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第4章
一元一次方程
【走进中考】
考试要求由低到高分为四个层次，依次是了解、理解、掌握、灵活运用，表中分别用字母A、B、C、D表示，这里高一级的层次要求包含低一级层次的要求
考试内容
A
B
C
D
一元一次方
程
了解方程、一元一次方程以及方程有解的概念?
√
会解一元一次方程，并能灵活应用
√
会列一元一次方程解应用题，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理
√
一元一次方程是初中数学七年级上册的主要基础内容，解所有方程的必经之路，是历年中考考查的一个热点，直接或间接考察本章内容的考题约占15分，分值比例在13%左右，中考中多出现在选择题和填空题中，可与一元一次不等式、一次函数综合进行考察。
考向1
从问题到方程
考点1.方程的定义：
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
【典型例题】
例1、在下面的式子里，（ ）是方程．
A．5x+4
B．3x-5＜7
C．
D．3×2-1=5
【分析】根据方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是方程，故本选项不符合题意；
B、不是方程，故本选项不符合题意；
C、是方程，故本选项符合题意；
D、不是方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了方程的定义，能熟记方程的定义是解此题的关键，注意：方程是指含有未知数的等式．
【易错点拨】
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
考点2．一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【典型例题】
例2、下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．2x+5y=6
B．3x-2
C．x2=1
D．3x+5=8
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
【解答】解：A、含有2个未知数，故选项错误；
B、不是等式，故选项错误；
C、是2次方程，故选项错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【易错点拨】
一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
考点3．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
【典型例题】
例3、我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果我们设快马x天可以追上慢马，则可列方程（ ）
A．240x=150x+12
B．240x=150x-12
C．240x=150（x+12）
D．240x=150（x-12）
【分析】设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：240x=150（x+12）．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【易错点拨】
（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
考向2
解一元一次方程
考点1．等式的性质
等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．
【典型例题】
例4、下列变形符合等式基本性质的是（ ）
A．如果2x-y=7，那么y=7-2x
B．如果，那么a等于b
C．如果-2x=5，那么x=5+2
D．如果，那么a=-3
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、如果2x-y=7，那么y=2x-7，故A错误；
B、k=0时，两边都除以k无意义，故B错误；
C、如果-2x=5，那么，故C错误；
D、两边都乘以-3，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了等式的基本性质，熟记等式的性质是解题关键．
【易错点拨】
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
考点2．方程的解与利用等式的性质解方程
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．
【典型例题】
例5、下列方程中，解是x=4的是（ ）
A．3x+1=11
B．-2x-4=0
C．3x-8=4
D．4x=1
【分析】把x=4代入各方程检验即可．
【解答】解：解是x=4的方程是3x-8=4，
故选：C．
【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
例6、如果关于x的方程x+2a-3=0的解是x=-1，那么a的值是（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【分析】根据解的意义，把x=-1代入方程，得到关于a的一次方程，求解即可．
【解答】解：把x=-1代入方程，得-1+2a-3=0
解得a=2
故选：D．
【点评】本题考查了一次方程的解及解一元一次方程．题目比较简单，理解方程解的意义是解决本题的关键．
【易错点拨】
无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
考点3．解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
【典型例题】
例7、解方程，去分母，得（ ）
A．12x+2（x-1）=12+3（3x-1）
B．12x+2（x-1）=12-3（3x-1）
C．6x+（x-1）=4-（3x-1）
D．12x-2（x-1）=12-3（3x-1）
【分析】根据去分母的方法：方程两边的每一项都乘以6即可．
【解答】解：方，去分母，得
12x+2（x-1）=12-3（3x-1）
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是去分母时不要漏乘．
【易错点拨】
（1）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（2）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
考向3．列一元一次方程解应用题
1．列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2．利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3．解决应用题的一般步骤：
审
(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设
(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列
(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解
(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验
(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答
(写出答案，切忌答非所问).
