12.2 三角形全等的判定同步练习 2020-2021学年 人教版八年级数学上册（Word版 含答案）

12.2
三角形全等的判定（第四课时）
一、选择题
1．在下列条件中，一定不能保证两直角三角形全等的是（　　）
A．两直角边对应相等
B．一直角边与一锐角对应相等
C．两锐角对应相等
D．斜边与一锐角对应相等
2．如图，要量湖两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的是（　　）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
3．如图，用尺规法作∠DEC＝∠BAC，作图痕迹的正确画法是（　　）
A．以点E为圆心，线段AP为半径的弧
B．以点E为圆心，线段QP为半径的弧
C．以点G为圆心，线段AP为半径的弧
D．以点G为圆心，线段QP为半径的弧
4．一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了三块，如图所示，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能买一块与原来一模一样的三角形模具呢？答案是肯定的，那么他该带哪款去？（　　）
A．不能
B．带①
C．带②
D．带③
5．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．AB＝3，BC＝4，CA＝8
D．∠C＝90°，AB＝6
6．下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．一组边对应相等
B．两组直角边对应相等
C．两组锐角对应相等
D．一组锐角对应相等
7．如图，AB∥CD，AD∥BC；则图中的全等三角形共有（　　）
A．5对
B．4对
C．3对
D．2对
8．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（　　）
A．两个三角形全等
B．两个三角形一定不全等
C．如果还有一角相等，两三角形就全等
D．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等
9．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　）
A．第1块
B．第2块
C．第3块
D．第4块
10．下列叙述中：
①任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；
②以a，b，c为边（a，b，c都大于0，且a+b＞c）可以构成一个三角形；
③一个三角形内角之比为3：2：1，此三角形为直角三角形；
④有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等；
正确的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
11．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，请你添加一个条件，写出一个正确结论（不在图中添加辅助线），条件是　
　，结论是　
　．
12．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，要说明△ABC≌△A′B′C′，还需增加的一个条件是　
　．
13．如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，若AB＝8，AD＝3，则DC＝　
　．
14．在△ABC和△A′B′C中，∠A＝∠A′，CD与C′D′分别为AB边和A′B′边上的中线，再从以下三个条件：①AB＝A′B′；②AC＝A′C′；③CD＝C′D′中任取两个为题设，另一个作为结论，请写出一个正确的命题：　
　．（用题序号写）
15．△ABC中，∠A＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝　
　°．
三、解答题
16．已知，如图，△ABC为等边三角形，D是BC延长线上一点，联结AD，以AD为边作等边三角形ADE，联结CE，用你学过的知识探索AC，CD，CE三条线段之间的数量关系，试写出探究过程．
17．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，垂足为点E，以试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
19．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　
　CF；EF　
　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　
　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
20．如图所示，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E与CD相交于点F，DH⊥BC于点H，交BE于点G，下列结论：①AD+CF＝BD；②GD＝FD；③CE＝BF；④DH∥AF．其中正确的是　
　．
21．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
22．如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
23．已知AE⊥AB，DA⊥AC，AE＝AB，AD＝AC．直线MN过点A，交DE、BC于点M、N．
（1）若AM是△EAD中线，求证：AN⊥BC；
（2）若AN⊥BC，求证：EM＝DM．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在下列条件中，一定不能保证两直角三角形全等的是（　　）
A．两直角边对应相等
B．一直角边与一锐角对应相等
C．两锐角对应相等
D．斜边与一锐角对应相等
【分析】根据三角形全等的判定方法，利用直角三角形隐含的直角相等的条件，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两直角边对应相等可以利用“SAS”证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、一直角边与一锐角对应相等，可以利用“AAS”证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、两锐角对应相等，不能保证两直角三角形全等，故本选项符合题意；
D、斜边与一锐角对应相等，可以利用“AAS”证明两三角形全等，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，要量湖两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的是（　　）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
3．如图，用尺规法作∠DEC＝∠BAC，作图痕迹的正确画法是（　　）
A．以点E为圆心，线段AP为半径的弧
B．以点E为圆心，线段QP为半径的弧
C．以点G为圆心，线段AP为半径的弧
D．以点G为圆心，线段QP为半径的弧
【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．
【解答】解：先以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点Q，P；
