11.3 多边形及其内角和同步练习 2020-2021年 人教版八年级数学上册（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 11.3 多边形及其内角和同步练习 2020-2021年 人教版八年级数学上册（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 182.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-04 08:23:35 | ||
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文档简介
11.3
多边形及其内角和
一、选择题
1．八边形的内角和等于（ ）
A．360°
B．1080°
C．1440°
D．2160°
2．一个正六边形共有n条对角线，这里的n＝（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
3．下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和（ ）
A．240°
B．600°
C．540°
D．2180°
4．将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（ ）
A．减少180°
B．增加180°
C．减少360°
D．增加360°
5．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）
B．（2，3）
C．（3，2）
D．（3，﹣2）
6．若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为（ ）
A．180°×n
B．180°×n﹣180°
C．180°×n+180°
D．180°×n﹣360°
7．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
8．已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N的度数和不可能为（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．630°
二、填空题
9．如图，王明想从一块边长为60cm的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此正六边形的边长是 cm．
10．如图所示，x的值为
．
11．如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝260°，则∠D的度数为 ．
12．如图，若集合A表示四边形，集合B表示正多边形，则阴影部分表示
．
13．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是 ．
14．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝
．
15．在图中，含30°的直角三角板的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中∠1+∠2＝ ．
16．今年暑假，实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派一名教师作为指导老师．为了加强同学间的协作，学校要求各班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校八年级（5）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？
为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S之间的关系用下列模型表示，如图：
根据小明设计的模型，可知该班师生之间每周至少要通电话的次数为 ．
三、解答题
17．“X”与“Y”分别是两个多边形，请根据图中“X”与“Y”的对话，解答下列各小题．
（1）求“X”与“Y”的外角和相加的度数；
（2）分别求“X”与“Y”的内角和的度数．
18．小华与小明在讨论一个凸多边形的问题，他们的对话如下：
小华说：“这个凸多边形的内角和是2020°．”
小明说：“不可能吧！你错把一个外角当作内角了！”
请根据俩人的对话，回答下列问题：
（1）凸多边形的内角和为2020°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
参考答案与试题解析
一、选择题
1．八边形的内角和等于（ ）
A．360°
B．1080°
C．1440°
D．2160°
【分析】利用多边形内角和定理：（n﹣2）?180°计算即可．
【解答】解：（8﹣2）×180°＝1080°，
故选：B．
2．一个正六边形共有n条对角线，这里的n＝（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．
【解答】解：六边形的对角线的条数n＝＝9．
故选：D．
3．下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和（ ）
A．240°
B．600°
C．540°
D．2180°
【分析】根据多边形的内角和公式得出多边形内角和一定是180的倍数，再根据各选项给出的数据找出是180的倍数的数，即可得出答案．
【解答】解：∵多边形内角和公式为（n﹣2）×180，
∴多边形内角和一定是180的倍数，
∵540°＝3×180°，
故选：C．
4．将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（ ）
A．减少180°
B．增加180°
C．减少360°
D．增加360°
【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）?180°，
n+2边形的内角和是n?180°，
因而（n+5）边形的内角和比n边形的内角和大n?180°﹣（n﹣2）?180＝360°．
故选：D．
5．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）
B．（2，3）
C．（3，2）
D．（3，﹣2）
【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置，再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了．
【解答】解：∵点A坐标为（0，a），
∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，
∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m），
∴点C、D关于y轴对称，
∵正五边形ABCDE是轴对称图形，
∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，
∴点B、E也关于y轴对称，
∵点B的坐标为（﹣3，2），
∴点E的坐标为（3，2）．
故选：C．
6．若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为（ ）
A．180°×n
B．180°×n﹣180°
C．180°×n+180°
D．180°×n﹣360°