4．常见应用题型
增长率问题、利润(销售)问题、循环问题、几何图形问题等.
考点1．相遇追及问题
1、行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
2、行程问题基本类型
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
【典型例题】
例1、甲、乙两人约定步行从学校出发，沿同一路线到距离学校1800米的图书馆看书．甲先出发，步行的速度是30米/分钟：乙比甲晚出发10分钟，比甲早20分钟到达图书馆．
（1）求乙步行的速度；
（2）求甲出发多长时间乙追上甲（要求列方程解答）．
【分析】（1）根据速度=路程÷时间，即可求出乙的速度；
（2）设甲出发x分钟后乙追上甲，则此时乙出发（x-10）分钟，根据路程=速度×时间结合两人路程相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）1800÷（1800÷30-10-20）=60（米/分钟）．
答：乙的速度为60米/分钟．
（2）设甲出发x分钟后乙追上甲，则此时乙出发（x-10）分钟，
根据题意得：30x=60（x-10），
解得：x=20．
答：甲出发20分钟后乙追上甲．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【易错点拨】要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）
考点2．环形跑道与时钟问题
【典型例题】
例2、如图，跑道由两个半圆部分AB，CD和两条直跑道AD，BC组成，两个半圆跑道的长都是115m，两条直跑道的长都是85m．小彬站在A处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．当小强第一次追上小彬时，他们的位置在（ ）
A．半圆跑道AB上
B．直跑道BC上
C．半圆跑道CD上
D．直跑道AD上
【分析】设小强第一次追上小彬的时间为x秒，根据小强路程-小斌路程+AB的长度=1个跑道的全长列出方程求得x的值，再进一步判断可得．
【解答】解：设小强第一次追上小彬的时间为x秒，
根据题意，得：6x-4x+115=2×115+2×85，
解得x=142.5，
则4x=570，570-400=170＞115，
∴他们的位置在直跑道BC上，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找到环形跑道上路程间的相等关系：小强路程-小斌路程+AB的长度=1个跑道的全长．
例3、晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看钟，发现此时时针和分针在同一直线上；做完数学作业八点不到，此时时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间（ ）
A．30分钟
B．35分钟
C．分钟
D．分钟
【分析】本题先分别求出时针和分针每分钟旋转的角度，时针和分针第二次出现在同一条直线上，恰是分针第一次追上时针的时候出现的，所以分针比时针多转了180°，根据这个可以建立方程，求出所需的时间
【解答】解：时针的转速为0.5度/分，分针的转速为6/分，设小强花x分
根据题意可得?
6x-0.5x=180
?
解得x=
答：小强做数学作业花了．
故选：D．
【点评】本题其实是一个追赶问题，搞清楚分针和时针旋转角度的数量关系，是解决本题的关键．
考点3．逆水行船问题
航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
【典型例题】
例4、一艘轮船在A、B两港口之间匀速行驶，顺水航行需要6h，逆水航行需要8h，水流速度为5km/h，则A、B两地之间的路程是（ ）
A．200km
B．240km
C．300km
D．320km
【分析】设A、B两地之间的路程为x
km，根据速度=路程÷时间结合顺水航行的速度比逆水航行的速度快2×5km/h，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设A、B两地之间的路程为x
km，
依题意，得：，
解得：x=240．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
考点4．火车过桥问题
【典型例题】
例5、已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度和车长分别是（ ）
A．20米/秒，200米
B．18米/秒，180米
C．16米/秒，160米
D．15米/秒，150米
【分析】设火车的速度是x米/秒，根据“已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒”，列出关于x的一元一次方程，解之，即可得到火车的速度，根据车长=火车的速度×火车从开始上桥到完全通过所用的时间-桥长，即可得到火车的车长．
【解答】解：设火车的速度是x米/秒，
根据题意得：
800-40x=60x-800，
解得：x=16，
即火车的速度是16米/秒，
火车的车长是：60×16-800=160（米），
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．
考点5．储蓄问题
1、顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.
