第二章 一元二次方程单元训练卷（Word版 含解析）-2021-2022学年度北师大版九年级数学上册

第2章
一元二次方程单元训练卷-2021-2022学年度北师大版九年级数学上册
一、选择题
1.若关于
的一元二次方程
的一个根是2，则
的值为（??
）
A.?2??????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????C.?4????????????????????D.?5
2.一元二次方程
的二次项系数和常数项分别是（??
）
A.2，-1
B.2，3
C.-1，3
D.-1，2
3.一元二次方程
，经过配方可变形为（??
）
A.
B.
C.
D.
4.已知关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（??
）
A.??????????????????B.??????????????????C.?
且
??????????????????D.?
且
5.一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（　　）
A.?x＝2??????????????????????????B.?x1＝0，x2＝2??????????????????????????C.?x1＝2，x2＝1??????????????????????????D.?x＝﹣1
6.在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（??
）
A.x2+2x﹣3＝0
B.x2+2x﹣20＝0
C.x2﹣2x﹣20＝0
D.x2﹣2x﹣3＝0
7.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（??
）
A.?5????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????C.?7??????????????????????D.?8
8.某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个，则口罩日产量的月平均增长率是（??
）
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
9.有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（???
）
A.?如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B.?如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C.?如果5是方程M的一个根，那么
是方程N的一个根
D.?如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
10.定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有
，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：
.若关于x的方程
有两个实数根，则k的取值范围是（??
）
A.?
且
????????????B.?????????????????????C.?
且
???????????????????D.?
二、填空题
11.若
是方程
一个根，则代数式
的值为________.
12.实数
，
是一元二次方程
的两个根，则多项式
的值为________.
13.若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于
的方程
的两个根，则
的值为________．
14.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支.
若主干、支干和小分支的总数是
57，设每个支干长出
x
个小分支，则可列方程为________
15.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2
，
则道路的宽为________．
16.若t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根，则
的值为
________.
三、解答题
17.选择适当的方法解下列一元二次方程．
（1）x2＝9
（2）x2＋2x＋1＝0
（3）x2＋4x﹣5＝0
（4）2x2﹣3x﹣1＝0
18.国贸大厦销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，国贸决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么国贸平均每天可多售出2件，国贸若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
19.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？
20.已知关于x的一元二次方程
有
，
两实数根.
（1）若
，求
及
的值；
（2）是否存在实数
，满足
？若存在，求出求实数
的值；若不存在，请说明理由.
21.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2＋2b﹣3.例如把（2，﹣5）放入共中，就会得到22＋2×（﹣5）﹣3＝﹣9.
（1）若把实数对（﹣5，2）放入其中，得到的实数是多少？
（2）若把实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数4，求m的值.
（3）小明说，若把实数对（n，3n﹣1）放入其中，得到的实数可能小于﹣15.你认为小明的说法正确吗？为什么？
22.??（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将
两边同时乘以
并移项，得到
，两边再同时加上
，得（?
▲
?）2
.请用这样的方法解方程：
；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于
，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为
，
）
即
因为
，所以
、
的平均数为
，不妨设
，
，
利用
，得
，所以
，即能求出
的值.
举例如下：解一元二次方程
，由于
，所以方程的两个根为
，而
，解得
，所以方程的解为
，
.
请运用以上方法解如下方程①
；②
23.用总长700cm的木板制作矩形置物架ABCD
(如图)，己知该置物架上面部分为正方形ABFE，下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH，中间部分为矩形EFHG。已知DG=60cm，设正方形的边长AB=x
(cm)。
（1）当x=75时，EG的长为________cm
（2）置物架ABCD的高AD的长为________cm
(用含x的代数式表示)
（3）为了便于置放物品，EG的高度不小于26cm，若矩形ABCD的面积为12750
(cm2)，求x的值。
24.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一动点.将△ABE沿AE翻折后得到
AFE，延长AF交CD所在直线于点G，设BE＝x.
（1）若点G在CD边上，求x的取值范围；
（2）若x＝5，求CG的长.
25.如果关于
的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的
倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程
的两个根是
和
，则方程
就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程
是“倍根方程”，则c＝________．
（2）若关于x的一元二次方程
是“倍根方程”，则
，
，
之间的关系为________．
（3）若
是“倍根方程”，求代数式
的值．
答案
一、选择题
1.
解：
的一个根为2，设另一根为
，解得
又
故答案为：D
2.解：一元二次方程
的二次项和常数项分别为
，3
故二次项系数和常数项分别是2，3
故答案为：B.
3.
x2-4x+4-4-6=(x-2)2-10＝0，即（x-2）2=10;
故答案为：A.
4.解：根据题意得：a≠0且
，即
，
解得：
且
，
故答案为：D.
5.解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C
．
6.解：
小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为：
即：
?小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为：
即：
从而正确的方程是：
故答案为：B
7.解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得：
（舍），
则共有6个班级参加比赛，
故答案为：B.
8.解：设口罩日产量的月平均增长率是x，
依题意得：20（1+x）2=45，
解得：x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合题意，舍去）.
故答案为：D.
9.解：A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程M的判别式
﹥0，则方程N的判别式
﹥0，所以方程N也有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
B?．如果方程M有两根符号相同,那么两根之积
﹥0,所以ac>0，即方程N的两根之积
>0，所以方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；
C.
如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0，所以
，所以
是方程N的一个根，不符合题意；
D.