再以点E为圆心，AQ的长为半径画弧，交AC于点G，
再以点G为圆心，PQ的长为半径画弧．
故选：D．
4．一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了三块，如图所示，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能买一块与原来一模一样的三角形模具呢？答案是肯定的，那么他该带哪款去？（　　）
A．不能
B．带①
C．带②
D．带③
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：D．
5．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．∠A＝36°，∠B＝45°，AB＝4
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．AB＝3，BC＝4，CA＝8
D．∠C＝90°，AB＝6
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理及三角形三边关系即可．
【解答】解：A、符合全等三角形的ASA，能作出唯一三角形；
B、属于全等三角形判定中的SSA情况，不能作出唯一三角形；
C不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形；
D只有两个条件，不能作出唯一三角形．
故选：A．
6．下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．一组边对应相等
B．两组直角边对应相等
C．两组锐角对应相等
D．一组锐角对应相等
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：HL、SAS、AAS、ASA分别进行分析即可．
【解答】解：A、一组边对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故此选项错误；
B、两组直角边对应相等，可利用SAS判定两个直角三角形全等，故此选项正确；
C、两组锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故此选项错误；
D、一组锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故此选项错误；
故选：B．
7．如图，AB∥CD，AD∥BC；则图中的全等三角形共有（　　）
A．5对
B．4对
C．3对
D．2对
【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，BO＝DO，EO＝FO，∠DAO＝∠BCO，
又∠AOB＝∠COD，∠AOD＝∠COB，∠AOE＝∠COF，
∴△AOB≌△COD（SSS），△AOD≌△COB（SSS），△ABC≌△CDA（SSS），△ABD≌△CDB（SSS）．
故图中的全等三角形共有4对．
故选：B．
8．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（　　）
A．两个三角形全等
B．两个三角形一定不全等
C．如果还有一角相等，两三角形就全等
D．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等
【分析】此题是一道开放性题，实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况．此处可以运用排除法进行分析．
【解答】解：两个三角形有两个角对应相等，那么第三个角也相等，这两个三角形的关系是全等或相似．所以排除A、B、C；
D、如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等，符合AAS，可证三角形全等．
故选：D．
9．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（　　）
A．第1块
B．第2块
C．第3块
D．第4块
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
10．下列叙述中：
①任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；
②以a，b，c为边（a，b，c都大于0，且a+b＞c）可以构成一个三角形；
③一个三角形内角之比为3：2：1，此三角形为直角三角形；
④有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等；
正确的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有一条高在三角形的内部，两条在三角形的两边上，钝角三角形的一条高在三角形的内部，两条高在三角形的外部，根据以上内容即可判断①；举出反例a＝2，b＝c＝1，满足a+b＞c，但是边长为1、1、2不能组成三角形，即可判断②；设三角形的三角为3x°，2x°，x°，由三角形的内角和定理得：3x+2x+x＝180，求出3x＝90，得出三角形是直角三角形，即可判断③；根据有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等即可判断④．
【解答】解：∵锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有一条高在三角形的内部，两条在三角形的两边上，钝角三角形的一条高在三角形的内部，两条高在三角形的外部，∴①正确；
∵当a＝2，b＝c＝1时，满足a+b＞c，但是边长为1、1、2不能组成三角形，∴②错误；
∵设三角形的三角为3x°，2x°，x°，
∴由三角形的内角和定理得：3x+2x+x＝180，
∴x＝30，
3x＝90，即三角形是直角三角形，∴③正确；
∵有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等，∴④正确；
故选：C．
二、填空题
11．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，请你添加一个条件，写出一个正确结论（不在图中添加辅助线），条件是　AB＝AC　，结论是　BD＝CD　．
【分析】这是一道开放性的题，只要添加一个条件并结合已知能证得结论即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
故答案为：AB＝AC，BD＝CD．
12．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，要说明△ABC≌△A′B′C′，还需增加的一个条件是　AC＝A′C′　．
【分析】本题是开放题，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，具备了一组边和一组角分别对应相等，故添加AC＝A′C′，根据SAS判定△ABC≌△A′B′C′．此题答案不唯一．
【解答】解：所添条件为：AC＝A′C′．
∵AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
故填AC＝A′C′．
13．如图，已知BD＝CE，∠B＝∠C，若AB＝8，AD＝3，则DC＝　5　．
【分析】先根据“AAS”证明△ABD≌△ACE，则AB＝AC＝8，然后计算AC﹣AD即可．
