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第3章
代数式
【走进中考】
考试要求由低到高分为四个层次，依次是了解、理解、掌握、灵活运用，表中分别用字母A、B、C、D表示，这里高一级的层次要求包含低一级层次的要求
考试内容
A
B
C
D
代数式
用字母表示数的意义
√
分析简单问题的数量关系，并用代数式表示
√
求代数式的值
√
根据特定的问题，选择所需要的公式，并会代入具体的值进行计算
√
代数式是初中代数的重要内容,它是学习方程、函数的基础,是中考中的一个考点,在中考中约占20％.但由于概念性强,加上考生自以为容易,往往造成不应有的疏漏和错误,诚为可惜.
初中数学中的代数式,包括整式、分式和根式.，除了这些代数式的四则运算外,与此相关的还有整式的因式分解、二次根式的分母有理化等。
考向1
代数式的基础概念
考点1.代数式及代数式的书写规范：
1、代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式．
2、代数式书写规范：
（1）两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，乘号都可以省略不写.如：“x与y的积”可以写成“x
y”；“a与2的积”应写成“2a”，“m、n的和的2倍”应写成“2(m+n)”。
（2）字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写在前面.例如“x×2”要写成”2x”，不能写成“x2”；“长、宽分别为a、b的长方形的周长”要写成“2(a+b)”，不能写成“(a+b)2”。
（3）代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式
（4）数字与数字相乘时，乘号（也可以写作
·
）仍应保留不能省略，或直接计算出结果.例如“3×7xy”不能写成“37xy”，最好写成“21xy”。
【典型例题】
例1、在下列各式中（1）3a，（2）4+8=12，（3）2a-5b＞0，（4）0，（5）s=πr2，（6）a2-b2，（7）1+2，（8）x+2y，其中代数式的个数是（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
例2、下列各式：①；②2?3；③20%x；④a-b÷c；⑤；⑥x-5千克：其中符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【易错点拨】
代数式中的运算符号不包括等于号（=）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈，代数式中可以有绝对值．例如：|x|，|-2.25|等．
牢记代数式的书写规范并能进行判断。
考点2．单项式与多项式
1、单项式：
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
2、多项式：
（1）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
（2）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。
（3）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式。
【典型例题】
例3、单项式的系数和次数的和为
例4、对于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．次数为12
B．常数项为1
C．项数为5
D．最高次项为
【易错点拨】
1、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或-a这样的式子的系数是1或-1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
2、在判断多项式的次数时不要与单项式的次数混淆，多项式的次数为多项式中次数最高的项的次数。
考点3．代数式的值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。
题型简单总结以下三种：?①已知条件不化简，所给代数式化简；
?②已知条件化简，所给代数式不化简；
?③已知条件和所给代数式都要化简．
【典型例题】
例5、已知a-b=3，那么2a-2b+6=
例6、已知3a-7b=-3，代数式9a-21b+3的值为
例7、如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2018次输出的结果为
【易错点拨】
整理已知条件，学会运用整体代入的思想解决问题
考向2
整数的加减
考点1．合并同类项
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等。
2、合并同类项：
（1）合并同类型的定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
【典型例题】
例8、下列各项中的两项，为同类项的是（ ）
A．-2x2y与xy2
B．与3πy
C．3mn与-4nm
D．-0.5ab与
例9、下列计算：①a2+a2=a4；②3xy2-2xy2=xy2；③3xy2-2xy2=xy2；④|2×（-3）|=-6，其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【易错点拨】
同类项一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
2、同类项与系数的大小无关；
3、同类项与它们所含的字母顺序无关；
4、所有常数项都是同类项。
合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
考点2．去括号法则
1、去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
2、去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．
【典型例题】
例10、下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．x+2（y-1）=x+2y-1
B．x-2（y-1）=x+2y+2
C．x-2（y-1）=x-2y-2
D．x-2（y-1）=x-2y+2
【易错点拨】
去括号法则是根据乘法分配律推出的；
去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
3、添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
考点3．整式的加减
1、几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
2、整式的加减实质上就是合并同类项．
3、整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【典型例题】
例11、先化简，再求值：5xy+2（2xy-3x2）-（6xy-7x2），其中x=-1，y=-2．
例12、已知A=2a2+3ab-2a-1，B=-a2+12ab+2．
（1）化简4A-（3A-2B）；
（2）若（1）中式子的值与a的取值无关，求b的值．
【易错点拨】
1、整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2、去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
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第3章
代数式
【走进中考】
考试要求由低到高分为四个层次，依次是了解、理解、掌握、灵活运用，表中分别用字母A、B、C、D表示，这里高一级的层次要求包含低一级层次的要求
考试内容
A
B
C
D
代数式
用字母表示数的意义
√
分析简单问题的数量关系，并用代数式表示
√
求代数式的值
√
根据特定的问题，选择所需要的公式，并会代入具体的值进行计算
√
代数式是初中代数的重要内容,它是学习方程、函数的基础,是中考中的一个考点,在中考中约占20％.但由于概念性强,加上考生自以为容易,往往造成不应有的疏漏和错误,诚为可惜.