2、储蓄问题中的量及其关系为：
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金+利息
×100%
利息税=利息×税率（20%）
【典型例题】
例6、某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）
【分析】设银行半年期的实际利率是x，则利息为250x，进一步根据本息和252.7元，列出方程解答即可．
【解答】方法一：解：设银行半年期的年利率是x，由题意得
250+250x=252.7，
解得：x=0.0108．
∴半年期的年利率是1.08%．
方法二：解：设银行的年利率为x，则半年利率为，
则根据题意可知：
250×（1+）=252.7
解得：x=0.0108=1.08%．
答：银行半年期的年利率是1.08%．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握利息的计算方法：利息=本金×时间×年利率是解决问题的关键．
考点6．经济销售问题
商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝×100%
商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
【典型例题】
例7、某商品按进价增加40%标价销售，每件商品能赢利80元．
（1）求每件商品的进价是多少元？
（2）在一次“打折促销”活动中，该商品每件的利润只有10元，求该商品在促销活动中打了多少折销售？（注：打折销售是按标价的百分比收款，加95折是按标价的95%收款；8折是按标价的80%收款）
【分析】（1）设每件商品的进价是x元，根据售价-进价=利润列出方程，解方程即可；
（2）设该商品在促销活动中打了y折销售，根据售价-进价=利润列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设每件商品的进价是x元，根据题意得
（1+40%）x-x=80，
解得x=200．
答：每件商品的进价是200元；
（2）设该商品在促销活动中打了y折销售，根据题意得
1.4×200×-200=10，
解得y=7.5．
答：该商品在促销活动中打了7.5折销售．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
考点7．工程问题
1．工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间
2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
【典型例题】
例8、甲、乙两个工程队共修一条路，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独修需要10天，乙先修1天，剩下的由甲乙共同工作还需要几天修完？
【分析】把这项工程的总量看作单位“1”，表示出乙1天完成的工作总量，再求出剩余的工作总量，最后根据工作时间=工作总量÷工作效率和即可解答．
【解答】解：
答：剩下的由甲乙共同工作还需要4天修完．
【点评】明确工作效率，工作时间以及工作总量之间数量关系是解答本题的关键．
考点8．方案选择问题
【典型例题】
例9、某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每幅定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）问：
（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
（2）当购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店买，为什么？
【分析】（1）设该班购买乒乓球x盒，根据乒乓球拍每幅定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．可列方程求解．
（2）根据各商店优惠条件计算出所需款数确定去哪家商店购买合算．
【解答】解：（1）设购买x盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样，
根据题意有：30×5+（x-5）×5=（30×5+5x）×0.9，
解得x=20，
答：购买20盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样．
（2）①当购买15盒时，甲店需付款30×5+（15-5）×5=200元．
乙店需付款?（30×5+15×5）×0.9=202.5元．
因为200＜202.5，所以去甲店合算．
②当购买30盒时，甲店需付款30×5+（30-5）×5=275元．
乙店需付款（30×5+30×5）×0.9=270元．
因为275＞270，去乙店合算．
【点评】乒乓球拍每幅定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店买一副球拍增一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．
考点9．配套问题
【典型例题】
例10、某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数1：2，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，刚好配套．求多少人生产螺栓？
【分析】刚好配套．x人生产螺栓，（28-x）人生产螺母，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：刚好配套．x人生产螺栓，（28-x）人生产螺母，
根据题意得：12x×2=18（28-x），
解得：x=12，
则刚好配套，12人生产螺栓．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
考点10．数字问题
数字问题的基本关系：数字和数是不同的，同一个数字在不同数位上，表示的数值不同.
