初中数学湘教版八年级上册2.5全等三角形 同步练习

初中数学湘教版八年级上册2.5全等三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·新洲期末）如图，两个三角形全等，则 等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2021八上·沙坪坝开学考）下列说法正确的是（　　）
A．周长相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三个角对应相等的两个三角形全等
D．三条边对应相等的两个三角形全等
3．（2021八上·崇川期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知 ， ，添加下列条件还不能判定的 是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021八上·宜州期末）如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021八下·万州期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2021八下·浦东期末）如图，在梯形 中， ， ， ，那么下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021八下·高碑店期末）如图，已知 的顶点A、C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2021八上·抚顺期末）如图，C是∠AOB的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC≌△BOC的是（　　）
A．OA =OB B．AC=BC C．∠A=∠B D．∠1=∠2
9．（2021八上·金昌期末）如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则图中全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
10．（2021八上·建邺期末）如图， ， 、 交于点 ， 为斜边的中点，若 ， .则 和 之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021八上·建邺期末）如图，点 、 、 、 在一条直线上，若 ， ， ，则 的长为　 　.
12．（2021八上·崇川期末）一个三角形的三条边长分别为 ， ，x，另一个三角形的三条边长分别为y， ， ，若这两个三角形全等，则 　 　.
13．（2021八上·南丹期末）如图，已知△ABC≌△DEF，则DE=　 　.
14．（2021八下·南岸期末）如图，在 中， 是 的角平分线， ，垂足为E，若 　 　.
15．（2021八下·临湘期末）如图， 平分 ， 在 上， 于 ， 于 .若 ，则 　 　 .
16．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为　 　.
三、解答题
17．（2021八下·长春开学考）如图所示，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．求证：AC DE．
18．（2021八上·古丈期末）如图，小强学习全等三角形后，用10块高度都是5cm的相同长方体积木，搭了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
四、作图题
19．（2020八上·黑龙江期中）如图，点B和点C分别为∠MAN两边上的点，AB＝AC．
（1）按下列语句画出图形：
① AD⊥BC，垂足为D；
② ∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E
③ 连结BE.
（2）在完成（1）后不添加线段和字母的情况下，请你写出除△ABD≌△ACD外的两对全等三角形：　 　≌　 　，　 　≌　 　；并选择其中的一对全等三角形予以证明.
五、综合题
20．（2020八上·上海期中）已知：如图，AB=AC, AD= AE,∠BAE=∠CAD,
BD与CE相交于点F．
求证：
（1）∠B=∠C；
（2）FB=FC．
21．（2017八上·东台月考）已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB=∠AED=90°．
（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF=DE；
（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．
22．（2021八上·宜州期末）如图，已知 ，点B、D在线段 上.
（1）线段 与 的数量关系是：　 　，判断该关系的数学根据是：　 　（用文字表达）；
（2）判断 与 之间的位置关系，并说明理由.
23．（2021八上·武汉期末）已知 是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上，点F在射线BA上， ．
（1）如图1，若点F与B点重合，求证： ；
（2）如图2，若点E在线段BC上，点F在线段BA上，求 的值；
（3）如图3，若 ，直接写出 的度数为　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，且 是b、c两边的夹角，
∴ =58°
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误；
D、正确，符合判定方法SSS.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS可得结果.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠ABC=∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠A=∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是EB=CF，可得BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合全等三角形的判定定理进行解答即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故答案为：B.
【分析】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”,据此即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝8﹣5＝4，
故答案为：B.
【分析】由题意根据等角的余角相等可得∠PMH＝∠HNQ，用角边角可证△MQP≌△NQH，由全等三角形的对应边相等可得PQ=QH，结合已知并根据线段的构成MH＝MQ﹣HQ可求解.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、∵AD=DC，
∴AC＜AD+DC=2CD，
故A符合题意；
B、∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BAD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠BAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，B不符合题意，
C、∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，C不符合题意．
D、∵△DAB≌△CBA，
∴∠ADB=∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∴DB⊥AD，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据在梯形 中， ， ， ， 再结合三角形全等的判定与性质对每个选项一一判断求解即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，如图所示：
直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，
四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOD＝∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD＝BE＝1，
∴OB＝OE＋BE＝5，
故答案为5.
