哈尔滨市重点高中2021级高一入学考试
数
学
学
科
参
考
答
案
及
评
分
标
准
注意事项：
1.本试卷只评分，不讲评。
2.本次试卷的成绩，不允许向学生公布。仅提交给班主任和科任老师。任课教师不允许用此次考试成绩进行排名，区别对待。
3.本次考试作为入学甄别考试，阅卷老师应严格按照参考答案进行评分。
一、填空题。（每空3分，共30分）
注意：1.取值范围的填写，无须为集合或区间的形式，正确即可给分；
2.答案不进行约分、化简的答案按错，不得分；
3.开放条件题，只写出一个合理的条件即可，如果所给条件过于冷僻、不易证，按错，不得分；
4.多解题，漏解得1分，错解或多解不得分。
1.3.427×107
2.
3.AD＝DE或∠DAE＝60°或∠BAC＝60°或AB＝BC等
4.
5.85
6.
7.
8.
9.
10.
二、选择题。（每题3分，共30分）
注意：选择题，错选，即不得分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
B
B
C
A
A
C
C
D
三、解答题。（共60分）
注意：解答题应写明必要的验算步骤、证明过程。作图题必须是直尺作图。辅助线必须说明，在图中必须为虚线，否则扣1—2分。
（5分）
解：原式＝
＝......................................1分
＝
＝；................................................2分
当时，
ab＝，.......................3分
a﹣b＝，......................4分
∴原式＝．...............................................5分
（6分）
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．..............................2分
1（2）如图，△A2B2C即为所求．..............................4分
1（3）AC＝，AC扫过的面积＝...6分
23.（6分）
解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），代入y＝ax2+bx+c，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3................................1分
（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，0），
∵EF＝AE，∴﹣x2+2x+3＝x+1，解得x＝2或x＝﹣1，..............2分
∵点E不与A、B重合，∴x＝2，∴yF＝﹣x2+2x+3＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点F（2，3）；...............................................3分
（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴点C坐标为（0，﹣3a），D坐标为（1，﹣4a），.................4分
如图连接CD，AD，且AD与y轴交于点M，过点D作DN⊥x轴于N，
∴，即，解得MO＝﹣2a，
∴CM＝CO﹣OM＝﹣3a﹣（﹣2a）＝﹣a，......................5分
S1＝×CM×（AO+xD）＝×（﹣a）×（1+1）＝﹣a，
S2＝×AB×DN＝×4×（﹣4a）＝﹣8a，
∴＝．...........................................6分
24.（7分）
解：（1）90°，补全统计图如图所示：
...............................................................2分
（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝．.................................................4分
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：
..............................................................5分
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
.............................................................6分
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．..................7分
25.（8分）
解：（1）小冲骑车上坡的速度为：（6.5﹣4.5）÷0.2＝10（km/h），
平路上的速度为：10+5＝15（km/h）,
下坡的速度为：15+5＝20（km/h），................................1分
平路上所用的时间为：2（4.5÷15）＝0.6h，
下坡所用的时间为：（6.5﹣4.5）÷20＝0.1h..........................2分
所以小冲在乙地休息了：1﹣0.1﹣0.6﹣0.2＝0.1（h）；...............3分
（2）由题意可知：上坡的速度为10km/h，下坡的速度为20km/h，
所以线段AB所对应的函数关系式为：y＝6.5﹣10x，
即yAB＝﹣10x+6.5（0≤x≤0.2）．...................................4分
线段EF所对应的函数关系式为yEF＝4.5+20（x﹣0.9）．
即yEF＝20x﹣13.5（0.9≤x≤1）；............................。。....5分
（3）由题意可知：小冲第一次经过丙地在AB段，第二次经过丙地在EF段，
设小冲出发a小时第一次经过丙地，则小冲出发后（a+0.85）小时第二次经过丙地，6.5﹣10a＝20（a+0.85）﹣13.5，
得：a＝．..................................................7分
×10＝1（千米）．
答：丙地与甲地之间的距离为1千米．.............................8分
26.（8分）
解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：
如图1所示：
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADE与∠AED互余，
∵∠ADE与∠EBF互余，
∴∠AED＝∠EBF，
∴DE∥BF；......................................................2分
（2）令x＝0，得y＝12，∴DE＝12，
令y＝0，得x＝10，
∴MN＝10；.......................................................3分
（3）如图2中，
把y＝代入y＝﹣x+12，
解得：x＝6，即NQ＝6，
∴QM＝10﹣6＝4，................................................4分
∵Q是BF中点，
∴FQ＝QB，
∵BM＝2FN，
∴FN+6＝4+2FN，
解得：FN＝2，
∴BM＝4，......................................................5分
∵FM＝FN+MN＝12＝DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF＝EM，
∵∠AED＝30°，
∴∠FBE＝∠AED＝30°，
∵∠A＝90°，
