江苏省南京第29高2022届高三上学期8月期初学情调研（第三次）数学试题 Word版含答案

南京市第29高2022届高三期初学情调研（第三次）
数学试题
本试卷共8页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.填空题4题，解答题6题，要按题号一题一题拍照上传，其中14题和16题各有两空，两空答案拍在一起上传.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.i为虚数单位，，，则（
）
A.1
B.2
C.
D.
3．把5名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有1名志愿者的分法有（
）
A．14种
B．35种
C．70种
D．100种
4.定义：将24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（0?10），中雨（10?25），大雨（25?50），暴雨（50?100）；小明用一个圆锥雉形容器接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（
）
A.小雨
B.中雨
C.大雨
D.暴雨
5.在平面四边形中，已知，，，若，则向量与夹角的余弦值为（
）
A.
B.
C.
D.
6.已知函数的大致图象如下，下列答案中e为自然对数的底数，则函数的解析式可能为（
）
A．
B．
C．
D
7.某种芯片的良品率X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（
）
A.50.13元
B.52.28元
C.65.87元
D.131.74元
附：随机变量服从正态分布，，
，.
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（
）
A.甲与丙相互独立
B.丙与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.甲与丁相互独立
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则（
）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
10.若，，且，则下列不等式恒成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
11.已知（），下面结论正确的是（
）
A．若，，且的最小值为，则
B．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围是
D．若在上单调递增，则的取值范围是
12.已知F为抛物线C：（）的焦点，下列结论正确的是（
）
A.抛物线的的焦点到其准线的距离为.
B.已知抛物线C与直线l：在第一、四象限分别交于A，B两点，若，则.
C.过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形面积的最小值为．
D.若过焦点F的直线l与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线，，切线与相交于点P，则点P在定直线上.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知多项式，则_____________.
14.已知椭圆（），焦点，（）；过的直线和圆相切，并与椭圆的第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．
（本题第一空2分，第二空3分）
15.已知抛物线C：（）的焦点F到其准线的距离为4，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________.
16.已知三棱锥的底面是边长为6的等边三形，，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的体积为__________.，球的表面积为__________..（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题满分10分）
设函数（）.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值．
18.（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为，且，，数列为等差数列，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求的前n项和.
19.（本小题满分12分）
已知正方体，点E为中点，直线交平面于点F．
（1）证明：点F为的中点；
（2）若点M为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
20.（本小题满分12分）
已知双曲线C：（，）的离心率为2，A为双曲线C上位于第二象限的动点.
（1）若点A的坐标为，求双曲线C的方程；
（2）设B，F分别为双曲线C的右顶点、左焦点，是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：
方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；
方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.
（1）求这两种方案检测次数相同的概率；
（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少，并说明理由.
22.（本小题满分12分）
（1）已知函数（）.
试讨论函数的单调性；?若，为函数的两个极值点，证明：.
（2）证明：（e为自然对数的底数，，）
南京市第29高2022届高三期初学情调研（第三次）
数学试题评分细则
1-8
BACBCDCD
9
BC
10
CD
11
BD
12
BCD
13.12；14.
；15.13
16.，
14.解：设圆心为A，直线与圆的切点为B，
过的直线和圆相切的直线为l，，（）．
将p点坐标代入（），解得，即?
．
由题意可得，所以根据勾股定理可得
，
由题意，，
故直线l的斜率，
又结合可得，
解得或（舍去），
所以椭圆的离心率为．
故答案为：；
16.
分析：球是由球心与半径确定的，为此，研究球的相关问题时，要紧紧抓住这两个要素.解决本题首先要作出一个简图，注意到本题的原图很复杂，因此，通过作截面图来把握相互的位置关系.根据题意可知两球必与正三棱锥的斜高相切，故作出过球心以及切点的截面图.
设O为外接圆的圆心.因为是边长为6的等边三角形，
所以.因为，解得.
设球的半径为R，球的半径为r.
解法1（体积法求球的半径）分析：球心与三棱锥的四个顶点的连线，将三棱锥分成四个小三棱锥，它们的体积和等于三棱锥的体积.
由等体积法可得，，
所以.
解法2（直接法求球的半径）分析：由得到关于R的等量关系求得R.
三棱锥的斜高，
因为，所以，即，解得.
所以球的体积为.
分析：利用求得球的半径r.
作截面图如图所示，可知，，则，，.
因为，则，即，解得，
所以球的表面积为.
解后反思1.在研究较为复杂的立体几何问题时，尤其是与球有关的问题时，一般地，我们可以通过作出几何体的截面图来寻找各个相关量之间的关系.
2.体积法是求点到平面的距离的一种常用方法，同时，也是求几何体内切球的半径的一种基本方法，它的本质是“算两次”思想的应用，即对于同一个数学对象，应用两种不同的方式进行计算，则它们的结果应该是相同的.