初中数学中的代数式,包括整式、分式和根式.，除了这些代数式的四则运算外,与此相关的还有整式的因式分解、二次根式的分母有理化等。
考向1
代数式的基础概念
考点1.代数式及代数式的书写规范：
1、代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式．
2、代数式书写规范：
（1）两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，乘号都可以省略不写.如：“x与y的积”可以写成“x
y”；“a与2的积”应写成“2a”，“m、n的和的2倍”应写成“2(m+n)”。
（2）字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可省略不写，但数字必须写在前面.例如“x×2”要写成”2x”，不能写成“x2”；“长、宽分别为a、b的长方形的周长”要写成“2(a+b)”，不能写成“(a+b)2”。
（3）代数式中不能出现除号，相除关系要写成分数的形式
（4）数字与数字相乘时，乘号（也可以写作
·
）仍应保留不能省略，或直接计算出结果.例如“3×7xy”不能写成“37xy”，最好写成“21xy”。
【典型例题】
例1、在下列各式中（1）3a，（2）4+8=12，（3）2a-5b＞0，（4）0，（5）s=πr2，（6）a2-b2，（7）1+2，（8）x+2y，其中代数式的个数是（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【分析】根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．依此作答即可．
【解答】解：由题可得，属于代数式的有：（1）3a，（4）0，（6）a2-b2，（7）1+2，（8）x+2y，共5个，
故选：C．
【点评】此题考查了代数式的概念．代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式．
例2、下列各式：①；②2?3；③20%x；④a-b÷c；⑤；⑥x-5千克：其中符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【分析】根据书写规则，分数不能为带分数，对各项的代数式进行判定，即可求出答案．
【解答】解：①中分数不能为带分数；
②2?3数与数相乘不能用“?”；
③20%x，书写正确；
④a-b÷c，除号应用分数线，所以书写错误；
⑤书写正确；
⑥x-5应该加括号，所以书写错误；
符合代数式书写要求的有③⑤共2个．
故选：D．
【点评】此题考查了代数式的书写．注意代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“?”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）带分数要写成假分数的形式．
【易错点拨】
代数式中的运算符号不包括等于号（=）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈，代数式中可以有绝对值．例如：|x|，|-2.25|等．
牢记代数式的书写规范并能进行判断。
考点2．单项式与多项式
1、单项式：
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
2、多项式：
（1）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
（2）多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数。
（3）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式。
【典型例题】
例3、单项式的系数和次数的和为
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数可得答案．
【解答】解：单项式的系数是，次数是2，
则系数和次数的和为+2，
故答案为：+2．
【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式的相关定义．
例4、对于多项式，下列说法正确的是（ ）
A．次数为12
B．常数项为1
C．项数为5
D．最高次项为
【分析】直接利用多项式的项数及次数确定方法分析得出答案．
【解答】解：多项式，次数时5，故选项A不合题意；
多项式，常数项为-1，故选项B不合题意；
多项式，项数为5，故选项C符合题意；
多项式，最高次项为，故选项D不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数与系数确定方法是解题关键．
【易错点拨】
1、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或-a这样的式子的系数是1或-1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
2、在判断多项式的次数时不要与单项式的次数混淆，多项式的次数为多项式中次数最高的项的次数。
考点3．代数式的值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。
题型简单总结以下三种：?①已知条件不化简，所给代数式化简；
?②已知条件化简，所给代数式不化简；
?③已知条件和所给代数式都要化简．
【典型例题】
例5、已知a-b=3，那么2a-2b+6=
【分析】把所求的式子用已知的式子a-b表示出来，代入数据计算即可．
【解答】解：∵a-b=3，
∴2a-2b+6=2（a-b）+6=2×3+6=12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了代数式求值，整理成已知条件的形式是求解的关键，也是解答本题的难点．
例6、已知3a-7b=-3，代数式9a-21b+3的值为
【分析】利用整体代入的思想解决问题即可．
【解答】解：∵3a-7b=-3，
∴9a-21b+3=3（3a-7b）+3=-9+3=-6
故答案为-6．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
例7、如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125，则第2018次输出的结果为
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【解答】解：当x=125时，=25，