【分析】先求出∠AOD＝∠CBE，再求出△AOD≌△CBE，最后计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵C是∠AOB的平分线上一点
∴∠ AOC=∠ BOC
OC=OC
添加条件 OA =OB ， △AOC≌△BOC （SAS），故A能判定全等；
添加条件∠A=∠B，△AOC≌△BOC （AAS），故C能判定全等；
添加条件 ∠1=∠2，∴∠ACO=∠BCO，△AOC≌△BOC （ASA），故D能判定全等；
添加条件 BC=AC，不能判定全等；
故选B.
【分析】依据判断三角形全等的条件AAS、SAS、ASA可以得出结果.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： 平分 ，
，
在 与 中，
，
，
， ， ，
又 ，
，
， ， .
， ， ， ，共4对.
故答案为：C.
【分析】求出∠BAD＝∠CAD，根据SAS推出△ADB≌△ADC，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，BD=CD，求出∠ADE＝∠ADF，根据ASA推出△AED≌△AFD，根据全等三角形的性质得出AE＝AF，根据SAS推出△ABF≌△ACE，根据AAS推出△EDB≌△FDC即可．
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
是 的中点，
∴∠CAM=∠MCA，
，
故答案为：A.
【分析】由全等三角形的性质∠CAB=∠DBA，∠ABC=∠BAD；AC=BD；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AB=DM=AM=BM，所以∠CAM=∠MCA，于是用边边边可证△AMC≌△BMD，由全等三角形的对应角相等可得∠AMC=∠BMD，然后用三角形内角和定理和三角形的构成可求解.
11．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：
，
故答案为：6.
【分析】由全等三角形的对应边相等可得BD=CE，然后根据线段的构成可求解.
12．【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，一个三角形的三条边长分别为5，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，5， 3 ，
∴x＝3，y＝7，
∴x＋y＝10，
故答案为：10.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得x＝3，y＝7，据此可求得x+y的值.
13．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF
∴DE=AB=4.
故答案为：4.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可知DE=AB=4.
14．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，
∴DE=CD=2
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的性质定理直接即可直接得出DE的长.
15．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3cm，
∴PE=PD=3.
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质进行解答.
16．【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
17．【答案】证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACB=∠DEF，
∴AC∥DE．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由AB=DF，AC=DE，∠A=∠D，根据SAS即可证明；
18．【答案】解：由图可得，
∠ACB＝90°，
∠ACD+∠BCE＝90°
又∠ACD+∠CAD＝90°
∠CAD＝∠BCE
在 和 中，
AD=CE=3×5=15cm
BE=CD=7×5=35cm
DE=CD+CE=35+15=50cm
答：两堵木墙之间的距离是50cm．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再利用AAS证明 ，利用全等三角形对应边相等得出AD=CE，BE=CD，最后根据线段的和差进行解答．
19．【答案】（1）解：①②③如图所示
（2）△ABE；△ACE；△BDE；△CDE 证明：选择△ABE≌△ACE进行证明． ∵ AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAE=∠CAE 在△ABE和△ACE中 ∴△ABE≌△ACE（SAS） 选择△BDE≌△CDE进行证明. ∵ AB=AC，AD⊥BC ∴ BD=CD 在△BDE和△CDE中 ∴△BDE≌△CDE（SAS）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）①过点A作AD⊥BC，垂足为点D，D在线段BC上；
②作∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E，E在线段AD的延长线上；
③连接BE即过点B和点E画线段；
（2）根据全等三角形的判定和性质，证明结论即可。
20．【答案】（1）：证明：∵∠BAE=∠CAD
即：
又∵AB=AC, AD= AE
∴
∴∠B=∠C
（2）证明：连接BC
∵AB=AC
∴
由（1）得到：
即：
∴FB=FC
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质进行作答即可。
21．【答案】（1）证明：如图①，连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵ACB=AEF=90，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴BF+EF=BF+CF=BC，
∴BF+EF=DE.
（2）解：（1）中的结论不成立，有DE=BF-EF，理由如下：
如图②，连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵E=ACF=90，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴DE=BC=BF-FC=BF-EF，
即DE=BF-EF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由Rt△ABC≌Rt△ADE得AC=AE，根据HL可证得Rt△ACF≌Rt△AEF，由BC=BF+CF代入可得结论；（2）同（1）证明Rt△ACF≌Rt△AEF，再由BC=BF-FC得出结论.
