初中数学湘教版八年级上册第五章 二次根式 单元测试
一、单选题
1．（2021八下·拱墅期末）二次根式 中字母a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1
2．（2021八下·鼓楼期末）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八下·海州期末）化简 得（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八下·北仑期末）下列计算正确的是（ ）
A． + ＝ B．2 ﹣ ＝2
C． × ＝ D． ÷ ＝4
5．（2021八下·鄞州期中）若 ＝3﹣x成立，则x满足的条件是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
6．（2020八上·永年期末）若 ，则m、n满足的条件是（ ）．
A． B． ，
C． ， D． ，
7．（2020八上·永年期末）若 化成最简二次根式后，能与 合并，则 的值不可以是（ ）
A． B．8 C．18 D．28
8．（2020八上·福田期末）设 为正整数，且 ，则 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2020八上·金乡期末）设 ， ，则a、b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020八上·社旗月考）设 为实数，且 ，则 的值是（ ）
A．1 B．9 C．4 D．5
二、填空题
11．（2021八下·北京期末）若二次根式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（2021八下·鼓楼期末）计算 的结果是 .
13．（2021八下·新罗期末）长方形的宽是 ，面积为 ，则长方形的长为
14．（2021八下·建华期末）计算 = ．
15．（2021八下·澄海期末）计算 的结果是 ．
16．如果（x﹣ ）（y﹣ ）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007= ．
三、计算题
17．（2017八上·深圳期中）计算
（1）
（2）
（3） -
18．（2019八上·宝安期中）计算题
（1）3 - -
（2）
（3）（ ）2+
（4）（ ）2+（ ）-1+| -2|-
四、解答题
19．（2017八下·苏州期中）已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
20．（2017八下·椒江期末）已知 ，求 的值.
21．
（1）要使 在实数范围内有意义，求x的取值范围；
（2）实数x，y满足条件：y= + + ，求（x+y）100的值．
五、综合题
22．（2016八下·费县期中）计算
（1）（ + ）（ ﹣ ）﹣（ +3 ）2．
（2） ÷（﹣ ）﹣ × + ．
23．（2019八上·凤翔期中）阅读下列解题过程：
= = = -2；
= = .
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子 = ；
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子 = ；
（3）利用上面所提供的解法，请求 +···+ 的值.
24．解答下列问题：
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，a+1≥0，
解得a≥-1.
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A. ，所以不是最简二次根式，故A错误；
B. ，所以不是最简二次根式，故B错误；
C. ，所以不是最简二次根式，故C错误
故答案为：D.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此逐一判断即可.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 ，
故答案为：B.
【分析】将被开方数的分子与分母同乘以2，再利用二次根式的性质化简即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、2 - = ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 × = 正确，故此选项符合题意；
D、 ÷ =2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的加减法法则，可对A，B作出判断；利用二次根式的乘除法法则，可对C，D作出判断.
5．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ ＝|3﹣x|＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质即可求解.
6．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
7．【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】由题意得 与 是同类二次根式，
当a= 时， ，与 是同类二次根式，故该项不符合题意；
当a=8时， ，与 是同类二次根式，故该项不符合题意；
当a=18时， ，与 是同类二次根式，故该项不符合题意；
当a=28时， ，与 不是同类二次根式，故该项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意得到 与 是同类二次根式，将各选项数值代入 化简后判断与 是否为同类二次根式即可．
8．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意可知，＜＜
∴8＜＜9
∵n为正整数
∴n=8
故答案为：B.
【分析】根据题意，由二次根式的值，估算得到n的值即可。
9．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质化简，再判断大小即可。
10．【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据题意可得: 解得：
当 时，
故答案为：A.
【分析】由二次根式的非负性可得关于x的不等式组，解这个不等式组可求得x的值，把x的值代入等式计算可求得y的值，然后把x、y的值代入所求代数式计算即可求解.
11．【答案】x≥8
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵根式 有意义，
∴x-8≥0，
解得x≥8．
故答案为：x≥8．
【分析】先求出x-8≥0，再解不等式即可。
12．【答案】π-3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
故答案为：π-3.
【分析】根据（a≤0）进行解答即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵长方形的宽为 ，面积为 ，
∴长方形的长为： ÷ = ，
故答案为： .
【分析】根据长方形的面积公式结合二次根式的除法法则进行计算.
14．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得： ＞
＞ 且 ＞
故答案为：
【分析】利用二次根式的除法计算即可。
15．【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ；
故答案为：3．
【分析】利用二次根式的乘除计算即可。
16．【答案】1
【知识点】二次根式的应用；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：设a= ，b= ，则x2﹣a2=y2﹣b2=2008，
∴（x+a）（x﹣a）=（y+b）（y﹣b）=2008①
∵（x﹣a）（y﹣b）=2008②
∴由①②得
x+a=y﹣b，x﹣a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴ + =0，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008﹣2×2008+3（x﹣y）﹣2007=2008+3×0﹣2007=1．
故答案为：1
【分析】本题先通过设辅助未知数a、b，再代入已知式子对其变形，即可分别找到x与y、a与b的关系，从而利用算术平方根的非负性求出x、y的值，最后代入所求式子可得结果。
17．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
=4-5=-1
（3）解：原式=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是正确解题的关键.
