湖南师大附高2022届高三上学期月考(一)数学试题 Word版含答案

湖南师大附中2022届高三月考试卷（一）
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分
得分：_____
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知是虚数单位，则化简的结果为（
）
A.
B.
C.
D.1
3.已知向量，，则“”是“为钝角”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设函数，则函数的图象可能为（
）
A.
B.
C.
D.
5.直线过抛物线的焦点且与抛物线交于，两点，若线段，的长分别为，，则的最小值是（
）
A.10
B.9
C.8
D.7
6.已知函数若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
7.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，假如村长给6位“萌娃”布置一项到、、三个位置搜寻空投食物的任务，每两位“萌娃”搜寻一个位置.考虑到位置远近及年龄大小，Grace不去较远的位置，多多不去较近的位置，则不同的搜寻安排方案有（
）
A.20种
B.40种
C.42种
D.48种
8.如图，，是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点，.若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.在“新冠肺炎”疫情期间，各口罩企业都加大了生产力度，如图是2020年第一季度、、、、五个企业的生产量情况，下列叙述正确的是（
）
A.2020年第一季度生产量增速由高到低排位第5的是企业
B.2020年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的企业只有一个
C.2019年同期企业的生产总量不超过2000万只
D.与2019年同期相比，各企业2020年第一季度的生产总量都实现了增长
10.在等差数列中，，，且，则使的前项和成立的自然数可能为（
）
A.17
B.18
C.19
D.20
11.已知函数（，），满足，，且在上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（
）
A.
B.
C.在上有且仅有4个极大值点
D.在上单调递增
12.已知实数，，满足，其中是自然对数的底数，那么的值可能是（
）
A.8
B.6
C.10
D.7
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中最高次项的系数为______.（用数字）
14.设满足，则_____.
15.已知正方形边长为1，，分别是线段，上的动点，则的最小值是______.
16.如图，已知是边长为1的等边三角形，是边上异于端点的一个动点，于点，将沿翻折至的位置，其中为直二面角，则四棱雉体积的最大值为_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
在中，，，分别为角，，的对边已知，，若_____.
在横线上选择下面一个序号作为条件，求的面积及边上的高.
①；②；③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.（本小题满分12分）
已知数列满足，.
（1）证明为等差数列，并求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，在五面体中，平面平面，，，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）
某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率.
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21.（本小题满分12分）
已知双曲线的左、右顶点分别为和，和）是双曲线上两个不同的动点.
（1）求直线与交点的轨迹的方程；
（2）已知点，过点且斜率为（）的直线交曲线于另一点，设直线：，延长交直线于点，线段的中点为，求证：点关于直线的对称点在直线上.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，（）是函数的两个极值点，证明：恒成立.
炎德·英才大联考湖南师大附中2021届高三月考试卷（一）
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.B【解析】∵，，∴.
2.D【解析】∵，∴.
3.D【解析】由题意得，.
若，故充分性不成立.
若为钝角，则，且（），解得且.
故“”是“为钝角”的必要不充分条件.
4.B【解析】函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，C；又，排除D.
5.B【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
如图所示，作于，于，过点作于，
由抛物线的定义可得，，
，，∴，化简得：，
∴，
当且仅当时等号成立.所以的最小值为9.
6.B【解析】令，则方程等价于，
由选项知，则，所以由，得，
则关于的方程有且只有一个实数根等价于关于的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：
当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；
当时，要使直线与的图象只有一个交点，
则只需要当时，直线与的图象没有交点，
所以，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是，故选B.
7.C【解析】分两类，第一类，多多去较远的Δ位置，从不包含Grace的4位“萌娃”选一位去，剩下的4位“萌娃”平均分配到，，故有种，
第二类，多多去位置，则先从不包含Grace的4位“萌娃”选2位去，再从剩下的3位中选一位去，剩下的两位到，故有种，
根据分类计数原理，不同的搜寻安排方案共有
8.A【解析】连接，，设，则由题意可得，
因为，为双曲线上的点，所以，，
因为为的中点，且，
所以，所以，所以，
所以，，，
在直角三角形中，，
所以在三角形中，
由余弦定理可得，
所以可得，即.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.AD【解析】由折线图可知A，D正确；，故C错误；2020年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的有企业均第一，企业均第四，共有2个，故B错误.