22．【答案】（1）相等（或写 ）；全等三角形的对应边相等
（2）解：猜想： .
理由：
∵ ，
∴ ，
∵∠ADB=180°－∠ADF
∠CBD=180°－∠CBE
∴ ，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴AD=BC
根据全等三角形的对应边相等
故答案为：相等（或写 ），全等三角形的对应边相等；
【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；
（2）首先由全等三角形的性质可得∠ADF=∠CBE，进而根据等角的补角相等得到∠ADB=∠CBD，接下来根据内错角相等，两直线平行证明即可.
23．【答案】（1）证明： 为等边三角形，
， ，
为 AC 的中点，
平分 ，
，
，
；
（2）解：过点D作 ，交AB于点 H，如图2所示：
为等边三角形，
，
，
， ，
， ，
是等边三角形，
，
为AC的中点，
，
，
， ，
，
，
在 和 中， ，
≌ ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（3）15°或75°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①当点E在BC的延长线上时，取 ，连接DH，作 于G，如图3所示：
是等边三角形，点D是AC的中点，
， ， ，
在 和 中， ，
≌ ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
；
当点F在BA 的延长线上时，取 ，连接DH，作 于G，如图4所示：
同理： ，
，
；
故答案为：15°或75°．
【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出 ，即可得出 ；（2）过点D作 ，交AB于点 H，证明 ≌ ，得出 ，得出 ，由等边三角形的性质得出 ，得出 ， ，即可得出结论；（3）①当点E在BC的延长线上时：取 ，连接DH，作 于G，证明 ≌ ，得出 ， ，得出 ， ，得出 ，证出 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，得出 ，证出 ，由等腰直角三角形的性质得出 ，再由三角形的外角性质即可得出答案； 当点F在BA 的延长线上时：取 ，连接DH，作 于G，解法同①，得出 即可．
1 / 1初中数学湘教版八年级上册2.5全等三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·新洲期末）如图，两个三角形全等，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，且 是b、c两边的夹角，
∴ =58°
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答即可.
2．（2021八上·沙坪坝开学考）下列说法正确的是（　　）
A．周长相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三个角对应相等的两个三角形全等
D．三条边对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误；
D、正确，符合判定方法SSS.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定SSS、SAS、ASA、AAS可得结果.
3．（2021八上·崇川期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，已知 ， ，添加下列条件还不能判定的 是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠ABC=∠DEF，根据条件不可以证明△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是∠A=∠D，根据SAS可以证明△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是EB=CF，可得BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
已知AB=DE，AC=DF，添加的一个条件是BC=EF，根据SSS可以证明△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件结合全等三角形的判定定理进行解答即可.
4．（2021八上·宜州期末）如图，乐乐书上的三角形墨迹污染了一部分，很快他就画出一个三角形与书上的三角形全等，这两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和他们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
故答案为：B.
【分析】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”,据此即可得出答案.
5．（2021八下·万州期末）如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，
∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMH＝∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴PQ＝QH＝5，
∵NQ＝MQ＝9，
∴MH＝MQ﹣HQ＝8﹣5＝4，
故答案为：B.
【分析】由题意根据等角的余角相等可得∠PMH＝∠HNQ，用角边角可证△MQP≌△NQH，由全等三角形的对应边相等可得PQ=QH，结合已知并根据线段的构成MH＝MQ﹣HQ可求解.
6．（2021八下·浦东期末）如图，在梯形 中， ， ， ，那么下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、∵AD=DC，
∴AC＜AD+DC=2CD，
故A符合题意；
B、∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠BAD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠BAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，B不符合题意，
C、∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，C不符合题意．
D、∵△DAB≌△CBA，
∴∠ADB=∠BCA．
∵AC⊥BC，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
∴DB⊥AD，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据在梯形 中， ， ， ， 再结合三角形全等的判定与性质对每个选项一一判断求解即可。
7．（2021八下·高碑店期末）如图，已知 的顶点A、C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，如图所示：
直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，
四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOD＝∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD＝BE＝1，
∴OB＝OE＋BE＝5，
故答案为5.
