江苏省南京中华学校2022届高三上学期8月零模仿真练习数学试题 Word版含答案

中华学校2021-2022学年度第一学期零模仿真考试试卷
高三数学
本卷考试时间：120分钟
总分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z的虚部为（
）
A．-i
B．1
C．i
D．-1
3．设平面向量，，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动，每人参加一项活动，每项活动至少有2人参加，但2名老师不能参加同一项活动，则不同的参加方式的种数为（
）
A．20
B．28
C．40
D．50
5．“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上一点A满足，则以点A为圆心，为半径的圆被x轴所截得的弦长为（
）
A．1
B．
C．2
D．
8.已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有（e是自然对数的底数），且，若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的有（
）
A．若随机变量X服从正态分布，，则．
B．若随机变量X服从二项分布：，则
C．若相关指数的值越趋近于0，表示回归模型的拟合效果越好
D．若相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关性越强
10．已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A．
B．函数在上单调递减
C．函数的图象关于中心对称
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
11．关于及其展开式，下列说法正确的是（
）x
A．该二项式展开式中二项式系数和是-1
B．该二项式展开式中第8项为
C．当时，除以100的余数是9
D．该二项式展开式中不含有理项
12．已知函数．则下面结论正确的是（
）
A．是奇函数
B．在上为增函数
C．若，则
D．对任意实数x恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知球O的内接正方体中，若四棱锥的体积为，则的面积为________.
14．斜率为的直线l经过双曲线（，）的左焦点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若线段的垂直平分线经过右焦点，则双曲线的离心率为__________．
15．已知数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．
16．已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．
（1）求B的大小；
（2）从①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．
问题：已知___________，___________，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
18．已知是公差为2的等差数列，，且是和的等比中项．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，求的前n项和．
19．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期/天
人数
85
205
310
250
130
15
5
（1）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期天
潜伏期天
总计
50岁以上（含50岁）
65
100
50岁以下
总计
200
（2）以这1000名患者的潜伏期不超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期不超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了该地区的3名患者，设该3名患者中潜伏期不超过6天的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：
P（）
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
附：，其中.
20．如图，在四棱锥中，平面，，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
21．已知椭圆C：（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点且不垂直于y轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若B点关于x轴的对称点为E，证明：直线与x轴相交于定点.
22.已知函数．
（1）若在上为单调递减函数，求实数a的取值范围；
（2）设函数，，若恰有1个零点，求实数a的取值范围．
参考答案
1．B【详解】根据题意，得，，则.
2．D【详解】解：因为，，所以，所以，所以复数z的虚部为-1；
3．A【详解】由题得，所以，所以
4．B【详解】分两步：（1）安排2名老师：共种不同的参加方式；
（2）安排4名学生：又分两类：①参加两项活动的学生人数为一项3人，一项1人：共种不同的参加方式；②参加两项活动的学生人数各2人：共种不同的参加方式.所以，共有种不同的参加方式.故选：B.
5．A【详解】等价于等价于或，
∴是的充分不必要条件
6．B【详解】，，，因为，所以.
7．C【详解】由抛物线C：，可得，
由抛物线定义可得，则，，
则以点A为圆心，为半径的圆被x轴所截得的弦长为.
8．A【详解】即，
所以，则，所以，
因为，所以，
所以，
，
由得，此时单调递增，
由得或，此时单调递减，
所以时，取得极大值为，
当时，取得极小值，
又因为，，，
且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：
则，解得，
所以时，的解集中恰有两个整数-1，-2，
故实数m的取值范围是
9．ABD【详解】对于A：若随机变量X服从正态分布，，则，．故A正确；
对于B：若随机变量X服从二项分布：，则．故B正确；
对于C：相关指数的值越大，表示回归模型的拟合效果越好，故C错误；
对于D：若相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关性越强．故D正确
10．AD
【详解】解：对于A：根据函数的图象：（），解得（），
由于，所以当时，．
由于，所以，解得．
所以，故A正确；
对于B：令（），
解得：（），
所以函数的单调递减区间为（），
故函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C：令（），解得（），
所以函数的对称中心为（），由于k为整数，故C错误；
对于D：函数，故D正确；
11．BC【详解】对于选项A：令得展开式各项系数和为-1，但其二项式系数和为，故A错误；
对于选项B：展开式中第8项为，故B正确；
对于选项C：当时，
，
∵能被100整除，
而，除以100的余数是9，
∴当时，除以100的余数是9，故C正确；
对于选项D：的展开式的通项，当为整数，即，3，．．．．，2021时，为有理项，故D错误.