【分析】多边形内一点，可与多边形顶点连接n条线段，构造出n个三角形，进而得出n边形的内角和公式．
【解答】解：若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成n个三角形；
可得n边形的内角和为180°×n﹣360°，
故选：D．
7．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）?180°＝1080°，
解得：n＝8．
则原多边形的边数为4或8或9．
故选：D．
8．已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N的度数和不可能为（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．630°
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）?180°，无论分成两个几边形，其内角和都能被180整除，所以不可能的是，不能被180整除的．
【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以M+N不可能是630°．
故选：D．
二、填空题
9．如图，王明想从一块边长为60cm的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此正六边形的边长是 cm．
【分析】仔细分析题目，图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以求出正六边形的周长就可求出正六边形的边长．
【解答】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是6DE，即正六边形的周长为6××60＝120cm，
所以正六边形的边长是120÷6＝20cm．
故答案为：20．
10．如图所示，x的值为 55° ．
【分析】求出与105°，60°的内角相邻的外角的度数，根据多边形的外角和是360°，即可求解．
【解答】解：∠1＝180﹣∠BAD＝180﹣105＝75°，
∠2＝180﹣∠ABC＝180﹣60＝120°．
根据多边形外角和定理可得：∠8+∠2+2x+x＝360，
即：75+120+2x+x＝360，
解得：x＝55°．
11．如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝260°，则∠D的度数为 ．
【分析】根据四边形的内角和定理确定出所求角的度数即可．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，且∠A+∠B+∠C＝260°，
∴∠D＝100°，
故答案为：100°．
．
12．如图，若集合A表示四边形，集合B表示正多边形，则阴影部分表示
．
【分析】直接利用多边形的定义分析得出答案．
【解答】解：由题意可得：四边形中正多边形只有正方形．
故答案为：正方形．
13．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是 ．
【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解决问题．
【解答】解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故答案为：84°
14．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝ 75° ．
【分析】如图，作辅助线，首先证得＝⊙O的周长，进而求得∠A3OA10＝＝150°，运用圆周角定理问题即可解决．
【解答】解：设该正十二边形的中心为O，如图10O和A3O，
由题意知，＝⊙O的周长，
∴∠A3OA10＝＝150°，
∴∠A3A7A10＝75°，
故答案为：75°．
15．在图中，含30°的直角三角板的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中∠1+∠2＝ ．
【分析】根据正八边形的特征，由多边形内角和定理：（n﹣2）?180
（n≥3）且n为整数）先求出正八边形的内角和，进一步得到2个内角的和，根据三角形内角和为180°，可求∠3+∠4的度数，根据角的和差关系即可得到图中∠1+∠2的结果．
【解答】解：如图，
（8﹣2）×180°÷8×2
＝6×180°÷8×2
＝270°，
∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，
∠1+∠2＝270°﹣90°＝180°．
故答案为：180°．
16．今年暑假，实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派一名教师作为指导老师．为了加强同学间的协作，学校要求各班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校八年级（5）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？
为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S之间的关系用下列模型表示，如图：
根据小明设计的模型，可知该班师生之间每周至少要通电话的次数为 ．
【分析】根据模型得到n个同学和老师之间共通话次，代入n＝53求解即可．
【解答】解：将八年级（5）班师生共53人看作五十三边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式可得对角线为＝1325（条），
1325+53＝1378（次）．
因此该班师生之间每周至少要通1378次电话．
故答案为：1378．
三、解答题
17．“X”与“Y”分别是两个多边形，请根据图中“X”与“Y”的对话，解答下列各小题．
（1）求“X”与“Y”的外角和相加的度数；
（2）分别求“X”与“Y”的内角和的度数．
【分析】（1）根据多边形的外角和定理可得多边形的外角和为360°，进而可得答案；
（2）设X的边数为n，Y的边数为3n，根据多边形的内角和定理结合题意可得方程180（n﹣2）+180（3n﹣2）＝1440，解出X的值，进而可得n的值，然后可得答案．
【解答】解：（1）360°+360°＝720°．
（2）设X的边数为n，则Y的边数为3n．
由题意，得180（n﹣2）+180（4n﹣2）＝1440，
解得n＝3．
所以X的内角和为180°×（4﹣2）＝180°，
Y的内角和为180°×（3×2﹣2）＝1260°．
答：“X”的内角和的度数为180°，“Y”的内角和的度数为1260°．
18．小华与小明在讨论一个凸多边形的问题，他们的对话如下：
小华说：“这个凸多边形的内角和是2020°．”
小明说：“不可能吧！你错把一个外角当作内角了！”
请根据俩人的对话，回答下列问题：
（1）凸多边形的内角和为2020°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
【分析】（1）由n边形的内角和公式为（n﹣2）180°，可知n边形的内角和一定是180°的整数倍，而2020不能被180整除，所以小明说不可能；
（2）根据这个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和为2020°列出方程，挖掘隐含着边数为正整数这个条件求解．
【解答】解：（1）∵n边形的内角和是（n﹣2）×180°，