【典型例题】
例11、一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36，这个两位数是
岁。
【分析】首先设个位数字为x，则十位数字为2x，则原两位数可表示为10×2x+x，数字对调后所得两位数是（10x+2x），再根据“将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36”可得方程：10×2x+x-（10x+2x）=36，解方程得到个位数，进而可得十位数字．
【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为2x，由题意得：
10×2x+x-（10x+2x）=36，
解得：x=4，
则2x=8，
答：原两位数是84．
故答案为84．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是表示出原两位数与新的两位数，根据数之间的关系列出方程．
考点11．年龄问题
【典型例题】
例12、儿子今年15岁，爸爸今年39岁，几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？
【分析】由题意知道今年儿子与爸爸的年龄相差（39-15）岁，因为两人的年龄差不会随时间变化，所以几年前两人的年龄差也是（39-15），又由题意知道两人年龄的倍数是4倍，由此根据差倍公式，解决问题．
【解答】解：几年前，儿子的年龄：（39-15）÷（4-1），
=24÷3，
=8（岁），
15-8=7（年），
答：7年前，爸爸的年龄是儿子的4倍．
【点评】此题主要根据两人的年龄差不会随时间变化，而求出几年前两人的年龄的差，再利用[差÷（倍数-1）=小数，小数×倍数=大数，（或
小数+差=大数）]求出几年前儿子的年龄，进而求出答案．
考点12．和差倍分问题
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，
例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率…”来体现。
2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
增长量＝原有量×增长率
现在量＝原有量＋增长量
【典型例题】
例13、某单位第一次向灾区捐款24万元，第二次比第一次的3倍还多5万元，该单位两次共捐款多少万元？
【分析】求两次共捐款的钱数，就是把两次的捐款合起来，第一次的知道了，第二次比第一次的3倍还多5万元，就是24×3+5=77元，直接计算就可以了．
【解答】解：24+（24×3+5），
=24+77，
=101（万元）；
答：该单位两次共捐款101万元．
【点评】这是一道倍数应用题，关键是根据题中告诉我们的倍数关系先求出第二次捐款的钱数．
考点13．积分竞赛问题
【典型例题】
例14、10个球队进行足球循环赛，赢一场得3分，平一场得1分，输一场不得分，某球队胜场比负场少2场，共得10分，则该球队平了?
场．
【分析】首先设该球队负了x场，则胜了（x-2）场，平了9-（x-2）-x场，根据题意可得等量关系：胜场得分+平场得分=10分，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设该球队负了x场，由题意得：
3（x-2）+9-（x-2）-x=10，
解得：x=5，
平的场数：9-（5-2）-5=1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出胜、平、负的场数，根据得分列出方程。
考点14．日历问题
【典型例题】
例15、如果日历上爸爸的生日的那天上、下、左、右四个日期的和为96，那么爸爸的生日是
日．
【分析】左边的数比爸爸生日日期小1，右边的数比爸爸的生日日期大1，上边的数比爸爸的生日日期小7，下边的数比爸爸的生日日期大7，让这4个数相加等于96列方程求解即可．
【解答】解：设爸爸的生日是x号．
（x-1）+（x+1）+（x-7）+（x+7）=96，
解得x=24，
故答案为24．
【点评】考查一元一次方程的应用，得到用爸爸生日日期表示的上、下、左、右四个日期是解决本题的突破点；用到的知识点为：日历中横行上相邻的2个数相邻1，竖列上相邻2个相差7．
考点15．浓度问题
【典型例题】
例16、某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克，要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓度为50%的硫酸多少千克？
【分析】利用溶质质量相同进而得出等式求出即可．
【解答】解：设需要加入x千克，
方程为：0.25（x+175）=0.5x+175×0.15，
解得：x=70，
答：需要加入浓度为50%的硫酸70千克．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
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第4章
一元一次方程
【走进中考】
考试要求由低到高分为四个层次，依次是了解、理解、掌握、灵活运用，表中分别用字母A、B、C、D表示，这里高一级的层次要求包含低一级层次的要求
考试内容
A
B
C
D
一元一次方
程
了解方程、一元一次方程以及方程有解的概念?