故选：BC.
12．BCD【详解】
函数的定义域为R，
由，得是偶函数，故A不正确；
当时，，，，
所以在上为增函数，故B正确；
因为是偶函数，所以，
又，所以，故C正确；
时，，时，，
即时，，又在上单调增，且是偶函数，所以，即D正确.
13．8【详解】由题意知，球心O在内接正方体的体对角线的中点，如图，设正方体的棱长为a，则四棱锥的高为，且四边形为正方形，因为四棱锥的体积为，计算得：，所以，易知是等边三角形，且边长为，所以的面积为.
14．【详解】设双曲线的焦距为，
因为线段的垂直平分线经过右焦点，所以，
由双曲线的定义可得：，
设直线l的倾斜角为θ，则，所以θ为锐角，
所以由可得：，
在中，由余弦定理可得：
，
解得：，所以离心率，故答案为：3.
15．【答案】
16．【详解】∵，∴，∴，∵，∴，
当时，，，
由得，由得，所以在上递减，在上递增，
∴在处取得最小值e，∴，
∴，
令，则，∴
当时，取得最小值，当时，取得最大值0，
所以的取值范围是.
17．【详解】（1）因为，由正弦定理可得，……………2分
因为，所以即，
因为
所以，因为即
……………………………4分
（2）若选择条件①②，
由余弦定理
可得，解得，故，……………………………8分
所以
……………………………10分
若选择条件②③
由正弦定理可得，可得
……………………………8分
所以
……………………………10分
若选择条件①③
这样的三角形不存在，理由如下：
在三角形中，，
所以，
所以，所以
……………………………8分
又因为
所以与矛盾
所以这样的三角形不存在
……………………………10分
18．【详解】（1）由题意，，，．
∴，解得，∴．……………………………4分
（2）∵，①
∴（）．②
得，即（）……………………………6分
当时，不满足上式，
∴．……………………………8分
当时，，则，
……………………………10分
两式相减得，
∴，
当时，显然适合上式，故（）．………………12分
19．解：（1）根据题意，1000名患者中潜伏期超过6天的共有人，
所以200人应该抽取潜伏期超过6天的有人，
补充完整的列联表如下：
潜伏期天
潜伏期天
总计
50岁以上（含50岁）
65
35
100
50岁以下
55
45
100
总计
120
80
200
………………………………………1分
则，………………………………………3分
，
所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；………………………………………4分
（2）由题可得该地区1名患者潜伏期不超过6天发生的概率为，……5分
设调查的3名患者中潜伏期不超过6天的人数为X，
则，，1，2，3．
，，
由，即，
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
…………………………………………………………………………10分
∴随机变量X的期望为.……………………………12分
20．【详解】
解：（1）在梯形中，过点C作于点H.
由已知可知，，，.
所以，即，①
因为平面，平面，
所以，②
…………………………………………2分
由①②及，得平面.
又由平面，所以平面平面.…………………………………………4分
（2）因为，，两两垂直，所以以A为原点，
以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标，…………5分
可得，，，，，
，.
设平面的法向量为，
则，取，则，，
则.……………8分
平面的一个法向量为，
所以，………………10分
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.…………………………12分
21．【详解】解：（1）由题意可知，，，则解得，
∴椭圆C的标准方程为；…………………………………………4分
（2）由题意可知直线l一定存在斜率，设斜率为k，设直线l的方程为，
联立消去y并化简得：，………………………6分
∴，∴，…………………………7分
设、，则，，，
∴直线的斜率，
则直线的方程为，…………………………9分
当直线与x轴相交时，
则
，…………………………11分
∴直线与x轴相交于定点.…………………………12分
22.（1）∵在上为单调递减函数，∴对任意恒成立…2分
∴，则，令，．则，
∴在单调减，则的最小值为
∴，即…………………………………4分
（2）①，，所以，
当时，，所以在单调递增，
又因为，所以在上无零点.…………………………6分
当时，，使得，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，，
所以若，即时，在上无零点，…………………………8分
若，即时，在上有一个零点，……………………10分
当时，，在上单调递减且，所以在上无零点，…………………………12分