18．【答案】（1）解：原式=9 -5 - =
（2）解：原式= + = +
（3）解：原式=6-4 +2+3 =8-
（4）解：原式=4+ +2- -2=4-
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据乘法的分配律即可运算；
（3）先利用完全平方公式，再合并计算即可；
（4）先根据算术平方根、负整数幂、绝对值的意义化简每项，再合并计算即可。
19．【答案】（1）解：
.
则x-y=，xy==
则x2 x y + y2=（x-y）2+xy=（）2+=3+1=4.
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】先对x，y进行分母有理化；再求出x-y和xy的值，将代数式进行变化，然后代入x-y和xy的值计算.
20．【答案】解：由二次根式有意义的条件可得
，解得 ，则x= .
当x= 时，y=3.
= .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】在y与x的关系中，由二次根式有意义的条件可解出x的值，从而得到y的值.先对 进行代简，再代入求值.
21．【答案】（1）解：∵负数没有算术平方根
∴1-2x≥0，x≤ ，
∴x的取值范围是：x≤
（2）解：根据题意有：
∴2x-1=0，x=
把
得：
∴
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）（2）都是根据二次根式成立的条件被开方数必须是非负数，列不等式（或组）解不等式（或组）即可得答案。
22．【答案】（1）解：原式=7﹣5﹣（3+ +18）
=2﹣21﹣6
=﹣19﹣6
（2）解：原式=﹣ ﹣ +2
=﹣4﹣ +2
=﹣4+
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差和完全平方公式计算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．
23．【答案】（1） =
（2） =
（3）解： +···+ = ﹣1+ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =10﹣1=9.
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1） = = ；（2） = =
【分析】（1）观察上面的化简过程，发现：分母中的两个被开方数正好相差是1，所以运用平方差公式分母有理化后，分母变成了1，分子就是和分母构成平方差公式的式子；（2）、（1）观察上面的化简过程，发现：分母中的两个被开方数正好相差是1，所以运用平方差公式分母有理化后，分母变成了1，分子就是和分母构成平方差公式的式子；（3）、根据（2）的结论，化简各个二次根式，发现抵消的规律，计算出最后结果.
24．【答案】（1）解答： ，
，
故 ＜
（2）解答： ，
，
故 ＜
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化
【解析】【分析】此题主要考查了通过二次根式的分母有理化进行分式的大小比较，这一方法是数学中常用的方法和思想
1 / 1初中数学湘教版八年级上册第五章 二次根式 单元测试
一、单选题
1．（2021八下·拱墅期末）二次根式 中字母a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，a+1≥0，
解得a≥-1.
故答案为：C.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
2．（2021八下·鼓楼期末）下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A. ，所以不是最简二次根式，故A错误；
B. ，所以不是最简二次根式，故B错误；
C. ，所以不是最简二次根式，故C错误
故答案为：D.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此逐一判断即可.
3．（2021八下·海州期末）化简 得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】 ，
故答案为：B.
【分析】将被开方数的分子与分母同乘以2，再利用二次根式的性质化简即可.
4．（2021八下·北仑期末）下列计算正确的是（ ）
A． + ＝ B．2 ﹣ ＝2
C． × ＝ D． ÷ ＝4
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
B、2 - = ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 × = 正确，故此选项符合题意；
D、 ÷ =2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的加减法法则，可对A，B作出判断；利用二次根式的乘除法法则，可对C，D作出判断.
5．（2021八下·鄞州期中）若 ＝3﹣x成立，则x满足的条件是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ ＝|3﹣x|＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质即可求解.
6．（2020八上·永年期末）若 ，则m、n满足的条件是（ ）．
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
7．（2020八上·永年期末）若 化成最简二次根式后，能与 合并，则 的值不可以是（ ）
A． B．8 C．18 D．28
【答案】D
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】由题意得 与 是同类二次根式，
当a= 时， ，与 是同类二次根式，故该项不符合题意；
当a=8时， ，与 是同类二次根式，故该项不符合题意；
当a=18时， ，与 是同类二次根式，故该项不符合题意；
当a=28时， ，与 不是同类二次根式，故该项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意得到 与 是同类二次根式，将各选项数值代入 化简后判断与 是否为同类二次根式即可．
8．（2020八上·福田期末）设 为正整数，且 ，则 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意可知，＜＜
∴8＜＜9
∵n为正整数
∴n=8
故答案为：B.
【分析】根据题意，由二次根式的值，估算得到n的值即可。
9．（2020八上·金乡期末）设 ， ，则a、b的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质化简，再判断大小即可。
10．（2020八上·社旗月考）设 为实数，且 ，则 的值是（ ）
A．1 B．9 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：根据题意可得: 解得：
当 时，
故答案为：A.
【分析】由二次根式的非负性可得关于x的不等式组，解这个不等式组可求得x的值，把x的值代入等式计算可求得y的值，然后把x、y的值代入所求代数式计算即可求解.
