13.3.1等腰三角形-同步练习题-人教版八年级数学上册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 13.3.1等腰三角形-同步练习题-人教版八年级数学上册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 157.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-03 11:55:19 | ||
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文档简介
13.3.1等腰三角形
同步练习题
人教版八年级数学上册
一、选择题
1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于(
)
A．30°
B．75°
C．150°
D．125°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝(
)
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(
)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
C．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD
D．AD⊥BC，BD＝CD
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是(
)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
5．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(
)
A．10
B．5
C．4
D．3
6．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(
)
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
7．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于点E.若∠B＝32°，AC＝CE，则∠C的度数是(
)
A．52°
B．55°
C．60°
D．65°
8．如图是钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE，EF，FG，…，添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是(
)
A．7
B．8
C．9
D．10
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若∠BAC＝70°，则∠BAD＝_____．
10．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若在等腰△ABC中，∠A＝70°，则它的特征值k＝_____．
11．如图，△ABC的周长为18，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为12，那么AD的长为_____．
12．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝__________时，△AOP为等腰三角形．
13．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海里/时的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为_____．
14.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中的外角∠ACM的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，,交AB于点D，交AC于点E，则BD，CE，DE之间存在的数量关系是_____
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE相交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(将所有成立的情形用序号写出来)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
17．如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形．
18．已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)OA⊥BC.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.
(1)△AEF与△CEB全等吗？请说明理由；
(2)说明AF＝2BD的理由．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与B，C两点重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____(填“大”或“小”)；
(2)当△ABD≌△DCE时，求CD的长；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA＝110°时，请判断△ADE的形状，并证明．
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，不难发现BD与CE的关系．
(1)将△ADE绕A点旋转到图2的位置时，直接写出BD与CE的关系；
(2)当∠BAC＝90°时，将△ADE绕A点旋转到图3的位置．
①猜想BD与CE有什么关系？请就图3的情形进行证明；
②当点C，D，E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．
参考答案
13.3.1等腰三角形
同步练习题
2021-2022学年人教版八年级数学上册
一、选择题
1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于(B)
A．30°
B．75°
C．150°
D．125°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝(B)
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(C)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
C．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD
D．AD⊥BC，BD＝CD
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是(D)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
5．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(B)
A．10
B．5
C．4
D．3
6．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(D)
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
7．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于点E.若∠B＝32°，AC＝CE，则∠C的度数是(A)
A．52°
B．55°
C．60°
D．65°
8．如图是钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE，EF，FG，…，添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是(B)
A．7
B．8
C．9
D．10
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若∠BAC＝70°，则∠BAD＝35°．
10．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若在等腰△ABC中，∠A＝70°，则它的特征值k＝或．
11．如图，△ABC的周长为18，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为12，那么AD的长为3．
12．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝45°或67.5°或90°时，△AOP为等腰三角形．
13．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海里/时的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为80海里．
14.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中的外角∠ACM的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，,交AB于点D，交AC于点E，则BD，CE，DE之间存在的数量关系是BD＝CE＋DE．)
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ABD＝∠C，AD⊥BC.
∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADB＝90°.
∴∠C＋∠CBE＝∠ABD＋∠BAD＝90°.
∴∠CBE＝∠BAD.
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE相交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(将所有成立的情形用序号写出来)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
解：(1)①②；①③.
(2)选①③，证明如下：
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵∠EBO＝∠DCO，且∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
17．如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝∠CDF＝90°.
∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BED＝90°.
∴∠BED＝∠F.
又∵∠AEF＝∠BED，
∴∠F＝∠AEF.
∴AF＝AE.
∴△AEF是等腰三角形．
18．已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)OA⊥BC.
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABO＝∠ACO，∴∠1＝∠2.
(2)∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC.
在△ABO和△ACO中，
∴△ABO≌△ACO(SAS)．
∴∠BAO＝∠CAO.
∴AO平分∠BAC.
∵△ABC是等腰三角形，
∴OA⊥BC.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.
(1)△AEF与△CEB全等吗？请说明理由；
(2)说明AF＝2BD的理由．
解：(1)全等．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠B＋∠EAF＝90°.
