江苏省扬州市邗江区蒋王高中2022届高三上学期8月第一次检测数学试题 Word版含答案

2021-2022蒋王中学高三数学第一次检测试卷
2021.8.15
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．己知复数，为z的共轭复数，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知全集为，集合,，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数的导函数为，若，则的大小关系不可能为(
)
A.
B.
C.
D.
4．函数的图像可能是
（
）
5．已知随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．0.12
B．0.22
C．0.32
D．0.42
6．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（
）
A．
B．
C．20
D．21
7．某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（
）
A．216种
B．240种
C．288种
D．384种
8．体积为的三棱柱，所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45°．则球O的表面积是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（
）
A．“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是空间图形的基本事实（公理）之一
B．“若，，则”是平面与平面平行的性质定理
C．“若，，，则”是直线与平面平行的判定定理
D．若，，，，则
10．设随机变量X的分布列为
其中．则下列说法正确的是（
）
A．a＋b＝1
B．E(X)＝26
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)有最小值
11．已知定义在R上的奇函数f（x）图像连续不断，且满足f（x＋2）＝f（x），则以下结论成立的是
A．函数f（x）的周期T＝2
B．
f(2019)
＝f(2020)＝0
C．点（1，0）是函数y＝f（x）图像的一个对称中心
D．f(x)在上有4个零点
12．如图，是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，，．现将沿斜边AC翻折成（不在平面ABC内）．若M，N分别为BC和的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（
）
EMBED
Equation.DSMT4
平面；
B．与BC不可能垂直
C．二面角正切值的最大值为
D．直线与DM所成角的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为______．
14．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，则在这段时间内吊灯能照明的概率是
．
15．已知随机变量,则当时,
=
．
16．四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，，则球的体积是__________；设、分别是、中点，则平面被球所截得的截面面积为__________.
（前一空2分，后一空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知是定义在上的偶函数，当时，．
（1）当时，求函数的解析式；
（2）解关于的不等式．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若是定义在R上的偶函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若，求函数的零点．
19．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若的定义域为，求的取值范围；
（2）若不等式有解，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
21．（本小题满分12分）
2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
（Ⅰ）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（Ⅱ）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
附：若随机变量T服从正态分布，则，，.
22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当求的单调区间；
（2）若函数有两个极值点且恒成立，求实数的取值范围.
2021-2022蒋王中学高三数学第一次检测试卷参考答案
2021.8.15
参考答案：
一、选择题：1、C;
2、D；3、B；4、D
；5、C；6、A；7、D；8、A；9、CD；10、AC；11、ABC
；12、AD；
二、填空题：
13、；
14、；15、5.76
；
16、
；
三
、解答题：
17．解：（1）当时，，，
又为偶函数，所以．（5分）
（2）当时，，
所以在单调递增．
又为偶函数，所以．
所以，两边平方，整理得，
解得或．（10分）
18、解：（1）是定义在R上的偶函数．
，即，
故．
函数，
因为．
所以满足题意．（6分），若没有检验，扣2分；若用偶函数定义求解，相应给分
依题意，令，
则有，得，
令，则，
解得．
即．
函数有两个零点，分别为和．（12分）
19．解：（1）要使的定义域为，只需在上恒成立．
令，只需在上恒成立．
当，即时，在单增，恒有，
因此，对任意均成立．
当，即时，在单减，单增，只需，
即，解得，所以．
综上，的取值范围为．（6分）
（2）若不等式有解，即，
可得有解．
因为当时，，所以，对任意实数，总存在，使得，即有解．
由可得，．
令，，，
显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以当时，取最大值，
所以，即．（12分）
20解
：(1)因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.
设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，
PA＝2，PE＝2EC，故PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，
所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，
由此知PC⊥EF.
PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.（6分）
(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．
因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.
又平面PAB∩平面PBC＝PB，
故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.
BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.
设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.
设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.
所以PD与平面PBC所成的角为30°.（12分）
若步骤有问题或者未能解到底，酌情给分
21解：
（Ⅰ）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
，即10∶04
（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60)这一区间内的车辆数，
即，
所以X的可能的取值为0，1，2，3，4.
所以，
，，
，
.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
（8分）
（Ⅲ）由（1）得，
所以，
估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，
由，得
，
所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为.
（12分）
22.解：（1）的定义域为，求导得，…1分
令，得，解得，……………………2分
当时，，故在上单调递减。……………………3分
当时，，故在上单调递增。……………………4分
综上，的单调递减区间为；的单调递增区间为.………………5分
（2）的定义域为，求导得，……………6分
有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根
，，，，……………………7分
此时不等式恒成立，等价于对恒成立，
可化为恒成立，………………8分
令，
则，
，，，
在恒成立，在上单调递减，
，
.
故实数的取值范围是.……………………12分