初中数学湘教版八年级上册5.1二次根式 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·綦江期末）要使二次根式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≥﹣1
2．（2021八下·重庆期末）下列各式中，一定是二次根式（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八下·江干期末）下列计算中正确的是（ ）
A．（﹣ ）2＝﹣3 B． ＝0.1
C． ＝1 D．3 ＝
4．（2021八下·长兴期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八下·定南期末）下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八下·龙口期中）把a 根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．（2021八下·凤山期末）已知实数 ， 满足 ，则 的值是（ ）
A．1 B．4 C．5 D．9
二、填空题
8．（2021八下·綦江期末）计算 的结果是 ．
9．（2021八下·海州期末）已知 ，化简 .
10．（2021八下·鄞州期末）二次根式 中字母x的取值范围是_ 。
11．（2021八下·相城期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 .
12．（2021八下·召陵期末）化简： .
13．（2021八下·澄海期末）若 ，则 的取值范围是 ．
三、计算题
14．（2021八下·白云期末）化简： （ ， ）．
15．（2021八下·仙居期末）计算： ﹣ + × ．
四、解答题
16．（2020八上·鄄城月考）已知 实数在数轴上的对应点如图所示，化简
17．（2020八上·皇姑月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得 + ＝m， ＝ ，那么便有：
＝ ＝ ± （a＞b）.
例如：化简 .
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即 + ＝7， × ＝
∴ ＝ ＝ ＝2+ .
由上述例题的方法化简： .
18．（2020八下·临江期末）若 ，试求a2013b2014的值．
19．（估算无理数的大小+++++++++++ ）化简：﹣a 化成最简二次根式．
五、综合题
20．（2020八上·昌黎期中）大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，1＜ ＜2，于是可用 来表示 的小数部分．请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值．
21．（2019八上·惠来期中）先化简，再求值： ，其中 ．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）化简： ；
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
22．（2020八上·常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ， ，使得 ， ，那么便有：
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ，由于 ，即： ， ，
所以 。
问题：
（1）填空： = ， = ；
（2）化简： （请写出计算过程）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2x﹣2≥0，
解得：x≥1，
故选：A．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式求解即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的定义；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】-3＜0， 无意义，故A选项不是二次根式，
当a＜0时， 无意义，故B选项不一定是二次根式，
是三次根式，故C选项不是二次根式，
≥1， 一定是二次根式，
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数数大于等于0，其根指数为2，据此分别判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. （﹣ ）2＝3，故该选项错误；
B. ＝ ，故该选项错误；
C. ＝ ，故该选项错误；
D. 3 ＝ ，故该选项正确，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质，对各选项进行化简，可得到正确结论的选项.
4．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、，它不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，它不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用最简二次根式的条件：被开方数中不能含有分数或分式；被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式，两个条件缺一不可，再对各选项逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A． ，不符合题意．
B． ，不符合题意．
C． ，符合题意．
D． ，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质和算术平方根的定义逐项化简可得答案。
6．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式的意义，被开方数，所以a，所以a =，所以把a 根号外的因式移到根号内，化简的结果是 ，故答案为：D．
【分析】此题考查二次根式的意义以及二次根式的化简运算.
7．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵
∴5-x≥0，5-x≤0，
∴5-x=0，
解得x=5，
∴y=4，
∴|y-x|=|4-5|=1.
故答案为：A.
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而即可求解.
8．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的性质化简即可.
9．【答案】x-2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：x-2.
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可.
10．【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵x-5≥0，
∴x≥5，
故答案为：x≥5.
【分析】二次根式有意义的条件是大于等于0，据此列不等式求解即可.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，再解不等式即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ ＞0，
∴ a＜0，
∴原式＝ ，
故填： .
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a＜0，然后根据二次根式的性质化简.
13．【答案】a≥1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
故答案为：a≥1
【分析】利用二次根式的性质化简求解即可。
14．【答案】解：原式=
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】利用二次根式的性质化简即可。
15．【答案】解：原式=
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并即可求解.
16．【答案】解：∴原式=－a+a－b+c－a+c－b=－a－2b+2c
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质，化简式子得到答案即可。
17．【答案】解： ＝ ，这里m＝15，n＝56，
由于8+7＝15，8×7＝56，
∴ + ＝15， × ＝ ，
∴
＝
＝
＝ ﹣
＝2 ﹣ .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先将原式变形，再由15＝8+7， ＝ × ，仿照阅读材料中的方法计算即可.
18．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】根据二次根式的性质及非负性求出a、b的值，然后代入计算即可.
19．【答案】解：﹣a 化成最简二次根式为 ，
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
20．【答案】（1）5； ﹣5
（2）解：由题意可知：a＝ ﹣3，b＝5，
所以原式＝ ﹣3+5﹣ ＝2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据题意，即可得到所处的范围，即5=＜＜=6，即可表示出整数部分以及小数部分；
（2）根据题意，即可得到a以及b的值，计算得到代数式的答案即可。
21．【答案】（1）小亮
（2）
（3）∵ ，
∴ ，
则原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴1-a=-1006＜0，
∴ =
=2×1007-1
=2013.
∴小亮的解法是错误的；（2）
【分析】（1）由a=1007知1-a=-1006＜0，从而由 =|1-a|=a-1可得答案；（2）根据二次根式的性质 =|a|可得答案；（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
22．【答案】（1）；
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）
；
【分析】由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对 的形式化简后就可以得出结论了．
1 / 1初中数学湘教版八年级上册5.1二次根式 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·綦江期末）要使二次根式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≥﹣1
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，2x﹣2≥0，
解得：x≥1，
故选：A．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式求解即可.