∵CE⊥AB，
∴∠B＋∠BCE＝90°，∠AEF＝∠CEB＝90°.
∴∠EAF＝∠ECB.
又∵EF＝BE，
∴△AEF≌△CEB(AAS)．
(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD.
∴AF＝2CD.
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与B，C两点重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝25°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；
(2)当△ABD≌△DCE时，求CD的长；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA＝110°时，请判断△ADE的形状，并证明．
解：(2)∵△ABD≌△DCE，∴CD＝AB＝2.
(3)当∠BDA＝110°时，△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠BDA＝110°，∴∠ADC＝70°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°.∴∠DAC＝70°.
在△ADE中，∠ADE＝40°，∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180°－40°－70°＝70°.
∴∠AED＝∠DAE.
∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，不难发现BD与CE的关系．
(1)将△ADE绕A点旋转到图2的位置时，直接写出BD与CE的关系；
(2)当∠BAC＝90°时，将△ADE绕A点旋转到图3的位置．
①猜想BD与CE有什么关系？请就图3的情形进行证明；
②当点C，D，E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．
解：(1)BD＝CE.
(2)①BD＝CE，BD⊥CE，
证明：记BD与AC的交点为F，与CE的交点为M，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.
∵∠BAC＝90°，∠AFB＝∠MFC，
∴∠FMC＝∠BAC＝90°.
∴BD⊥CE.
②∠ADB的度数为45°或135°15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.
(1)若∠BAE＝30°，求∠C的度数；
(2)若AC＝6
cm，DC＝5
cm，求△ABC的周长．
解：(1)∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE.
∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC.
∴∠C＝∠CAE.
∵∠BAE＝30°，
∴∠AED＝×(180°－30°)＝75°.
∴∠C＝∠AED＝37.5°.
(2)由(1)知：AE＝EC＝AB，
∵BD＝DE，∴AB＋BD＝EC＋DE＝DC.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DC＋AC＝2DC＋AC＝2×5＋6＝16(cm)．
同步练习题
人教版八年级数学上册
一、选择题
1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于(
)
A．30°
B．75°
C．150°
D．125°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝(
)
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(
)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
C．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD
D．AD⊥BC，BD＝CD
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是(
)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
5．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(
)
A．10
B．5
C．4
D．3
6．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(
)
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
7．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于点E.若∠B＝32°，AC＝CE，则∠C的度数是(
)
A．52°
B．55°
C．60°
D．65°
8．如图是钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE，EF，FG，…，添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是(
)
A．7
B．8
C．9
D．10
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若∠BAC＝70°，则∠BAD＝_____．
10．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若在等腰△ABC中，∠A＝70°，则它的特征值k＝_____．
11．如图，△ABC的周长为18，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为12，那么AD的长为_____．
12．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝__________时，△AOP为等腰三角形．
13．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海里/时的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为_____．
14.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中的外角∠ACM的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，,交AB于点D，交AC于点E，则BD，CE，DE之间存在的数量关系是_____
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE相交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(将所有成立的情形用序号写出来)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
17．如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形．
18．已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)OA⊥BC.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.
(1)△AEF与△CEB全等吗？请说明理由；
(2)说明AF＝2BD的理由．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与B，C两点重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_____；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____(填“大”或“小”)；
(2)当△ABD≌△DCE时，求CD的长；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA＝110°时，请判断△ADE的形状，并证明．
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，不难发现BD与CE的关系．
(1)将△ADE绕A点旋转到图2的位置时，直接写出BD与CE的关系；
(2)当∠BAC＝90°时，将△ADE绕A点旋转到图3的位置．
①猜想BD与CE有什么关系？请就图3的情形进行证明；
②当点C，D，E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．
参考答案
13.3.1等腰三角形
同步练习题
2021-2022学年人教版八年级数学上册
一、选择题
1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于(B)
A．30°
B．75°
C．150°
D．125°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝100°，则∠D＝(B)
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
3．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(C)
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD
C．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD
D．AD⊥BC，BD＝CD
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是(D)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
5．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(B)
A．10
B．5
C．4
D．3
6．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(D)
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
7．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于点E.若∠B＝32°，AC＝CE，则∠C的度数是(A)
A．52°
B．55°
C．60°
D．65°
8．如图是钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE，EF，FG，…，添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是(B)
A．7
B．8
C．9
D．10
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若∠BAC＝70°，则∠BAD＝35°．
10．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若在等腰△ABC中，∠A＝70°，则它的特征值k＝或．
11．如图，△ABC的周长为18，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为12，那么AD的长为3．
12．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝45°或67.5°或90°时，△AOP为等腰三角形．
13．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以40海里/时的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为80海里．
14.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中的外角∠ACM的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，,交AB于点D，交AC于点E，则BD，CE，DE之间存在的数量关系是BD＝CE＋DE．)
三、解答题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ABD＝∠C，AD⊥BC.
∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADB＝90°.
∴∠C＋∠CBE＝∠ABD＋∠BAD＝90°.
∴∠CBE＝∠BAD.
16．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE相交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(将所有成立的情形用序号写出来)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
解：(1)①②；①③.
(2)选①③，证明如下：
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵∠EBO＝∠DCO，且∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB.
∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
17．如图，AB＝AC，点E在AB上，DE⊥BC于点D，交CA的延长线于点F.求证：△AEF是等腰三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥BC，
∴∠BDE＝∠CDF＝90°.
∴∠C＋∠F＝90°，∠B＋∠BED＝90°.
∴∠BED＝∠F.
又∵∠AEF＝∠BED，
∴∠F＝∠AEF.
∴AF＝AE.
∴△AEF是等腰三角形．
18．已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且∠ABO＝∠ACO.求证：
(1)∠1＝∠2；
(2)OA⊥BC.
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABO＝∠ACO，∴∠1＝∠2.
(2)∵∠1＝∠2，
∴OB＝OC.
在△ABO和△ACO中，
∴△ABO≌△ACO(SAS)．
∴∠BAO＝∠CAO.
∴AO平分∠BAC.
∵△ABC是等腰三角形，
∴OA⊥BC.
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，EF＝BE.
(1)△AEF与△CEB全等吗？请说明理由；
(2)说明AF＝2BD的理由．
解：(1)全等．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠B＋∠EAF＝90°.
∵CE⊥AB，
∴∠B＋∠BCE＝90°，∠AEF＝∠CEB＝90°.
∴∠EAF＝∠ECB.
又∵EF＝BE，
∴△AEF≌△CEB(AAS)．
(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD.
∴AF＝2CD.
20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与B，C两点重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝25°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；
(2)当△ABD≌△DCE时，求CD的长；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA＝110°时，请判断△ADE的形状，并证明．
解：(2)∵△ABD≌△DCE，∴CD＝AB＝2.
(3)当∠BDA＝110°时，△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠BDA＝110°，∴∠ADC＝70°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°.∴∠DAC＝70°.
在△ADE中，∠ADE＝40°，∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180°－40°－70°＝70°.
∴∠AED＝∠DAE.
∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，不难发现BD与CE的关系．
(1)将△ADE绕A点旋转到图2的位置时，直接写出BD与CE的关系；
(2)当∠BAC＝90°时，将△ADE绕A点旋转到图3的位置．
①猜想BD与CE有什么关系？请就图3的情形进行证明；
②当点C，D，E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数．
解：(1)BD＝CE.
(2)①BD＝CE，BD⊥CE，
证明：记BD与AC的交点为F，与CE的交点为M，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.
∵∠BAC＝90°，∠AFB＝∠MFC，
∴∠FMC＝∠BAC＝90°.
∴BD⊥CE.
②∠ADB的度数为45°或135°15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE.
(1)若∠BAE＝30°，求∠C的度数；
(2)若AC＝6
cm，DC＝5
cm，求△ABC的周长．
解：(1)∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE.
∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC.
∴∠C＝∠CAE.
∵∠BAE＝30°，
∴∠AED＝×(180°－30°)＝75°.
∴∠C＝∠AED＝37.5°.
(2)由(1)知：AE＝EC＝AB，
∵BD＝DE，∴AB＋BD＝EC＋DE＝DC.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DC＋AC＝2DC＋AC＝2×5＋6＝16(cm)．