当x=25时，=5，
当x=5时，=1，
当x=1时，x+4=5，
当x=5时，=1，
当x=1时，x+4=5，
当x=5时，=1，
…
（2018-2）÷2=1008，
即输出的结果是5，
故选：A．
【点评】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
【易错点拨】
整理已知条件，学会运用整体代入的思想解决问题
考向2
整数的加减
考点1．合并同类项
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等。
2、合并同类项：
（1）合并同类型的定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
【典型例题】
例8、下列各项中的两项，为同类项的是（ ）
A．-2x2y与xy2
B．与3πy
C．3mn与-4nm
D．-0.5ab与abc
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解答】解：A．相同字母的指数不同，不是同类项，故本选项不合题意；
B.与3πy，所含字母不同，不是同类项，故本选项不合题意；
C.3mn与-4nm字母相同，且相同的字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意；
D．-0.5ab与abc所含字母不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
例9、下列计算：①a2+a2=a4；②3xy2-2xy2=xy2；③3xy2-2xy2=xy2；④|2×（-3）|=-6，其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】①②根据合并同类项法则判断，③④根据有理数的混合运算顺序计算．
【解答】解：①a2+a2=2a2，故①错误；
②3xy2-2xy2=xy2，正确；
③3xy2-2xy2=xy2，正确；
④|2×（-3）|=|-6|=6，故④错误．
∴正确的有②③共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了合并同类项以及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【易错点拨】
同类项一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
2、同类项与系数的大小无关；
3、同类项与它们所含的字母顺序无关；
4、所有常数项都是同类项。
合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
考点2．去括号法则
1、去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
2、去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．
【典型例题】
例10、下列各式中，去括号正确的是（ ）
A．x+2（y-1）=x+2y-1
B．x-2（y-1）=x+2y+2
C．x-2（y-1）=x-2y-2
D．x-2（y-1）=x-2y+2
【分析】注意：2（y-1）=2y-2，即可判断A；根据-2（y-1）=-2y+2，即可判断B、C、D．
【解答】解：A、x+2（y-1）=x+2y-2，故本选项错误；
B、x-2（y-1）=x-2y+2，故本选项错误；
C、x-2（y-1）=x-2y+2，故本选项错误；
D、x-2（y-1）=x-2y+2，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了去括号法则和乘法的分配律等知识点，注意：①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号内的各项都不变，括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，把括号内的各项都变号．②m（a+b）=ma+mb，不等于ma+b．
【易错点拨】
去括号法则是根据乘法分配律推出的；
去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
3、添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
考点3．整式的加减
1、几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
2、整式的加减实质上就是合并同类项．
3、整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【典型例题】
例11、先化简，再求值：5xy+2（2xy-3x2）-（6xy-7x2），其中x=-1，y=-2．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后代入求值
【解答】解：原式=5xy+4xy-6x2-6xy+7x2
=x2+3xy
当x=-1，y=-2时，
原式=（-1）2+3×（-1）（-2）
=1+6=7
【点评】本题考查了去括号法则及合并同类项．题目难度不大，正确的化简多项式是解决本题的关键．
例12、已知A=2a2+3ab-2a-1，B=-a2+12ab+2．
（1）化简4A-（3A-2B）；
（2）若（1）中式子的值与a的取值无关，求b的值．
【分析】（1）先化简4A-（3A-2B），再将a与b的值代入计算即可求出值；
（2）把（1）结果变形，根据结果与a的值无关求出b的值即可．
【解答】解：（1）∵A=2a2+3ab-2a-1，B=-a2+12ab+2，
∴原式=4A-3A+2B=A+2B=2a2+3ab-2a-1+2（-a2+12ab+2）=2a2+3ab-2a-1-2a2+24ab+4=27ab-2a+3；
=5ab-2a+1，
当a=-1，b=2时，原式=-7；
（2）原式=（27b-2）a+3，
由结果与a的取值无关，得到27b-2=0，解得b=．
【点评】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【易错点拨】
1、整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2、去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
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