17.【解析】（1）∵，
∴，....................1
∴，.....................2
∴的最小正周期；.............................3
（2）∵，
∴，..............................................4
∴
，...................6
令，则，，
当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
所以，函数，此时.............................................9
综上：函数在上的最大值为...............................10
18.规范解答
（1）分析：数列的前n项和与通项的关系，通常利用“和”与“通项”的关系转化为数列的递推关系来进行处理，从而通过递推关系来求通项公式.
当时，.因为，所以.
当时，，，
两式相减得，即（）.（2分）
又因为，所以数列从第二项起，是公比为2的等比数列，所以.（4分）
分析：等差数列的问题应用“基本量法”来解决.
设的公差为d.因为，且，所以且，解得，，所以.（6分）
（2）分析：求数列的前n项和首先要求它的通项公式.
由（1）得（8分）
分析：由于数列的通项为分式形式，因此，采用“裂项相消法”来求解.
所以当时，
分析：裂项相消法即将数列中的一项拆分为另一个数列的两个相邻项的差的形式.在具体拆分时可从数列的分母入手，即首先将数列的分母分解为两个因式的乘积，且它们可以看作某个数列的相邻两项，然后将两个因式分别作为两个差的分母来处理，再按此方法来拆分分子.
，（10分）
，
得.（12分）
易错警示
在利用数列的前n项和与通项的关系时，要注意分类讨论思想的应用.同时，要注意验证时的情形是否适合时的通项公式，若适合，则需“合并”；若不适合，则不能“合并”，此时数列即为分段数列.
19.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】本题考查了分式不等式的求解，分类讨论，由题意对不等式进行化简，分类讨论当时，时，不等式的解集．
【解析】（Ⅰ）证明：因为为正方体，
所以，，
又因为平面，平面，
所以平面，.................2
因为平面平面，且平面，
所以，故，...............................4
所以四边形为矩形，又点E为中点，
故，
故点F为的中点；.......................................5
（Ⅱ）因为为正方体，故，，两两垂直，
以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，.....6
令正方体的棱长为2，设（），
则，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
故，令，，可取，............................7
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
可取，....................................................9
设二面角为，且为锐角，
故，
解得，故．............................................12
20.规范解答
解：（1）分析：利用双曲线的离心率和双曲线点的坐标列出a，b，c的方程组即可求解.
由离心率，得，
又，所以双曲线的方程为，......................................2
把点代入双曲线方程得，解得，
故双曲线C的方程为.（4分）
（2）分析：由于，与两直线和倾斜角有关，所以从两直线斜率入手探究，但先要考虑斜率不存在的情况.
由（1）知双曲线方程C：，所以，.
①当直线的斜率不存在时，则，，，
所以，此时.（6分）
分析：由特殊情况得，为下面的探究提供了方向.
②当直线的斜率存在时，设，，，其中，.
因为，故，故渐近线方程为，
所以，...................................................................................7
又，，（8分）
所以
，
所以，.....................................................................11
又，所以.
综上，存在常数，满足.（12分）
解后反思
解题过程中，合情推理也有着重要的作用，解题时可以先从特殊情况进行合理的猜想，有了解题方向和明确的目标再进行推理、论证.
21.规范解答
解：（1）设方案甲中检测次数为X，则X的可能取值为1，2，3，4，5；（1分）
设方案乙中检测次数为Y，则Y的可能取值为2，3.（2分）
，
，，
，，
则X，Y的分布列分别为
X
1
2
3
4
5
P
（4分）
Y
2
3
P
（6分）
记“两种方案检测次数均为2”为事件A，
记“两种方案检测次数均为3”为事件B，则事件A，B互斥，
记“两种方案检测次数相同”为事件C，
又采用甲方案和乙方案的各事件之间是独立的，所以
（8分）
（2），
.（10分）
因为，所以乙方案检测总费用较少.（11分）
答：（1）这两种分组方案检测次数相同的概率为.
（2）预测乙方案分组检测总费用较少.（12分）
（1）由题意，可设甲方案检测的次数是X，则，
设乙方案检测的次数是Y，则，方案甲与方案乙相互独立，
，，
，，
用事件D表示方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，
则，
所以这两种方案检测次数相同的概率为；
22.（1）规范解答
①解：分析：直接通过分类讨论，利用导数讨论函数的单调性即可.
，，令，，
当，即时，，在上单调递增；.............1
当，即或时，
当时，，恒成立，在上单调递增；..........2
当时，令，，.
x
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
........................................................................................................3
综上，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.（4分）
②分析：利用极值点的必要条件，以及根与系数的关系，通过消元，构造函数进行证明.
证明：由（1）知时才有两个极值点，，
且，，不妨设，
........6
要证，即证，即，....................................7
即证.
设（），由（1）知当时，在上单调递增，，
则在上单调递减，所以.原式得证.（9分）
（2）∵
∴，
∴，
...................................1
∴
.
...................................3