2．（2021八下·重庆期末）下列各式中，一定是二次根式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的定义；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】-3＜0， 无意义，故A选项不是二次根式，
当a＜0时， 无意义，故B选项不一定是二次根式，
是三次根式，故C选项不是二次根式，
≥1， 一定是二次根式，
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数数大于等于0，其根指数为2，据此分别判断即可.
3．（2021八下·江干期末）下列计算中正确的是（ ）
A．（﹣ ）2＝﹣3 B． ＝0.1
C． ＝1 D．3 ＝
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. （﹣ ）2＝3，故该选项错误；
B. ＝ ，故该选项错误；
C. ＝ ，故该选项错误；
D. 3 ＝ ，故该选项正确，
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质，对各选项进行化简，可得到正确结论的选项.
4．（2021八下·长兴期中）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、，它不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，它不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用最简二次根式的条件：被开方数中不能含有分数或分式；被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式，两个条件缺一不可，再对各选项逐一判断即可.
5．（2021八下·定南期末）下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A． ，不符合题意．
B． ，不符合题意．
C． ，符合题意．
D． ，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质和算术平方根的定义逐项化简可得答案。
6．（2021八下·龙口期中）把a 根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式的意义，被开方数，所以a，所以a =，所以把a 根号外的因式移到根号内，化简的结果是 ，故答案为：D．
【分析】此题考查二次根式的意义以及二次根式的化简运算.
7．（2021八下·凤山期末）已知实数 ， 满足 ，则 的值是（ ）
A．1 B．4 C．5 D．9
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵
∴5-x≥0，5-x≤0，
∴5-x=0，
解得x=5，
∴y=4，
∴|y-x|=|4-5|=1.
故答案为：A.
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而即可求解.
二、填空题
8．（2021八下·綦江期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的性质化简即可.
9．（2021八下·海州期末）已知 ，化简 .
【答案】x-2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为：x-2.
【分析】根据二次根式的性质进行解答即可.
10．（2021八下·鄞州期末）二次根式 中字母x的取值范围是_ 。
【答案】x≥5
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵x-5≥0，
∴x≥5，
故答案为：x≥5.
【分析】二次根式有意义的条件是大于等于0，据此列不等式求解即可.
11．（2021八下·相城期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 .
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，再解不等式即可.
12．（2021八下·召陵期末）化简： .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ ＞0，
∴ a＜0，
∴原式＝ ，
故填： .
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a＜0，然后根据二次根式的性质化简.
13．（2021八下·澄海期末）若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】a≥1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
故答案为：a≥1
【分析】利用二次根式的性质化简求解即可。
三、计算题
14．（2021八下·白云期末）化简： （ ， ）．
【答案】解：原式=
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】利用二次根式的性质化简即可。
15．（2021八下·仙居期末）计算： ﹣ + × ．
【答案】解：原式=
=
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并即可求解.
四、解答题
16．（2020八上·鄄城月考）已知 实数在数轴上的对应点如图所示，化简
【答案】解：∴原式=－a+a－b+c－a+c－b=－a－2b+2c
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值的性质，化简式子得到答案即可。
17．（2020八上·皇姑月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得 + ＝m， ＝ ，那么便有：
＝ ＝ ± （a＞b）.
例如：化简 .
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即 + ＝7， × ＝
∴ ＝ ＝ ＝2+ .
由上述例题的方法化简： .
【答案】解： ＝ ，这里m＝15，n＝56，
由于8+7＝15，8×7＝56，
∴ + ＝15， × ＝ ，
∴
＝
＝
＝ ﹣
＝2 ﹣ .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】先将原式变形，再由15＝8+7， ＝ × ，仿照阅读材料中的方法计算即可.
18．（2020八下·临江期末）若 ，试求a2013b2014的值．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】根据二次根式的性质及非负性求出a、b的值，然后代入计算即可.
19．（估算无理数的大小+++++++++++ ）化简：﹣a 化成最简二次根式．
【答案】解：﹣a 化成最简二次根式为 ，
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
五、综合题
20．（2020八上·昌黎期中）大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，1＜ ＜2，于是可用 来表示 的小数部分．请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求a+b﹣ 的值．
【答案】（1）5； ﹣5
（2）解：由题意可知：a＝ ﹣3，b＝5，
所以原式＝ ﹣3+5﹣ ＝2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据题意，即可得到所处的范围，即5=＜＜=6，即可表示出整数部分以及小数部分；
（2）根据题意，即可得到a以及b的值，计算得到代数式的答案即可。
21．（2019八上·惠来期中）先化简，再求值： ，其中 ．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）化简： ；
（3）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）小亮
（2）
（3）∵ ，
∴ ，
则原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）∵ ，
∴1-a=-1006＜0，
∴ =
=2×1007-1
=2013.
∴小亮的解法是错误的；（2）
【分析】（1）由a=1007知1-a=-1006＜0，从而由 =|1-a|=a-1可得答案；（2）根据二次根式的性质 =|a|可得答案；（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
22．（2020八上·常德期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ， ，使得 ， ，那么便有：
例如：化简
解：首先把 化为 ，这里 ，由于 ，即： ， ，
所以 。
问题：
（1）填空： = ， = ；
（2）化简： （请写出计算过程）
【答案】（1）；
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）
；
【分析】由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对 的形式化简后就可以得出结论了．
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