二、填空题
11．（2021八下·北京期末）若二次根式 有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】x≥8
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵根式 有意义，
∴x-8≥0，
解得x≥8．
故答案为：x≥8．
【分析】先求出x-8≥0，再解不等式即可。
12．（2021八下·鼓楼期末）计算 的结果是 .
【答案】π-3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
故答案为：π-3.
【分析】根据（a≤0）进行解答即可.
13．（2021八下·新罗期末）长方形的宽是 ，面积为 ，则长方形的长为
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：∵长方形的宽为 ，面积为 ，
∴长方形的长为： ÷ = ，
故答案为： .
【分析】根据长方形的面积公式结合二次根式的除法法则进行计算.
14．（2021八下·建华期末）计算 = ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得： ＞
＞ 且 ＞
故答案为：
【分析】利用二次根式的除法计算即可。
15．（2021八下·澄海期末）计算 的结果是 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： ；
故答案为：3．
【分析】利用二次根式的乘除计算即可。
16．如果（x﹣ ）（y﹣ ）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007= ．
【答案】1
【知识点】二次根式的应用；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：设a= ，b= ，则x2﹣a2=y2﹣b2=2008，
∴（x+a）（x﹣a）=（y+b）（y﹣b）=2008①
∵（x﹣a）（y﹣b）=2008②
∴由①②得
x+a=y﹣b，x﹣a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴ + =0，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008﹣2×2008+3（x﹣y）﹣2007=2008+3×0﹣2007=1．
故答案为：1
【分析】本题先通过设辅助未知数a、b，再代入已知式子对其变形，即可分别找到x与y、a与b的关系，从而利用算术平方根的非负性求出x、y的值，最后代入所求式子可得结果。
三、计算题
17．（2017八上·深圳期中）计算
（1）
（2）
（3） -
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
=4-5=-1
（3）解：原式=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是正确解题的关键.
18．（2019八上·宝安期中）计算题
（1）3 - -
（2）
（3）（ ）2+
（4）（ ）2+（ ）-1+| -2|-
【答案】（1）解：原式=9 -5 - =
（2）解：原式= + = +
（3）解：原式=6-4 +2+3 =8-
（4）解：原式=4+ +2- -2=4-
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据乘法的分配律即可运算；
（3）先利用完全平方公式，再合并计算即可；
（4）先根据算术平方根、负整数幂、绝对值的意义化简每项，再合并计算即可。
四、解答题
19．（2017八下·苏州期中）已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：
.
则x-y=，xy==
则x2 x y + y2=（x-y）2+xy=（）2+=3+1=4.
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】先对x，y进行分母有理化；再求出x-y和xy的值，将代数式进行变化，然后代入x-y和xy的值计算.
20．（2017八下·椒江期末）已知 ，求 的值.
【答案】解：由二次根式有意义的条件可得
，解得 ，则x= .
当x= 时，y=3.
= .
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】在y与x的关系中，由二次根式有意义的条件可解出x的值，从而得到y的值.先对 进行代简，再代入求值.
21．
（1）要使 在实数范围内有意义，求x的取值范围；
（2）实数x，y满足条件：y= + + ，求（x+y）100的值．
【答案】（1）解：∵负数没有算术平方根
∴1-2x≥0，x≤ ，
∴x的取值范围是：x≤
（2）解：根据题意有：
∴2x-1=0，x=
把
得：
∴
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】（1）（2）都是根据二次根式成立的条件被开方数必须是非负数，列不等式（或组）解不等式（或组）即可得答案。
五、综合题
22．（2016八下·费县期中）计算
（1）（ + ）（ ﹣ ）﹣（ +3 ）2．
（2） ÷（﹣ ）﹣ × + ．
【答案】（1）解：原式=7﹣5﹣（3+ +18）
=2﹣21﹣6
=﹣19﹣6
（2）解：原式=﹣ ﹣ +2
=﹣4﹣ +2
=﹣4+
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据平方差和完全平方公式计算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．
23．（2019八上·凤翔期中）阅读下列解题过程：
= = = -2；
= = .
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子 = ；
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子 = ；
（3）利用上面所提供的解法，请求 +···+ 的值.
【答案】（1） =
（2） =
（3）解： +···+ = ﹣1+ ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =10﹣1=9.
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1） = = ；（2） = =
【分析】（1）观察上面的化简过程，发现：分母中的两个被开方数正好相差是1，所以运用平方差公式分母有理化后，分母变成了1，分子就是和分母构成平方差公式的式子；（2）、（1）观察上面的化简过程，发现：分母中的两个被开方数正好相差是1，所以运用平方差公式分母有理化后，分母变成了1，分子就是和分母构成平方差公式的式子；（3）、根据（2）的结论，化简各个二次根式，发现抵消的规律，计算出最后结果.
24．解答下列问题：
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
【答案】（1）解答： ，
，
故 ＜
（2）解答： ，
，
故 ＜
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化
【解析】【分析】此题主要考查了通过二次根式的分母有理化进行分式的大小比较，这一方法是数学中常用的方法和思想
1 / 1
