河北省石家庄二高2022届高三上学期8月阶段测试数学试题 Word版含答案

石家庄二高2022届高三上学期8月阶段测试
数学（8.29）
满分：150分
时间：120分钟
一、单选题(共40分)
1．若两条直线与相互垂直，则（
）
A．
B．
C．或
D．或
2．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（
）
A．或
B．
C．
D．或
4．已知数列是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列，其中正确命题的序号是
A．②④
B．③④
C．②③④
D．①②③④
5．若⊙与⊙相交于、两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是（
）
A．3
B．4
C．
D．
6．正项数列满足，，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．若等差数列的公差不为0，数列中的部分项组成的数列，，，，恰为等比数列，其中，，，则满足的最小的整数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
8．设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(共20分,少选得2分，错选不得分)
9．已知数列中，，，，则下列说法正确的是（
）
A．
B．是等差数列
C．
D．
10．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（
）
A．
B．2
C．
D．-2
11．设数列的前项和为，且满足，则下列说法不正确的是（
）
A．可能为等差数列
B．一定为等比数列
C．使得
D．的最小值为
12．如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点.如果直线与这两段弧只有两个交点，则m的取值可能是（
）
A．
B．0
C．
D．2
三、填空题(共20分)
13．下列命题：
①当直线经过两点，，时，直线的斜率为
②直线与轴交于一点，则直线在轴上的截距为
③在轴和轴上截距相等的直线方程为
④方程表示过点和的直线．
其中说法中正确的命题番号是______．
14．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为________．
15．已知点P是地物线上的一个动点，则点P到直线和的距离之和的最小值为________.
16．等差数列，的前项和分别为，，若，则___________.
四、解答题(共70分)
17．已知等差数列，，是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式.
（2）求证：也是等差数列.
18．已知圆：，直线：.
（1）证明直线总与圆相交；
（2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程.
19．在平面直角坐标系中，直线过点
①若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
②直线，且直线与直线关于直线对称，求直线的方程与的值．
20．已知数列满足：，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且.求数列的通项公式，并求其前项和.
21．在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
22．已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分別为，离心率为，过左焦点作直线交椭圆E于A，B两点，的周长为8.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线：y=kx+m(km<0)与圆O：相切，且与椭圆E交于M，N两点，是否存在最小值？若存在，求出的最小值和此时直线的方程.
石家庄二高2022届高三上学期8月阶段测试数学（8.29）参考答案
1．C
因为，则，解得或.
故选：C.
2．B
∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为．
故选：B
3．D
解：
由图可知，经过点作直线，当直线过点时斜率最小，过点时斜率大，
因为，，
所以，
所以，
因为，所以或，
故选：D
4．A
①：当等比数列的公比是负数时，显然数列中，存在某些项是负数，因此没有意义，故本命题是假命题；
②：因为数列是等比数列，所以有，其中是等比数列的公比，因此有
，因为，所以是等比数列，故本命题是真命题；
③：显然数列是以为首项，公比为的等比数列，但是，因此数列不能成为等比数列，故本命题是假命题；
④：因为数列是等比数列，所以有，其中是等比数列的公比，因此有
，因此数列是等比数列，故本命题是真命题.
故选：A
5．B
由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心、，
则在中，，，
斜边上的高为半弦，且，
则，即，所以.
故选：B．
6．B
，
，，
，
数列是等差数列，首项为1，公差为3，
.
，
.故选：B.
7．B
解：等差数列的公差，其子数列恰为等比数列，
由，，，可得，，，
由，得，
所以，所以，
所以子数列为首项为，公比为的等比数列，
则，所以，
由，得，
所以，解得，
所以满足的最小的整数是7．
故选：B．
8．C
设双曲线的左焦点为，设，
则根据题意得，
则双曲线的离心率为
，
令，
易知在单调递增，
且，
则，即.故选：C.
9．ABC
解：因为，①，所以②，
所以②-①得，
又因为，所以，
所以，且奇数项和偶数项均为公差为的等差数列，故AB正确；
对于C选项，，故C选项正确；
对于D选项，由，可知，不成立，故错误.故选：ABC
10．BD
设直线的方程为，联立得，
所以,，，,
由题得.