【分析】先求出∠AOD＝∠CBE，再求出△AOD≌△CBE，最后计算求解即可。
8．（2021八上·抚顺期末）如图，C是∠AOB的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC≌△BOC的是（　　）
A．OA =OB B．AC=BC C．∠A=∠B D．∠1=∠2
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵C是∠AOB的平分线上一点
∴∠ AOC=∠ BOC
OC=OC
添加条件 OA =OB ， △AOC≌△BOC （SAS），故A能判定全等；
添加条件∠A=∠B，△AOC≌△BOC （AAS），故C能判定全等；
添加条件 ∠1=∠2，∴∠ACO=∠BCO，△AOC≌△BOC （ASA），故D能判定全等；
添加条件 BC=AC，不能判定全等；
故选B.
【分析】依据判断三角形全等的条件AAS、SAS、ASA可以得出结果.
9．（2021八上·金昌期末）如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则图中全等三角形共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： 平分 ，
，
在 与 中，
，
，
， ， ，
又 ，
，
， ， .
， ， ， ，共4对.
故答案为：C.
【分析】求出∠BAD＝∠CAD，根据SAS推出△ADB≌△ADC，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，BD=CD，求出∠ADE＝∠ADF，根据ASA推出△AED≌△AFD，根据全等三角形的性质得出AE＝AF，根据SAS推出△ABF≌△ACE，根据AAS推出△EDB≌△FDC即可．
10．（2021八上·建邺期末）如图， ， 、 交于点 ， 为斜边的中点，若 ， .则 和 之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
是 的中点，
∴∠CAM=∠MCA，
，
故答案为：A.
【分析】由全等三角形的性质∠CAB=∠DBA，∠ABC=∠BAD；AC=BD；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM=AB=DM=AM=BM，所以∠CAM=∠MCA，于是用边边边可证△AMC≌△BMD，由全等三角形的对应角相等可得∠AMC=∠BMD，然后用三角形内角和定理和三角形的构成可求解.
二、填空题
11．（2021八上·建邺期末）如图，点 、 、 、 在一条直线上，若 ， ， ，则 的长为　 　.
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：
，
故答案为：6.
【分析】由全等三角形的对应边相等可得BD=CE，然后根据线段的构成可求解.
12．（2021八上·崇川期末）一个三角形的三条边长分别为 ， ，x，另一个三角形的三条边长分别为y， ， ，若这两个三角形全等，则 　 　.
【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵两个三角形全等，一个三角形的三条边长分别为5，7，x，另一个三角形的三条边长分别为y，5， 3 ，
∴x＝3，y＝7，
∴x＋y＝10，
故答案为：10.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得x＝3，y＝7，据此可求得x+y的值.
13．（2021八上·南丹期末）如图，已知△ABC≌△DEF，则DE=　 　.
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF
∴DE=AB=4.
故答案为：4.
【分析】根据全等三角形的对应边相等可知DE=AB=4.
14．（2021八下·南岸期末）如图，在 中， 是 的角平分线， ，垂足为E，若 　 　.
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，
∴DE=CD=2
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的性质定理直接即可直接得出DE的长.
15．（2021八下·临湘期末）如图， 平分 ， 在 上， 于 ， 于 .若 ，则 　 　 .
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3cm，
∴PE=PD=3.
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质进行解答.
16．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为　 　.
【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
三、解答题
17．（2021八下·长春开学考）如图所示，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．求证：AC DE．
【答案】证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACB=∠DEF，
∴AC∥DE．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由AB=DF，AC=DE，∠A=∠D，根据SAS即可证明；
18．（2021八上·古丈期末）如图，小强学习全等三角形后，用10块高度都是5cm的相同长方体积木，搭了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【答案】解：由图可得，
∠ACB＝90°，
∠ACD+∠BCE＝90°
又∠ACD+∠CAD＝90°
∠CAD＝∠BCE
在 和 中，
AD=CE=3×5=15cm
BE=CD=7×5=35cm
DE=CD+CE=35+15=50cm
答：两堵木墙之间的距离是50cm．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再利用AAS证明 ，利用全等三角形对应边相等得出AD=CE，BE=CD，最后根据线段的和差进行解答．
四、作图题
19．（2020八上·黑龙江期中）如图，点B和点C分别为∠MAN两边上的点，AB＝AC．
（1）按下列语句画出图形：
① AD⊥BC，垂足为D；
② ∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E
③ 连结BE.
（2）在完成（1）后不添加线段和字母的情况下，请你写出除△ABD≌△ACD外的两对全等三角形：　 　≌　 　，　 　≌　 　；并选择其中的一对全等三角形予以证明.