∴多边形的内角和一定是180°的整倍数．
∵2020÷180＝11……40，
∴多边形的内角和不可能为2020°．
（2）设小华求的是n边形的内角和，这个内角为x°．
根据题意，得（n﹣2）×180°﹣x+（180°﹣x）＝2020°．
∵n为正整数，
∴2x+40必为180的整倍数．
又∵0＜x＜180，
∴＜＜．
∴n＝13或14．
∴小华求的是十三边形或十四边形的内角和．
多边形及其内角和
一、选择题
1．八边形的内角和等于（ ）
A．360°
B．1080°
C．1440°
D．2160°
2．一个正六边形共有n条对角线，这里的n＝（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
3．下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和（ ）
A．240°
B．600°
C．540°
D．2180°
4．将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（ ）
A．减少180°
B．增加180°
C．减少360°
D．增加360°
5．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）
B．（2，3）
C．（3，2）
D．（3，﹣2）
6．若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为（ ）
A．180°×n
B．180°×n﹣180°
C．180°×n+180°
D．180°×n﹣360°
7．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
8．已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N的度数和不可能为（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．630°
二、填空题
9．如图，王明想从一块边长为60cm的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此正六边形的边长是 cm．
10．如图所示，x的值为
．
11．如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝260°，则∠D的度数为 ．
12．如图，若集合A表示四边形，集合B表示正多边形，则阴影部分表示
．
13．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是 ．
14．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝
．
15．在图中，含30°的直角三角板的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中∠1+∠2＝ ．
16．今年暑假，实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派一名教师作为指导老师．为了加强同学间的协作，学校要求各班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校八年级（5）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？
为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S之间的关系用下列模型表示，如图：
根据小明设计的模型，可知该班师生之间每周至少要通电话的次数为 ．
三、解答题
17．“X”与“Y”分别是两个多边形，请根据图中“X”与“Y”的对话，解答下列各小题．
（1）求“X”与“Y”的外角和相加的度数；
（2）分别求“X”与“Y”的内角和的度数．
18．小华与小明在讨论一个凸多边形的问题，他们的对话如下：
小华说：“这个凸多边形的内角和是2020°．”
小明说：“不可能吧！你错把一个外角当作内角了！”
请根据俩人的对话，回答下列问题：
（1）凸多边形的内角和为2020°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
参考答案与试题解析
一、选择题
1．八边形的内角和等于（ ）
A．360°
B．1080°
C．1440°
D．2160°
【分析】利用多边形内角和定理：（n﹣2）?180°计算即可．
【解答】解：（8﹣2）×180°＝1080°，
故选：B．
2．一个正六边形共有n条对角线，这里的n＝（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．
【解答】解：六边形的对角线的条数n＝＝9．
故选：D．
3．下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和（ ）
A．240°
B．600°
C．540°
D．2180°
【分析】根据多边形的内角和公式得出多边形内角和一定是180的倍数，再根据各选项给出的数据找出是180的倍数的数，即可得出答案．
【解答】解：∵多边形内角和公式为（n﹣2）×180，
∴多边形内角和一定是180的倍数，
∵540°＝3×180°，
故选：C．
4．将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（ ）
A．减少180°
B．增加180°
C．减少360°
D．增加360°
【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．
【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）?180°，
n+2边形的内角和是n?180°，
因而（n+5）边形的内角和比n边形的内角和大n?180°﹣（n﹣2）?180＝360°．
故选：D．
5．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）
B．（2，3）
C．（3，2）
D．（3，﹣2）
【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置，再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了．
【解答】解：∵点A坐标为（0，a），
∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，
∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m），
∴点C、D关于y轴对称，
∵正五边形ABCDE是轴对称图形，
∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，
∴点B、E也关于y轴对称，
∵点B的坐标为（﹣3，2），
∴点E的坐标为（3，2）．
故选：C．
6．若在n边形内部任意取一点P，将点P与各顶点连接起来，可以把n边形分成n个三角形，利用这个事实，可以探索到n边形的内角和为（ ）
A．180°×n
B．180°×n﹣180°
C．180°×n+180°
D．180°×n﹣360°
【分析】多边形内一点，可与多边形顶点连接n条线段，构造出n个三角形，进而得出n边形的内角和公式．