∴∠ADE＝∠A﹣∠AED＝60°，
∵DE分别平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠ADE＝60°，
∵四边形DFME是平行四边形，
∴∠EMF＝∠FDE＝60°，
∠EMF
是△EMB的一个外角，∠FBE＝30°，
∴∠MEB＝∠EMF﹣∠FBE＝30°，
∵BF分别平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠FBE＝60°∠HBM＝30°，
∴在△EMB中，∠EHB＝180°﹣∠ABC﹣∠MEB＝90°，
∵BM＝4，
∴EM＝BM＝4，
∴在△EMB中，∠EHB＝90°∠HBM＝30°，
∴MH＝BM＝2，
∴EH＝EM+MH＝6，...............................................6分
由勾股定理得：，
在RT△EHB中，
∴，
当DP＝DF时，﹣x+12＝4，
解得：x＝，
∴BQ＝BN﹣NQ＝14﹣x＝14﹣＝，.............................7分
∵＞
∴BQ＞BE．......................................................8分
27.（10分）
解：（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，
根据题意，得：，解得：，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元；........................2分
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
根据题意，得：，...........................4分
解得：52≤m≤53，
所以购买的方案有：
1、购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
2、购进A种树苗53棵，B种树苗47棵；.............................7分
（3）方案一的费用为52×30+48×20＝2520元，
方案二的费用为53×30+47×20＝2530元，.............................9分
所以购进A种树苗52棵，B种树苗48棵所付工钱最少，最少工钱为2520元．
................................................................10分
28.（10分）
解：（1）设A（x1，0），x1＞0，
∵直线y＝kx﹣1交y轴负半轴于点B，∴B（0，﹣1），
∴，
∴x1＝3（另一值不符题意，舍去），∴A（3，0），
∴3k﹣1＝0，∴k＝；.............................................2分
（2）设D（x0，y0），由题意可得P（0，t），t＞0，
∵PD⊥AB，∴kPD×kAB＝﹣1，
∴×＝﹣1，∴y0＝﹣3x0+t，
∵D在AB上，
∴y0＝x0﹣1，
∴D，0＜t≤9，
∴d＝AD＝（0＜t≤9）；..5分
（3）∵d＝，∴t＝5，∴P（0，5），
∵AH＝HP，设H（0，h），0＜h＜5，∴5﹣h＝，∴h＝，∴H（0，），
∵∠AHO+2∠OHF＝180°，∠AHO＝2∠APO，∴2∠APO+2∠OHF＝180°，
∴∠APO+∠OHF＝90°，∴FH⊥AP，∵P（0，5），A（3，0），
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+5，∴直线FH的解析式为y＝x+，
∵∠APG+∠AGF＝2∠FOH，∴2∠FOH﹣∠AGF＝30°，
∵∠AGF﹣∠FOH＝15°，∴∠FOH＝45°，
设F（x0，﹣x0），将其代入y＝x+，可得x0＝﹣1，
∴F（﹣1，1）．...................................................10分绝密★启用前
哈尔滨市重点高中2021级高一入学考试试卷
数
学
试
卷
考生注意：
1.考试时间120分钟
2.全卷共三道大题,总分120分
题号
一
二
三
总分
21
22
23
24
25
26
27
28
得分
得分
评卷人
一、填空题。（每题3分，共30分）
1.据美国媒体报道，截止2021年6月11日，美国累计新冠肺炎确诊病例达到3427万，将数
字3427万用科学记数法表示应为
．
2．在函数中，自变量x的取值范围是
．
3.如图，点D在△ABC内部，△DAB≌△EAC，若添加一个条件：
1
，则△ADE等边三角形．
4.若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则k的取值范围为
．
5.在一个不透明的袋中装有材质、大小完全相同的红球和黑球共100个，小明每次摇匀后随
机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的
频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有
个．
6.如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于弧AB的处且靠近点A
的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在
CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为
．
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
7.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝cm，点O以2cm/s的速度在△ABC
边上沿A→B→C→A的方向运动．以O为圆心作半径为cm的圆，运动过程中⊙O与
△ABC三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为
秒．
8.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点M在CB的延长线上（不含点B），连
接AM并以AM为直角边作等腰直角△AMN，其中∠AMN＝90°，AM＝MN，连接AN交BC
于点D，当△CDN为等腰三角形时，BM＝
．
9.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，
使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线BA′交直线CD
于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为
．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
BC＝1，CD1为斜边AB上的中线，过点D1作D1E1⊥AC
于点E1，连接BE1交CD1于点D2；过点D2作D2E2⊥AC
于点E2，连接BE2交CD1于点D3；…次作下去，可以
得到点D4，点D5，…点Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2、
△BD3E3、…△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…，Sn，则第n个三角形△BDnEn的面积
Sn＝
．
得分
评卷人
选择题（每题3分，共30分）
11.下列运算正确的是（ ）
A．x16÷x4＝x4
B．（a2）5＝a10
C．2a2+3a2＝5a4
D．b3?b3＝2b3
12.由五个正方体组成的几何体如图所示，则该几何体的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