【答案】（1）解：①②③如图所示
（2）△ABE；△ACE；△BDE；△CDE 证明：选择△ABE≌△ACE进行证明． ∵ AB=AC，AD⊥BC ∴∠BAE=∠CAE 在△ABE和△ACE中 ∴△ABE≌△ACE（SAS） 选择△BDE≌△CDE进行证明. ∵ AB=AC，AD⊥BC ∴ BD=CD 在△BDE和△CDE中 ∴△BDE≌△CDE（SAS）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）①过点A作AD⊥BC，垂足为点D，D在线段BC上；
②作∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E，E在线段AD的延长线上；
③连接BE即过点B和点E画线段；
（2）根据全等三角形的判定和性质，证明结论即可。
五、综合题
20．（2020八上·上海期中）已知：如图，AB=AC, AD= AE,∠BAE=∠CAD,
BD与CE相交于点F．
求证：
（1）∠B=∠C；
（2）FB=FC．
【答案】（1）：证明：∵∠BAE=∠CAD
即：
又∵AB=AC, AD= AE
∴
∴∠B=∠C
（2）证明：连接BC
∵AB=AC
∴
由（1）得到：
即：
∴FB=FC
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据全等三角形的判定与性质进行作答即可。
21．（2017八上·东台月考）已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB=∠AED=90°．
（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF=DE；
（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图①，连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵ACB=AEF=90，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴BF+EF=BF+CF=BC，
∴BF+EF=DE.
（2）解：（1）中的结论不成立，有DE=BF-EF，理由如下：
如图②，连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵E=ACF=90，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴DE=BC=BF-FC=BF-EF，
即DE=BF-EF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由Rt△ABC≌Rt△ADE得AC=AE，根据HL可证得Rt△ACF≌Rt△AEF，由BC=BF+CF代入可得结论；（2）同（1）证明Rt△ACF≌Rt△AEF，再由BC=BF-FC得出结论.
22．（2021八上·宜州期末）如图，已知 ，点B、D在线段 上.
（1）线段 与 的数量关系是：　 　，判断该关系的数学根据是：　 　（用文字表达）；
（2）判断 与 之间的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）相等（或写 ）；全等三角形的对应边相等
（2）解：猜想： .
理由：
∵ ，
∴ ，
∵∠ADB=180°－∠ADF
∠CBD=180°－∠CBE
∴ ，
∴
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）∵
∴AD=BC
根据全等三角形的对应边相等
故答案为：相等（或写 ），全等三角形的对应边相等；
【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；
（2）首先由全等三角形的性质可得∠ADF=∠CBE，进而根据等角的补角相等得到∠ADB=∠CBD，接下来根据内错角相等，两直线平行证明即可.
23．（2021八上·武汉期末）已知 是等边三角形，点D是AC的中点，点E在射线BC上，点F在射线BA上， ．
（1）如图1，若点F与B点重合，求证： ；
（2）如图2，若点E在线段BC上，点F在线段BA上，求 的值；
（3）如图3，若 ，直接写出 的度数为　 　．
【答案】（1）证明： 为等边三角形，
， ，
为 AC 的中点，
平分 ，
，
，
；
（2）解：过点D作 ，交AB于点 H，如图2所示：
为等边三角形，
，
，
， ，
， ，
是等边三角形，
，
为AC的中点，
，
，
， ，
，
，
在 和 中， ，
≌ ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（3）15°或75°
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①当点E在BC的延长线上时，取 ，连接DH，作 于G，如图3所示：
是等边三角形，点D是AC的中点，
， ， ，
在 和 中， ，
≌ ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
；
当点F在BA 的延长线上时，取 ，连接DH，作 于G，如图4所示：
同理： ，
，
；
故答案为：15°或75°．
【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出 ，即可得出 ；（2）过点D作 ，交AB于点 H，证明 ≌ ，得出 ，得出 ，由等边三角形的性质得出 ，得出 ， ，即可得出结论；（3）①当点E在BC的延长线上时：取 ，连接DH，作 于G，证明 ≌ ，得出 ， ，得出 ， ，得出 ，证出 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，得出 ，证出 ，由等腰直角三角形的性质得出 ，再由三角形的外角性质即可得出答案； 当点F在BA 的延长线上时：取 ，连接DH，作 于G，解法同①，得出 即可．
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