3.6 二次函数的应用 课件（共24张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.6 二次函数的应用 课件（共24张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-02 09:47:29 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
第三章
二次函数
6
二次函数的应用
知识点一
用二次函数解决几何图形中的最值问题
此类题最常见的是图形面积最值问题，常含有两个变化的未知量，解决此类题的步骤一般为:
1.将其中一个设为自变量，再利用图形中存在的等量关系用这个自变量表示出另一个变化的未知量这里的等量关系常用的有周长公式、由相似图形得到的比例式、勾股定理锐角三角函数等；
2.利用相关图形的面积公式等列出二次函数的表达式；
3.利用二次函数的图象、性质求出最值.
特别提醒
在求解几何图形的最大面积时，还应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况:边长、周长、面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边等.
例1
李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其他5个矩形的面积都相等.若AE＝x
m，矩形ABCD的面积为y
m2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？
知识点二
用二次函数解决销售问题中的最值问题
特别提醒
二次函数图象的顶点的纵坐标不一定为最值，要注意自变量的取值范围.
例2
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元.
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少.
解析
（1）y＝（x-50）［50＋5（100-x）］
＝（x-50）（-5x＋550）
＝-5x2＋800x-27500
所以y＝-5x2＋800x-27500（50≤x≤100）.
（2）y＝-5x2＋800x-27500＝-5（x-80）2＋4500.
∵-5＜0，∴抛物线开口向下
∵50≤x≤100，∴当x＝80时，y最大值＝4500.
∴销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元.
知识点三
用二次函数解决抛物线型问题
解决抛物线型问题通常有以下步骤:
（1）建立直角坐标系，一般建立坐标系时，一是不改变实际问题中抛物线的开口方向（如隧道、拱桥总是开口向下），二是对称轴为y轴，对于x轴，通常以地面、水平面或过顶点的直线为多，其基本原则是以解析式简单和便于计算为前提；
（2）利用待定系数法求函数表达式；
（3）利用二次函数的图象、性质及问题的实际情况解决问题.
例3
随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，如图所示，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少.
解析
（1）如图所示，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在的直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
经典例题
题型一
利润最值问题
例1
某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成.这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台.若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元/台），m与x的关系如图所示.
（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函
数关系式为_____________，x的取值范围为_______；
（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？
最大利润为多少？
（3）求当天销售利润低于10800元的天数.
解析
（1）根据题意，得y与x的关系式为y＝22＋2（x-1）＝2x＋20（1≤x≤12）.
（3）当1≤x≤6时，800x＋8000＜10800.解得x＜3.5.
∴第1至3天当天利润低于10800元.
当6＜x≤12时，-100（x-2）2＋14400＜10800.解得x＜-4（舍去）或x＞8.
∴第9至12天当天利润低于10800元.
∴当天销售利润低于10800元的天数为7.
归纳总结
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数或其他函数的解析式，然后利用函数的性质解决问题，注意自变量的取值范围以及分段函数中最值的对比.
题型二
动态几何产生的函数图象题
例2
如图所示，矩形ABCD中，AB＝8
cm，BC＝6
cm，
点P从点A出发，以1
cm/s的速度沿A→D→C方向匀速
运动，同时点Q从点A出发，以2
cm/s的速度沿A→B→
C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随
之停止.设运动时间为（s），△APQ的面积为S（cm2）,
下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（
）
归纳总结
分段讨论是解决此类问题的常用方法.在每一段内，根据面积公式或面积间的数量关系等列出函数关系式，明确自变量的取值范围，确定其图象，最后将各段合在一起综合判断.注意分清每一段的分界点，正确分段.
第三章
二次函数
6
二次函数的应用
知识点一
用二次函数解决几何图形中的最值问题
此类题最常见的是图形面积最值问题，常含有两个变化的未知量，解决此类题的步骤一般为:
1.将其中一个设为自变量，再利用图形中存在的等量关系用这个自变量表示出另一个变化的未知量这里的等量关系常用的有周长公式、由相似图形得到的比例式、勾股定理锐角三角函数等；
2.利用相关图形的面积公式等列出二次函数的表达式；
3.利用二次函数的图象、性质求出最值.
特别提醒
在求解几何图形的最大面积时，还应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况:边长、周长、面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边等.
例1
李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其他5个矩形的面积都相等.若AE＝x
m，矩形ABCD的面积为y
m2.
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？
知识点二
用二次函数解决销售问题中的最值问题
特别提醒
二次函数图象的顶点的纵坐标不一定为最值，要注意自变量的取值范围.
例2
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元.
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少.
解析
（1）y＝（x-50）［50＋5（100-x）］
＝（x-50）（-5x＋550）
＝-5x2＋800x-27500
所以y＝-5x2＋800x-27500（50≤x≤100）.
（2）y＝-5x2＋800x-27500＝-5（x-80）2＋4500.
∵-5＜0，∴抛物线开口向下
∵50≤x≤100，∴当x＝80时，y最大值＝4500.
∴销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元.
知识点三
用二次函数解决抛物线型问题
解决抛物线型问题通常有以下步骤:
（1）建立直角坐标系，一般建立坐标系时，一是不改变实际问题中抛物线的开口方向（如隧道、拱桥总是开口向下），二是对称轴为y轴，对于x轴，通常以地面、水平面或过顶点的直线为多，其基本原则是以解析式简单和便于计算为前提；
（2）利用待定系数法求函数表达式；
（3）利用二次函数的图象、性质及问题的实际情况解决问题.
例3
随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，如图所示，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米.
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少.
解析
（1）如图所示，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在的直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
经典例题
题型一
利润最值问题
例1
某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成.这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台.若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x天（x为整数）的生产成本为m（元/台），m与x的关系如图所示.
（1）若第x天可以生产这种设备y台，则y与x的函
数关系式为_____________，x的取值范围为_______；
（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？
最大利润为多少？
（3）求当天销售利润低于10800元的天数.
解析
（1）根据题意，得y与x的关系式为y＝22＋2（x-1）＝2x＋20（1≤x≤12）.
（3）当1≤x≤6时，800x＋8000＜10800.解得x＜3.5.
∴第1至3天当天利润低于10800元.
当6＜x≤12时，-100（x-2）2＋14400＜10800.解得x＜-4（舍去）或x＞8.
∴第9至12天当天利润低于10800元.
∴当天销售利润低于10800元的天数为7.
归纳总结
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数或其他函数的解析式，然后利用函数的性质解决问题，注意自变量的取值范围以及分段函数中最值的对比.
题型二
动态几何产生的函数图象题
例2
如图所示，矩形ABCD中，AB＝8
cm，BC＝6
cm，
点P从点A出发，以1
cm/s的速度沿A→D→C方向匀速
运动，同时点Q从点A出发，以2
cm/s的速度沿A→B→
C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随
之停止.设运动时间为（s），△APQ的面积为S（cm2）,
下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是（
）
归纳总结
分段讨论是解决此类问题的常用方法.在每一段内，根据面积公式或面积间的数量关系等列出函数关系式，明确自变量的取值范围，确定其图象，最后将各段合在一起综合判断.注意分清每一段的分界点，正确分段.