因为，
所以.满足.故选：BD
11．ACD
首先由题意，
由，得时，，
相减得，，也适合，所以，
数列是等比数列，不是等差数列，A错，B正确；
，所以不存在，使得，C错；
，．当且仅当，即时，等号成立，但，因此取不到．D错误，故选：ACD．
12．ABD
将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点，
当直线过时，，
当直线过时，，
当直线与圆弧相切时，，
当直线与⊙O弧相切时，，
当或时，
直线与两段弧有两个交点.
对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；故选:ABD
13．①④
对于①，因为直线经过两点，，时，所以直线的斜率为，故①正确；
对于②，截距不是距离，是点的纵坐标，其值可正可负．故②不正确；
对于③，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故③不正确；
对于④，此方程即直线的两点式方程变形，即，故④正确．
故答案为：①④.
14．.
由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，
则，整理得，解得.
故答案为：.
15．3
抛物线,即x2=4y的焦点坐标为
(0,1),准线方程l2:y+1=0.
由抛物线的定义,可知抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等,
所以抛物线上的点P到直线l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距离之和的最小值,转化为焦点(0,1)到直线l1:4x-3y-12=0的最小值,
.
故答案为:3.
16．16
解：
等差数列，的前项和分别为，，，
∴，
设，∴，
∴，，
∴，
设，∴，
，，
∴.
∴.故答案为：16.
17．（1）；（2）详见解析.
（1）解
设等差数列的公差为，由题意，得
解得-----------------------------------------------------3分
所以通项公式为，即.----------------------------------6分
（2）∵是公差为的等差数列，
∴，------------------------------------------------8分
于是.------------------------------------------------10分
而为常数，
所以是等差数列.
------------------------------------------------12分
18．（1）证明见解析；（2）或.
解：（1）证明：∵圆：，∴圆心，半径，
∵直线：，整理得：，
令，解得：，∴直线过定点，----------------------------------3分
∴，
∴定点在圆内，∴直线总与圆相交.
------------------------------------------------6分
（2）∵直线被圆所截得的弦长为，
∴圆心到直线的距离，--------------------------------------8分
∵直线：，
∴，
∴，解得或，
将或，代入直线：，
∴直线的方程：或.------------------------------------------------12分
19．①或；②；
①当直线的截距均为0时，则直线过点，设直线方程为，
又在直线上，则，直线方程为；-----------------------------------------3分
当直线的截距不为0时，设直线方程为，代入，
得，则直线方程为；
综上所述，直线方程为或；------------------------------------------------6分
②∵直线过点，
∴点关于直线对称的点在直线m上，
∴，解得------------------------------------------------9分
∴直线，其与直线交于点，
则点在直线l上，由直线过点，
则直线l：，即------------------------------------------------12分
20．
(1)；(2)，.
试题解析：（1）由知
数列为等差数列，且首项为1，公差为，所以；----------------------------4分
（2）∵，
∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，----------------6分
，从而，------------------------------------------------8分
，，
∴，
所以.------------------------------------------------12分
21．（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.
∵，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为
，即.------------------------------------------------3分
故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为
，即.
故所求切线方程为或.------------------------------------------------6分
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.
将代入C得方程整理得.
∴.------------------------------------------------8分
∴==.---------------------------------------10分
当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.
------------------------------------------------12分
22．（1）；（2）最小值为2，或.
（1）依题意，结合椭圆定义知的周长为4a，则有4a=8，即a=2，
又椭圆的离心率为，得，于是得，
所以椭圆E的方程为；------------------------------------------------4分
（2）因直线：y=kx+m(km<0)与圆O：相切，则，即，--6分
设，而点M在椭圆E上，则，即，又，
，
同理，于是得，--------------------------------------8分
由消去y得：，显然，
则，
又km<0，且，因此得，
----------------------------10分
令，则，当且仅当，即t=3时等号成立，
于是得存在最小值，且，的最小值为2，
由，且km<0，解得或.
所以所求直线的方程为或，即或.------------------------------------------------12分