的逼近思想，为本节课的学习做好铺垫。
2、温故而知新：
问题：请同学回忆二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系。
设计意图：既作为对上节课知识内容的复习，考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确，又为引入本节新课作好了铺垫。
3、合作交流，探索新知
问题：利用二次函数y=x2+2x-10的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？(本书规定：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位)
设计意图：在带领学生回顾二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根的原理之后，引导学生明确了除应用求根公式计算二次方程的根之外，还可以利用画二次函数图象与x轴的交点求二次方程的根。起初学生不明白为什么能用求根公式很快计算出
根来，偏偏还要用画图的方法。教师向同学们解释，用求根公式求解是
体现数形结合思想中“数”的一面，现在利用“形”的一面来解题。于
是学生便饶有兴趣的思考下去了。
师生共同分析：由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与
-4之间,另一个在2与3之间。
教师提出问题：“如何更准确的估计出根的取值？如果精确到十分位，那么到底近似值取-4.1、-4.2、-4.3、-4.4、-4.5、-4.6、-4.7、-4.8、-4.9中的哪一个更准确呢？如何更快的得出答案？（此处教师演示计算器的使用方法）
设计意图：同学快速联想到算数平方根中的二分法，首先取-4.5，此处引入计算器的使用方法，与中考要求接轨，使同学们熟练应用计算器解决问题，由于其对应的函数值大于0，所以结合图像需要接着计算-4.4，-4.3，-4.2，-4.1.
x
-4.5
-4.4
-4.3
-4.2
-4.1
y=x2+2x-10
1.25
0.56
-0.11
-0.76
-1.39
教师提出问题：一元二次方程x2+2x-10=0的根介于哪两个数值之间？取哪一个值作为方程的近似根？是否需要一直计算到-4.1？（同学讨论得出结论）
∴X1≈-4.3是方程的一个近似根。
设计意图：通过教师的三个问题串，让同学们深入思考，明白逼近的思想，掌握计算的方法和过程。
4、小组合作，及时强化
练习：同学独立求出方程的另一个近似根。
X2
≈
2.3是方程的另一个近似根。
通过一元二次方程的求根公式验证得:
设计意图：通过求根公式的验证，使同学们发现用图象法解一元二次方程的可行性。
5、规范步骤，归纳小结
利用函数图象求方程近似根的步骤
1）、画出相应函数的图像
2）、根据图像确定根的整数位
3）、利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根
设计意图：小组讨论，得出结论，深化理解。
6、习题变形，拓广探究
问题：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.你有几种方案？（小组合作）
①利用二次函数y=x2+2x-13的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根。
设计意图：把方程x2+2x-10=3转化成了x2+2x-13=0，这样问题就转化成前面已经解决了的问题。向同学强调了数学学习中“化陌生为熟悉、化繁为简”的化归思想的重要性。
②利用二次函数y=x2+2x-10的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(1)作二次函数y=x2+2x-10的图象与直线y=3；
(2)
观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；
(3)
确定方程x2+2x-10=3的解；
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7
设计意图：巩固学生理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c
与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标这一代数原理，提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力。估算近似根时对应的函数值都在3的左右而不是0时教师适时提问，使同学深入理解。教学中组织学生在学习小组内合作、分工来完成，借此培养学生合作意识。
7、运用新知
利用二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的图象，求一元二次方程2x2=x+2
的近似根。（学生合作完成）
设计意图：考察同学们是否理解了用图象法求方程根的方法，能否准确的利用图象探求方程根的近似值，观察他们能否利用化归思想把复杂问题转化成简单问题。
8、中考链接
根据下列表格的对应值:
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c=0
(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是(
)
A
3<
X
<3.23
B
3.23<
X
<3.24
C
3.24<
X
<3.25
D
3.25<
X
<3.26
设计意图：链接中考考点，与中考接轨，激发学生学习兴趣。
9、课堂小结
说说你的收获，还有什么疑问？
⑴、一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h（h是实数）交点的横坐标
或是二次函数y=ax2+bx+c-h图象与x轴交点的横坐标。
⑵、体会数形结合、近似逼近的思想
设计意图：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，通过学生的发言，观察他们是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c
与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标，是否掌握了用图象法来探求方程根的方法。使同学们意识到研究函数问题时，应该用数形结合思想从两方面来考虑问题，有时从“数”的一面研究比较方便，有时从“形”的一面研究问题会更简洁些。
10、作业布置
必做：课本习题3.16
选做：你能估算出方程x4-x3+2x-1=0的实数解吗？
设计意图：巩固本节所学内容，通过选做习题
激发学生学习数学的兴趣。