13.如图，两个全等的正方形的四种不同摆放中，中心对称图形有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14.网上一家电子产品店，今年1﹣4月的电子产品销售总额如图1，其中某一款平板电脑的
1销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2．
根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是（ ）
A．从1月到4月，电子产品销售总额为290万元
B．该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降
C．今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月
D．该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下
1降了
15.已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣6
B．k＞﹣2
C．k＞﹣6且k≠﹣2
D．k≥﹣6且k≠﹣2
16.如图，直线l1与反比例函数（x＞0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．
1直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足
1∠APB＝∠ADB，则m+n的值可为（ ）
A．
B．3或
C．或
D．3
17.如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，1延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使1得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则
1S△ABC为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
18.一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到
1达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（ ）
A．12种
B．13种
C．14种
D．15种
19.为了开展好“招远市城市卫生专项”行动，某单位需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A
111型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶50元/个，B型分类垃圾桶55元/个，总费用
11不超过415元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D′D″的长度是；③∠A′AF＝7.5°；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是（ ）
A．①②④
B．①③
C．②③④
D．①②③④
三、解答题。（满分60分）
得分
评卷人
21.（本题满分5分）
先化简再求值：，其中a＝，b＝．
得分
评卷人
22.（本题满分6分）
在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，△ABC的三个顶点都在格点上，点
A的坐标为（4，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C；
（3）在（2）的条件下，求AC扫过的面积．
得分
评卷人
23.（本题满分6分）
如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点D．
（1）若点C的坐标为（0，3），求该抛物线的解析式；
（2）E是线段AB上一动点（点E不与A、B重合），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，1若EF＝AE，在（1）的条件下，试求点F的坐标；
（3）当a＜0时，设△ACD的面积为S1，△ABD的面积为S2，求的值．
得分
评卷人
24.（本题满分7分）
数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数
1为
；
（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问
1重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；
（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一
1
种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方
1
式的概率．
得分
评卷人
25.（本题满分8分）
从甲地到乙地，先是一段上坡路，然后是一段平路，小冲骑车从甲地出发，到达乙地后休息
一段时间，然后原路返回甲地．假设小冲骑车在上坡、平路、下坡时分别保持匀速前进，已
知小冲骑车上坡的速度比平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时
多5km，设小冲出发xh后，到达离乙地ykm的地方，图中的折线ABCDEF表示y与x之间
的函数关系．
（1）求小冲在平路上骑车的平均速度以及他在乙地的休息时间；
（2）分别求线段AB、EF所对应的函数关系式；
（3）从甲地到乙地经过丙地，如果小冲两次经过丙地的时间间隔为0.85h，求丙地与甲地之间的路程．
得分
评卷人
26.（本题满分8分）
如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ADE与∠EBF互余，在线段BF上取点M，
N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M
匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y＝x+12，当Q为BF中点时，y＝．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．
（2）求DE，MN的长．
（3）若DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．连
1
接EM并延长交BC于点H，如图2所示，若∠AED＝30°，当DP＝DF时，通过计算
1
比较BE与BQ的大小关系．
得分
评卷人
27.（本题满分10分）
我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已
知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，
则需要800元．
（1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
（3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？
得分
评卷人
28.（本题满分10分）
如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣1交x轴正半轴于点A，交y
轴负半轴于点B，AB＝．
（1）求k的值；
（2）如图2，P为y轴正半轴上一点，过点P作PD⊥AB于点D，交线段OA于点E，设点P的纵坐标为t，线段AD的长d，求d与t的函数解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，d＝，点H在线段OP上，连接AH，AH＝HP，点G为第一象限内直线AP上方一点，连接PG、AG，∠APG＝30°，点F为第二象限内一点，连接OF、FH、FG，若FG＝AG，∠AHO+2∠OHF＝180°，∠APG+∠AGF＝2∠FOH，∠AGF﹣∠FOH＝15°，求点F的坐标．