如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2＋bx＋c=cx2＋bx＋a，整理得(a-c)x2＝a-c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x2=1，x=±1，符合题意；
故答案为：D．
10.解：∵[x2+1，x]※[5?2k，k]=0，
∴
.
整理得，
.
∵方程有两个实数根，
∴判别式
且
.
由
得，
，
解得，
.
∴k的取值范围是
且
.
故答案为：C
二、填空题
11.解：由题意得：
，即
，
当
时，代入原式可得：
原式
，
故答案为：2023.
12.解：∵
，
是一元二次方程
的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得
，
∴
；
故答案为-1.
13.解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于
的方程
的一个根，
因此有
，
解得
，
则方程为
，解得另一个根为
，
此时等腰三角形的三边长分别为
，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于
的方程
有两个相等的实数根，
因此，根的判别式
，
解得n=9，
则方程为
，解得方程的根为
，
此时等腰三角形的三边长分别为
，满足三角形的三边关系定理；
综上，
的值为8或9，
故答案为：8或9．
14.解：设每个支干长出
x
个小分支，
根据题意列方程得：x?+x+1=57.
故答案为
：x?+x+1=57.
15.解：设道路宽为x米
（32-x）(20-x)=540
解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去）
∴x=2
答：设道路宽为2米
16.∵t是方程ax2+2x＝0（a≠0）的一个根
∴at2+2t＝0
∴
故答案为：1.
三、解答题
17.
（1）解：∵x2=9，
∴x1=3，x2=-3；
（2）解：∵x2+2x+1=0，
∴（x+1）2=0，
则x+1=0，
∴x1=x2=-1；
（3）解：∵x2+4x-5=0，
∴（x+5）（x-1）=0，
则x+5=0或x-1=0，
解得x1=-5，x2=1；
（4）解：∵a=2，b=-3，c=-1，
∴Δ=（-3）2-4×2×（-1）=17＞0，
则x=
=
，
∴x1=
，x2=
．
18.
解：设每件衬衫应降价x元，实际每天销量为（20+2x）件，每件利润（40-x）元，
(20+2x)(40-x)=1200
解得x=10或x=20
为了尽快减少库存，应保证销量更大，
所以x=20，每件衬衫应降价20元。
19.解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得
x(25-2x+1)=80，
化简，得x2-13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，
答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米.
20.
（1）解：由题意：Δ=(?6)2?4×1×(2m?1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1?x2=2m?1=5，
∴x2=5，m=3
（2）解：设存在实数m，满足
，那么
有
，
即
，
整理得：
，
解得
或
.
由（1）可知
，
∴
舍去，从而
，
综上所述：存在
符合题意
21.
（1）解：∵（a，b）进入得到a2+2b-3，
∴（-5，2）放入后得到（-5）2+2×2-3=25+4-3=26；
（2）解：（m，-3m）放入后得到m2+2×（-3m）-3=m2-6m-3=4，
∴m2-6m-7=0，
解得m=7或m=-1；
（3）解：小明说法不正确，理由如下：
（n，3n-1）放入后得到n2+2×（3n-1）-3=n2+6n-2-3=n2+6n-5=（n+3）2-14≥-14，
∴得到的实数不可能小于-15，
∴小明说法不正确.
22.（1）解：2ax+b；
，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：①
.
.
方程的两个根为
，
而
，解得
，
，
.
②
.
两边同时除以3得：
，
.
方程的两个根为
，
而
解得
，
，
.
解：（1）∵
，
?∴
，
故答案为：
23.
（1）35
（2）-2x+320
（3）解：S矩形ABCD
=x(-2x+320)=-2x2+320x=12750
解得x1=75，x2=85，
∵EG的高度不小于26cm，
即EG=AD-60-x=260-
3x≥26，
∴x≤78
∴x2=85舍去
答：x的值为75cm。
解：（1）EG=(700-75×6-60×3)×
=35
（2）AD=
(700-4x-60)=-2x+320
24.
（1）解：设BE
，
当点G与点C重合时，
在
中，
，
由折叠的性质，得△ABE
△AFE，
∴AF=AB=6，BE=
FE
，
在
中，∠CFE=90
，CF
，CE=8-
，
∴
，即
，
解得：
；
当点G与点D重合时，
同理，AF=AB=6，BE=
FE，∠BQF=∠B=∠AFE=90
，
∴四边形ABEF为矩形，
∴BE=
AB=6，即
，
∴点G在CD边上时，x的取值范围为：
；
（2）解：由（1）知，当
时点G在CD边上，连接EG，
∴当
时点G在CD边上，且点G不与C、D两点不重合，
设DG=
，
由折叠的性质，得△ABE
△AFE，
∴AF=AB=6，BE=
FE
，
在
中，∠D=90
，AD
，DG=y，
∴
，
∴
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
.
25.
（1）2
（2）
（3）解：∵
是“倍根方程”
∴方程的两个根分别为x=2和x=
，
∴
=4或
=1，即n=4m或n=m
当n=4m时，原式为（m-n）（4m-n）=0,
当n=m时，原式为（m-n）（4m-n）=0,
∴代数式
=0
（1）∵一元二次方程
是“倍根方程”
∴令2x1=x2
，
有x1+
x2=3，x1x2=c
∴c=2（2）设x=m，x=2m是方程
的解
∴2m+m=-
，2m2=
消去m解得2b2=9ac
所以
，
，
之间的关系为