【解答】解：在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB＝AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣3＝5．
故答案为5．
14．在△ABC和△A′B′C中，∠A＝∠A′，CD与C′D′分别为AB边和A′B′边上的中线，再从以下三个条件：①AB＝A′B′；②AC＝A′C′；③CD＝C′D′中任取两个为题设，另一个作为结论，请写出一个正确的命题：　如果①②，那么③　．（用题序号写）
【分析】根据全等三角形的判定和性质进行解答．
【解答】解：∵在△ABC和△A′B′C中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，AC＝A′C′，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴CD＝C′D′．
故如果①②那么③．
15．△ABC中，∠A＝70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC＝　125　°．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠A＝70，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+ACB）＝125°，
故答案为：125．
三、解答题
16．已知，如图，△ABC为等边三角形，D是BC延长线上一点，联结AD，以AD为边作等边三角形ADE，联结CE，用你学过的知识探索AC，CD，CE三条线段之间的数量关系，试写出探究过程．
【分析】易证AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，即可求得∠BAD＝∠CAE，即可证明△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，即可解题．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE，（SAS）
∴BD＝CE，
∴CA+CD＝CE．
17．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠PCD＝∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝ABC，然后整理得到∠PCD＝40°+∠ABC，再代入数据计算即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，
∴∠ACD＝∠ABC+40°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，
即∠CAB＝80°．
∴∠CAP＝＝50°．
18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，垂足为点E，以试猜想CE与BD的数量关系，并说明理由．
【分析】延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝EF，根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠ACF，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝CF，然后求解即可．
【解答】解：BD＝2CE．
理由如下：如图，延长BA、CE相交于点F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，
∴BD＝2CE．
19．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　＝　CF；EF　＝　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　∠α+∠BCA＝180°　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
【分析】由题意推出∠CBE＝∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．
【解答】解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．
②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．
证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．
∵∠BCA＝180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，
∴∠CBE＝∠ACF，
又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝|BE﹣AF|．
（2）猜想：EF＝BE+AF．
证明过程：
∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC+CF＝BE+AF．
20．如图所示，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E与CD相交于点F，DH⊥BC于点H，交BE于点G，下列结论：①AD+CF＝BD；②GD＝FD；③CE＝BF；④DH∥AF．其中正确的是　①②③④　．
【分析】通过证明△ABE≌△CBE，△ADC≌△FDB，可得AE＝EC，BF＝AC，AD＝DF，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵DB＝DC，CD⊥AB，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF＝22.5°，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝∠BDC＝90°，
∴∠BGH＝67.5°＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠DGF，
∴DG＝DF，故②正确，
∵∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，∠AEB＝∠CEB，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝EC，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠CAD+∠ABE＝90°，
∴∠ACD＝∠ABE，
又∵BD＝CD，∠BDF＝∠CDA＝90°，
∴△ADC≌△FDB（AAS），
∴BF＝AC，AD＝DF，
∴AD+CF＝DF+CF＝BD，故①正确；
∵AC＝2CE，
∴CE＝AC＝BF，故③正确，
∵DB＝DC，∠BDC＝90°，DH⊥BC，
∴∠CDH＝45°，
∵AD＝DF，∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝45°＝∠CDH，
∴AF∥DH，故④正确，
故答案为：①②③④．
21．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF＝BD；
（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF＝BD；