【解答】解：若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成n个三角形；
可得n边形的内角和为180°×n﹣360°，
故选：D．
7．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）?180°＝1080°，
解得：n＝8．
则原多边形的边数为4或8或9．
故选：D．
8．已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N的度数和不可能为（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．630°
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）?180°，无论分成两个几边形，其内角和都能被180整除，所以不可能的是，不能被180整除的．
【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以M+N不可能是630°．
故选：D．
二、填空题
9．如图，王明想从一块边长为60cm的等边三角形纸片上剪下一个最大的正六边形，写上“祝福祖国”的字样来表达自己的喜悦之情，则此正六边形的边长是 cm．
【分析】仔细分析题目，图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以求出正六边形的周长就可求出正六边形的边长．
【解答】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是6DE，即正六边形的周长为6××60＝120cm，
所以正六边形的边长是120÷6＝20cm．
故答案为：20．
10．如图所示，x的值为 55° ．
【分析】求出与105°，60°的内角相邻的外角的度数，根据多边形的外角和是360°，即可求解．
【解答】解：∠1＝180﹣∠BAD＝180﹣105＝75°，
∠2＝180﹣∠ABC＝180﹣60＝120°．
根据多边形外角和定理可得：∠8+∠2+2x+x＝360，
即：75+120+2x+x＝360，
解得：x＝55°．
11．如图，在四边形ABCD中，若∠A+∠B+∠C＝260°，则∠D的度数为 ．
【分析】根据四边形的内角和定理确定出所求角的度数即可．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，且∠A+∠B+∠C＝260°，
∴∠D＝100°，
故答案为：100°．
．
12．如图，若集合A表示四边形，集合B表示正多边形，则阴影部分表示
．
【分析】直接利用多边形的定义分析得出答案．
【解答】解：由题意可得：四边形中正多边形只有正方形．
故答案为：正方形．
13．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是 ．
【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解决问题．
【解答】解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故答案为：84°
14．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝ 75° ．
【分析】如图，作辅助线，首先证得＝⊙O的周长，进而求得∠A3OA10＝＝150°，运用圆周角定理问题即可解决．
【解答】解：设该正十二边形的中心为O，如图10O和A3O，
由题意知，＝⊙O的周长，
∴∠A3OA10＝＝150°，
∴∠A3A7A10＝75°，
故答案为：75°．
15．在图中，含30°的直角三角板的直角边AC，BC分别经过正八边形的两个顶点，则图中∠1+∠2＝ ．
【分析】根据正八边形的特征，由多边形内角和定理：（n﹣2）?180
（n≥3）且n为整数）先求出正八边形的内角和，进一步得到2个内角的和，根据三角形内角和为180°，可求∠3+∠4的度数，根据角的和差关系即可得到图中∠1+∠2的结果．
【解答】解：如图，
（8﹣2）×180°÷8×2
＝6×180°÷8×2
＝270°，
∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，
∠1+∠2＝270°﹣90°＝180°．
故答案为：180°．
16．今年暑假，实验中学安排全校师生假期进行社会实践活动，将每班分成三个组，每组派一名教师作为指导老师．为了加强同学间的协作，学校要求各班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校八年级（5）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？
为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通电话次数S之间的关系用下列模型表示，如图：
根据小明设计的模型，可知该班师生之间每周至少要通电话的次数为 ．
【分析】根据模型得到n个同学和老师之间共通话次，代入n＝53求解即可．
【解答】解：将八年级（5）班师生共53人看作五十三边形的53个顶点，由多边形对角线条数公式可得对角线为＝1325（条），
1325+53＝1378（次）．
因此该班师生之间每周至少要通1378次电话．
故答案为：1378．
三、解答题
17．“X”与“Y”分别是两个多边形，请根据图中“X”与“Y”的对话，解答下列各小题．
（1）求“X”与“Y”的外角和相加的度数；
（2）分别求“X”与“Y”的内角和的度数．
【分析】（1）根据多边形的外角和定理可得多边形的外角和为360°，进而可得答案；
（2）设X的边数为n，Y的边数为3n，根据多边形的内角和定理结合题意可得方程180（n﹣2）+180（3n﹣2）＝1440，解出X的值，进而可得n的值，然后可得答案．
【解答】解：（1）360°+360°＝720°．
（2）设X的边数为n，则Y的边数为3n．
由题意，得180（n﹣2）+180（4n﹣2）＝1440，
解得n＝3．
所以X的内角和为180°×（4﹣2）＝180°，
Y的内角和为180°×（3×2﹣2）＝1260°．
答：“X”的内角和的度数为180°，“Y”的内角和的度数为1260°．
18．小华与小明在讨论一个凸多边形的问题，他们的对话如下：
小华说：“这个凸多边形的内角和是2020°．”
小明说：“不可能吧！你错把一个外角当作内角了！”
请根据俩人的对话，回答下列问题：
（1）凸多边形的内角和为2020°，小明为什么说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
【分析】（1）由n边形的内角和公式为（n﹣2）180°，可知n边形的内角和一定是180°的整数倍，而2020不能被180整除，所以小明说不可能；
（2）根据这个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和为2020°列出方程，挖掘隐含着边数为正整数这个条件求解．
【解答】解：（1）∵n边形的内角和是（n﹣2）×180°，
∴多边形的内角和一定是180°的整倍数．
∵2020÷180＝11……40，
∴多边形的内角和不可能为2020°．
（2）设小华求的是n边形的内角和，这个内角为x°．
根据题意，得（n﹣2）×180°﹣x+（180°﹣x）＝2020°．
∵n为正整数，
∴2x+40必为180的整倍数．
又∵0＜x＜180，
∴＜＜．
∴n＝13或14．
∴小华求的是十三边形或十四边形的内角和．