1.2空间向量基本定理 教案 人教A版数学选择性必修第一册（Word表格式）

课程基本信息
课题
空间向量基本定理
教学目标
教学目标：了解空间向量基本定理及其意义．
教学重点：空间向量基本定理．
教学难点：空间向量基本定理．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、类比猜想
1.复习平面向量基本定理的内容：
如果
e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
若
e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2.类比平面向量基本定理的功能，提出问题1.
问题1
空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？
通过几个追问引导学生猜想空间基底中基向量的个数.
追问1
为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？
追问2
两个不共线的向量还够用吗？
意图：说明至少需要三个向量。
追问3
任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？
意图：说明当三个向量共面时无法表示与其不共面的向量，因而三个基向量必须要求不共面。
二、操作确认
1.当给定的三个向量两两垂直时，验证任意给定的空间向量是否可以表示为给定三个向量的线性组合。
（1）几何做图验证：说明分解方法
（2）GGB软件验证：验证任意存在唯一性
2.当给定的三个不共面向量不满足两两垂直时，验证任意给定的空间向量是否可以表示为给定三个向量的线性组合。
（1）几何做图验证：类比两两垂直的情况说明分解方法
（2）GGB软件验证：验证任意存在唯一性
三、形成定理
1.类比表述空间向量基本定理
问题2
你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？
逐句对比平面向量基本定理的表述，形成空间向量基本定理.
如果三个向量
a，b，c
不共面，那么对任意一个空间向量
p，存在唯一的有序实数组
(x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
那么，所有空间向量组成的集合就是{
p
|
p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．
2.给出基底相关概念
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c
都叫做基向量(base
vectors)．
问题3
空间的基底有多少个，需要满足什么条件？
意图：说明任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底．空间的基底有无穷多个．
总结出“{a，b，c}是空间的一个基底，当且仅当a，b，c不共面．”
3.由一般到特殊给出单位正交基底以及正交分解的定义
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量
a，均可以分解为三个向量
xi，yj，zk，使
a＝xi＋yj＋zk．
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
四、总结提升
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
意图：引导学生发现基底中向量个数与空间维数之间的联系，并将一维情形也纳入知识体系.
五、布置作业
教材第12页第3题和第15页第3题.