（3）Ⅰ．AF+BF′＝AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD＝AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD，所以AF+BF′＝AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF＝AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF＝AB+BF′．
【解答】解：（1）AF＝BD；
证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC＝AC，∠BCA＝60°（等边三角形的性质）；
同理知，DC＝CF，∠DCF＝60°；
∴∠BCA﹣∠DCA＝∠DCF﹣∠DCA，即∠BCD＝∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD＝AF（全等三角形的对应边相等）；
（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF＝BD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF＝BD仍然成立；
（3）Ⅰ．AF+BF′＝AB；
证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD＝AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′＝AD，
∴AF+BF′＝BD+AD＝AB；
Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF＝AB+BF′；
证明如下：在△BCF′和△ACD中，
，
∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′＝AD（全等三角形的对应边相等）；
又由（2）知，AF＝BD；
∴AF＝BD＝AB+AD＝AB+BF′，即AF＝AB+BF′．
22．如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN＝DC，再证明BN＝DN即可；
（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；
（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN＝∠AHE＝90°，
∴∠ANH＝∠AEH，
∴AN＝AC，
∴NH＝CH，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN＝DC，
∴∠DNH＝∠DCH，
∴∠AND＝∠ACB，
∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，
∴∠B＝∠BDN，
∴BN＝DN，
∴BN＝DC；
（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：
由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，
∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，
∴∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，
∴∠CGE＝∠AEN，
∴CG＝CE，
∵M是BC中点，
∴BM＝CM，
在△BNM和△CGM中，，
∴△BNM≌△CGM（ASA），
∴BN＝CG，
∴BN＝CE，
∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE；
（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：
由（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN+CE；
当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：
同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN﹣CE；
当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：
同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝CE﹣BN．
23．已知AE⊥AB，DA⊥AC，AE＝AB，AD＝AC．直线MN过点A，交DE、BC于点M、N．
（1）若AM是△EAD中线，求证：AN⊥BC；
（2）若AN⊥BC，求证：EM＝DM．
【分析】（1）延长AM至F，使MF＝AM，然后利用“边角边”证明△EMF和△DMA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAM＝∠F，全等三角形对应边相等可得EF＝AD，然后根据同角的补角相等求出∠BAC＝∠AEF，再利用“边角边”证明△ABC和△EAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAF＝∠B，再求出∠ANB＝90°，从而得证；
（2）过点E作EF∥AD交AM的延长线于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠F＝∠DAM，根据同角的余角相等求出∠EAF＝∠B，然后求出∠BAC＝∠AEF，再利用“角角边”证明△ABC和△EAF全等，根据全等三角形对应边可得EF＝AC，然后求出EF＝AD，再利用“角角边”证明△EFM和△DAM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM＝DM．
【解答】证明：（1）如图，延长AM至F，使MF＝AM，
∵AM是△EAD中线，
∴EM＝DM，
在△EMF和△DMA中，
，
∴△EMF≌△DMA（SAS），
∴∠DAM＝∠F，EF＝AD，
∵AD＝AC，
∴EF＝AC，
∵AE⊥AB，DA⊥AC，
∴∠BAC＝360°﹣90°×2﹣∠DAE＝180°﹣∠DAE，
∵∠AEF＝180°﹣∠F﹣∠EAM＝180°﹣∠DAM﹣∠EAM＝180°﹣∠DAE，
∴∠BAC＝∠AEF，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（SAS），
∴∠EAF＝∠B，
∵AE⊥AB，
∴∠EAF+∠BAN＝90°，
∴∠B+∠BAN＝90°，
在△ABN中，∠ANB＝180°﹣（∠B+∠BAN）＝180°﹣90°＝90°，
∴AN⊥BC；
（2）如图，过点E作EF∥AD交AM的延长线于F，
则∠F＝∠DAM，
∵DA⊥AC，
∴∠DAM+∠CAN＝90°，
∵AN⊥BC，
∴∠CAN+∠C＝90°，
∴∠F＝∠DAM＝∠C，
∵AE⊥AB，DA⊥AC，
∴∠BAC＝360°﹣90°×2﹣∠DAE＝180°﹣∠DAE，
∵∠AEF＝180°﹣∠F﹣∠EAM＝180°﹣∠DAM﹣∠EAM＝180°﹣∠DAE，
∴∠BAC＝∠AEF，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（AAS），
∴EF＝AC，
∵AD＝AC，
∴EF＝AD，
在△EFM和△DAM中，
，
∴△EFM≌△DAM（AAS），
∴EM＝DM．