2021_2022学年新教材高中数学微专题培优练：5.4三角函数的图象与性质含解析

三角函数的图象与性质
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是(　　)
A．y＝tan
B．y＝cos
C．y＝sin
|2x|　　　　
D．y＝|sin
x|
2．函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是(　　)
A．
B．(－π，0]
C．(－，0]
D．(－π，π)
3．已知当x＝时，f(x)＝sin
(2x＋φ)取得最大值，则下列说法正确的是(　　)
A．x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴
B．f(x)在上单调递增
C．当x＝－时，f(x)取得最小值
D．函数y＝f为奇函数
4．(多选题)已知函数f(x)＝sin
(ωx＋φ)(ω＞0)，若f(x)在区间上是单调函数，且有－f＝f(0)＝f(π)，则ω的值可能为(　　)
A．
B．2
C．
D．1
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝tan
的定义域为________．
6．已知函数f(x)＝2sin
ωx(ω＞0)，则f(x)的最大值为________，若f(x)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．已知函数f(x)＝－cos
.
(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
8．已知函数f(x)＝cos
(Ω＞0，0≤φ＜2π)的图象关于y轴对称．
(1)求φ的值；
(2)若函数f(x)在(0，3)上单调递减，试求当Ω取得最小值时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
020)的值．
9．若函数f(x)＝，
(1)求证：y＝f(x)是偶函数；
(2)求f的值．
参考答案：
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是(　　)
A．y＝tan
B．y＝cos
C．y＝sin
|2x|　　　　
D．y＝|sin
x|
【解析】选D.对于A，y＝tan
的最小正周期为π，为非奇非偶函数，故错误；
对于B，y＝cos
＝－sin
2x，最小正周期为π，为奇函数，故错误；
对于C，y＝sin
|2x|，不是周期函数，为偶函数，故错误；
对于D，y＝|sin
x|，最小正周期为π，为偶函数，故正确．
2．函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是(　　)
A．
B．(－π，0]
C．(－，0]
D．(－π，π)
【解析】选B.函数y＝cos
x在区间[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，又已知函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，所以－π＜a≤0.所以a的取值范围是(－π，0].
3．已知当x＝时，f(x)＝sin
(2x＋φ)取得最大值，则下列说法正确的是(　　)
A．x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴
B．f(x)在上单调递增
C．当x＝－时，f(x)取得最小值
D．函数y＝f为奇函数
【解析】选B.因为当x＝时，f(x)＝sin
(2x＋φ)取得最大值，
所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
解得φ＝2kπ－，k∈Z，所以可得f(x)＝sin
，
对于A，由于sin
＝0≠±1，故错误；
对于B，令2kπ－＜2x－＜2kπ＋，k∈Z，
可得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，
可得f(x)在上单调递增，故正确；
对于C，由于sin
＝1，故错误；
对于D，y＝f＝sin
[2×－]＝－cos
2x为偶函数，故错误．
4．(多选题)已知函数f(x)＝sin
(ωx＋φ)(ω＞0)，若f(x)在区间上是单调函数，且有－f＝f(0)＝f(π)，则ω的值可能为(　　)
A．
B．2
C．
D．1
【解析】选AB.因为f(x)在上单调，所以≥，即T≥π，
所以0＜ω≤2.
若T＝π，则ω＝2，符合题意；
若T＞π，因为f(0)＝f(π)，所以直线x＝是f(x)的图象的一条对称轴，
因为－f＝f(0)，所以f(x)的图象的一个对称中心是，所以＝－＝，所以T＝3π，ω＝.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数f(x)＝tan
的定义域为________．
【解析】令x＋≠kπ＋，
解得x≠kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域为(k∈Z).
答案：(k∈Z)
6．已知函数f(x)＝2sin
ωx(ω＞0)，则f(x)的最大值为________，若f(x)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．
【解析】函数f(x)＝2sin
ωx(ω＞0)，则f(x)的最大值为2，
f(x)在区间上是增函数，
由函数f(x)＝2sin
ωx(ω＞0)，·≥，解得0<ω≤.
答案：2　
三、解答题(每小题10分，共30分)
7．已知函数f(x)＝－cos
.
(1)求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
【解析】(1)令2x－＝2kπ，k∈Z，
可得x＝kπ＋，k∈Z.
此时y＝cos
(2x－)取得最大值为1，
所以f(x)＝－cos
取得最小值为－1，
此时x＝kπ＋，k∈Z.
(2)令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
8．已知函数f(x)＝cos
(Ω＞0，0≤φ＜2π)的图象关于y轴对称．
(1)求φ的值；
(2)若函数f(x)在(0，3)上单调递减，试求当Ω取得最小值时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
020)的值．
【解析】(1)由函数f(x)＝cos
的图象关于y轴对称，所以f(－x)＝f(x)，
即cos
＝cos
＝
cos
，所以φ＝kπ；又0≤φ＜2π，
所以φ＝0或φ＝π.
(2)若φ＝π，则f(x)＝－cos
x，可知函数f(x)不满足在(0，3)上单调递减；
若φ＝0，则函数f(x)＝cos
x，由Ω＞0，0＜x＜3，
得0＜x＜，又f(x)在(0，3)上单调递减，所以≤π，解得Ω≥3；当Ω取最小值3时，f(x)＝cos
x，它的最小正周期为T＝＝6，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
020)
＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝336×(cos
＋cos
＋cos
π＋cos
＋cos
＋cos
2π)
＋cos
＋cos
＋cos
π＋cos
＝336×0＋－－1－＝－.
9．若函数f(x)＝，
(1)求证：y＝f(x)是偶函数；
(2)求f的值．
【解析】(1)因为f(x)＝
＝＝
＝＝cos
x，
即f(x)＝cos
x，x∈R.则f(－x)＝cos
(－x)＝cos
x＝f(x)，
所以y＝f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f＝cos
＝.
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