2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理同步训练（Word版,附答案解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步培优提升训练（附答案）
选择题
1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5
B．4，5，6
C．5，12，13
D．9，12，15
2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5
B．10，15，18
C．，，
D．6，8，10
3．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（　　）
A．16
B．25
C．144
D．169
4．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（　　）
A．∠A＝90°
B．∠B＝90°
C．∠C＝90°
D．不能确定
5．如图，在△ABC中，AB⊥BC，其中AC＝2.5，AB＝1，P是BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为（　　）
A．0.5
B．0.7
C．2.3
D．2.8
6．下列说法中正确的是（　　）
A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2
B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2
7．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）
A．25
B．7
C．5和7
D．25或7
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）
A．47
B．13
C．11
D．8
9．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（　　）
A．15
B．12
C．10
D．9
10．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（　　）
A．1.5
B．2
C．2.25
D．2.5
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则DE等于（　　）
A．2
B．
C．
D．
12．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　）
A．B．
C．D．
填空题
13．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝　
　．
14．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为　
　．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝　
　．
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为
　
　．
17．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要
　
　m．
18．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为　
　cm．
19．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是
　
　．
20．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2＝2π，则S3是　
　．
21．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为　
　mm．
22．如图每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝　　，∠ABC＝　
　°．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　
　．
解答题
24．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
25．如图是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？请写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
26．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
27．八年级（2）班的小明和小亮同学学了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH、DH．
28．某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km的A、B两站之间E点修建一个土特产加工基地，使E点到C、D两村的距离相等，如图，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝15km，CB＝10km，求土特产加工基地E应建在距离A站多少km的地方？
29．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
30．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
31．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一动点（不与点A、C重合），过D作DE⊥AB于E．
（1）当BD平分∠ABC时
①若AC＝8，BC＝6，求线段AE的长度；
②在①的条件下，求△ADB的面积；
（2）延长BC、ED相交于点F，若CD＝CB，∠CDF＝60°，求∠DBE的度数．
32．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
参考答案
1．解：A.32+42＝52，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B.42+52≠62，则不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.52+122＝132，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D.92+122＝152，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、102+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、62+82＝102，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
3．解：
根据勾股定理得出：AB＝5，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是EP2+PF2＝25，
故选：B．
4．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，
∴AC2＝BC2+AB2，
∴∠B＝90°．
故选：B．
5．解：∵P是BC上任意一点，
∴AB≤AP≤AC，
即1≤AP≤2.5，
故选：C．
6．解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．
A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；
B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；
C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；
D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误；
故选：C．
7．解：分两种情况：
①当3和4为直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方＝32+42＝25；
②4为斜边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方＝42﹣32＝7；
综上所述：第三边长的平方是25或7；
故选：D．
8．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝3+5＝8；
y2＝2+3＝5；
z2＝x2+y2＝13．
故最大正方形E的面积是z2＝13．
故选：B．
9．解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣3，
根据勾股定理得92+（x﹣3）2＝x2，
解得x＝15．
故选：A．
10．解：设AM＝x，
连接BM，MB′，
在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，
在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2+DB′2，
∵MB＝MB′，
∴AB2+AM2＝BM2＝B′M2＝MD2+DB′2，
即92+x2＝（9﹣x）2+（9﹣3）2，
解得x＝2，
即AM＝2，
故选：B．
11．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝4，
连接AE，
从作法可知：DE是AB的垂直平分线，
根据性质得出AE＝BE，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2，
即32+（4﹣AE）2＝AE2，
解得：AE＝，
在Rt△ADE中，AD＝AB＝，由勾股定理得：DE2+（）2＝（）2，
解得：DE＝．
故选：C．
12．解：在A选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴，
整理可得a2+b2＝c2，
∴A选项可以证明勾股定理，
在B选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得a2+b2＝c2，
∴B选项可以证明勾股定理，
在C选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴，
整理得a2+b2＝c2，
∴C选项可以说明勾股定理，
在D选项中，大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴D选项不能说明勾股定理，
故选：D．
13．解：在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴c=13
故答案为：13．
14．解：∵62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×8＝24．
故答案为：24．
15．解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，
∴9x2+16x2＝152，
解得：x＝3或﹣3（舍去），∴BC＝3x＝9．
故答案为：9．
16．解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD＝9，
在Rt△ACD中，
CD＝5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD＝9，
在Rt△ACD中，CD＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的周长为：15+13+4＝32
故答案是：42或32．
17．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故答案为：17．
18．解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
在直角△A′DB中，由勾股定理得
A′B＝20（cm）．
故答案为：20．
19．解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，
∴AB＝130（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
20．解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
变形为：（）2π+（）2π＝（）2π，即S2+S3＝S1，
又S1＝，S2＝2π，
则S3＝S1﹣S2＝﹣2π＝．
故答案为：
21．解：∵AC＝150﹣60＝90mm，BC＝180﹣60＝120mm，
∴AB＝150mm．
22．解：连接AC．
根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，
AC2＝BC2＝12+22＝5，
∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故答案为：10，45．
23．解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝?AF?BC＝10．
故答案为：10．
24．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
25．证明：∵，
∴（a+b）（a+b）＝2ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
26．解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，
由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2
解得：OB＝20，
答：这个云梯的底端离墙20米远；
（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，
根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，
由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得:OD=2
∴BD＝24﹣20＝4米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．
27．解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=20（米）．
所以CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）；
（2）由得，
在Rt△BHD中，BH=9
28．解：设AE＝x千米，则BE＝（25﹣x）千米，
在Rt△DAE中，DA2+AE2＝DE2，
在Rt△EBC中，BE2+BC2＝CE2，
∵CE＝DE，
∴DA2+AE2＝BE2+BC2，
∴152+x2＝102+（25﹣x）2，
解得，x＝10千米．
答：基地应建在离A站10千米的地方．
29．解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
30．解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，AP＝2t，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，P在△ABC的角平分线上，
当点P运动到点A时，也符合题意，此时t＝6，
综上所述，满足条件的t的值为或6．
31．解：（1）①在Rt△ABC中，AB＝10，
∵BD平分∠ABC，
∴BE＝BC＝6，CD＝ED，
∴AE＝10﹣6＝4；
②在Rt△ADE中，
（8﹣DE）2＝DE2+AE2，即（8﹣DE）2＝DE2+42，
解得DE＝3，
则△ADB的面积为10×3÷2＝15；
（2）∵∠CDF＝60°，
∴∠F＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠DBE＝60°﹣45°＝15°．
32．解：（1）∵CD＝10，DE＝7，
∴CE＝10﹣7＝3，
在Rt△CBE中，BE＝5；
（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，
则t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，
解得，t＝，
∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形．