10.ABC【解析】∵为等差数列，，，∴，又∵，∴，即，由，，故使的前项和成立的最大的自然数为19，故选ABC.
11.CD【解析】由题意函数为图象的一条对称轴，为函数图象的一个对称中心，，所以，，且，，所以，，因为在上有且仅有7个零点，又，所以，所以，，又，所以，所以选项AB错误.所以，令，，得，，当，解得，因为，所以.故在上有且仅有4个极大值点，由得，，即在上单调递增，所以在上单调递增，选项CD正确，故选CD.
12.AC【解析】由；又由；由，得，所以切点坐标为，所以的最小值为，故选AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
14.
15.【解析】设（），、中点分别为，，则
.
当且仅当时等号成立.所以的最小值是.
另解：本題还可建立平面直角坐标系，用坐标法求解，过程略.
16.【解析】设，则，容易验证平面，
四边形的面积，
故，利用导数可得当时，体积最大值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤。
17.【解析】由，，得，由余弦定理，…………2分
对①，，由，得，…………6分
故，……8分
又，得.…………10分
对②，，由，得，…………6分，下同.
对③，，由，得，…………6分，下同.
18.【解析】（1）由，得，
故是公差为2的等差数列，…………3分
故，由，得，……5分
故，于是.…………6分
（2）依题意，，…………8分
故
.…………12分
19.【解析】解法一：（1）如图，设中点为，过作，
则有，
又平面平面，所以平面，所以，
又，故、、三条直线两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，……2分
依题意可得，，，，，
设平面的法向量，
则有取，……4分
取平面的法向量，
因为，所以平面平面.……5分
（2）设（），则，，
设平面的法向量，
则有取.…………8分
，易知二面角的大小与向量、的夹角大小一致，
所以，化简得，解得或（舍），
所以.…………11分
所以线段上存在一点，使得二面角的余弦值等于，此时.…………12分
解法二：（1）设、的中点分别为、，连结、、，
因为、分别为、的中点，所以，且，
又因为，且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为是中点，且，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面.……5分
（2）过作垂直于，垂足为，过作，垂足为，连结，
故即二面角的平面角，……6分
因为，故，所以，
又，故，从而为等腰直角三角形，
设（），则，故，
所以.…………8分
在中可求得，所以，
令，化简得，解得或（舍），
所以，…………11分
所以线段上存在一点，使得二面角的余弦值等于，
此时.…………12分
20.【解析】（1）依题意，，，
.
易知年入流量超过12的年数服从二项分布，
所以在未来4年中至多有1年的年入流量超过12的概率为
.…………4分
（2）记水电站年总利润为（单位：万元）.
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于4，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，
.…………6分
②安装2台发电机的情形.
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此
当时，丙台发电机运行，此时，
因此.
由此得的分布列如下：
4200
10000
0.2
0.8
所以，.……8分
③安装3台发电机的情形.
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此；
当时，丙台发电机运行，
此时，因此；
当时，三台发电机运行，此时，
因此.
由此得的分布列如下：
3400
9200
15000
0.2
0.7
0.1
所以.…………11分
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.…………12分
21.【解析】（1）设直线与的交点为，
∵、是双曲线的左、右顶点，∴，，
：，：，…………2分
两式相乘得，而在双曲线上，
所以，即，
所以，化简得：，即.…………4分
又当时，不合题意，去掉左右顶点.
∴直线与的交点的轨迹的方程是（）；…………5分
（2）直线的方程为，将代入得，
所以.因为为线段的中点，所以，因为点的坐标为，
所以直线的斜率，……6分
联立消去得：，
由，且，∴，所以点的坐标为.……8分
所以直线的斜率，……10分
而直线的斜率为，若设，则有，
即，所以点关于直线的对称点在直线上.…………12分
22.【解析】（1）的定义域为，
.……1分
①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；…………2分
②当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；……3分
③当时，则，所以在上单调递增；…………4分
④当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
在时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.…………5分
（2），
则的定义域为，，
若有两个极值点，，（），
则方程的判别式，且，，所以，……7分
因为，所以，得，……8分
所以，
设，其中，
令得，…………9分
又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，…………11分
而，∴，
从而恒成立.