√
会解一元一次方程，并能灵活应用
√
会列一元一次方程解应用题，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理
√
一元一次方程是初中数学七年级上册的主要基础内容，解所有方程的必经之路，是历年中考考查的一个热点，直接或间接考察本章内容的考题约占15分，分值比例在13%左右，中考中多出现在选择题和填空题中，可与一元一次不等式、一次函数综合进行考察。
考向1
从问题到方程
考点1.方程的定义：
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
【典型例题】
例1、在下面的式子里，（ ）是方程．
A．5x+4
B．3x-5＜7
C．
D．3×2-1=5
【易错点拨】
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
考点2．一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【典型例题】
例2、下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．2x+5y=6
B．3x-2
C．x2=1
D．3x+5=8
【易错点拨】
一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）
这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．
考点3．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
【典型例题】
例3、我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果我们设快马x天可以追上慢马，则可列方程（ ）
A．240x=150x+12
B．240x=150x-12
C．240x=150（x+12）
D．240x=150（x-12）
【易错点拨】
（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
考向2
解一元一次方程
考点1．等式的性质
等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．
【典型例题】
例4、下列变形符合等式基本性质的是（ ）
A．如果2x-y=7，那么y=7-2x
B．如果，那么a等于b
C．如果-2x=5，那么x=5+2
D．如果，那么a=-3
【易错点拨】
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
考点2．方程的解与利用等式的性质解方程
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．
【典型例题】
例5、下列方程中，解是x=4的是（ ）
A．3x+1=11
B．-2x-4=0
C．3x-8=4
D．4x=1
例6、如果关于x的方程x+2a-3=0的解是x=-1，那么a的值是（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【易错点拨】
无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．
考点3．解一元一次方程
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
【典型例题】
例7、解方程，去分母，得（ ）
A．12x+2（x-1）=12+3（3x-1）
B．12x+2（x-1）=12-3（3x-1）
C．6x+（x-1）=4-（3x-1）
D．12x-2（x-1）=12-3（3x-1）
【易错点拨】
（1）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（2）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
考向3．列一元一次方程解应用题
1．列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2．利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3．解决应用题的一般步骤：
审
(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设
(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列
(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解
(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验
(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答
(写出答案，切忌答非所问).
4．常见应用题型
增长率问题、利润(销售)问题、循环问题、几何图形问题等.
考点1．相遇追及问题
1、行程问题中的三个基本量及其关系：
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
2、行程问题基本类型
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
【典型例题】
例1、甲、乙两人约定步行从学校出发，沿同一路线到距离学校1800米的图书馆看书．甲先出发，步行的速度是30米/分钟：乙比甲晚出发10分钟，比甲早20分钟到达图书馆．
（1）求乙步行的速度；
（2）求甲出发多长时间乙追上甲（要求列方程解答）．
【易错点拨】要特别注意：路程、速度、时间的对应关系（即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少）
考点2．环形跑道与时钟问题
【典型例题】
例2、如图，跑道由两个半圆部分AB，CD和两条直跑道AD，BC组成，两个半圆跑道的长都是115m，两条直跑道的长都是85m．小彬站在A处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．当小强第一次追上小彬时，他们的位置在（ ）
A．半圆跑道AB上
B．直跑道BC上
C．半圆跑道CD上
D．直跑道AD上
例3、晚上七点刚过，小强开始做数学作业，一看钟，发现此时时针和分针在同一直线上；做完数学作业八点不到，此时时针和分针又在同一直线上，则小强做数学作业花了多少时间（ ）
A．30分钟
B．35分钟
C．分钟
D．分钟
考点3．逆水行船问题
航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2
【典型例题】
例4、一艘轮船在A、B两港口之间匀速行驶，顺水航行需要6h，逆水航行需要8h，水流速度为5km/h，则A、B两地之间的路程是（ ）
A．200km
B．240km
C．300km
D．320km
考点4．火车过桥问题
【典型例题】
例5、已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度和车长分别是（ ）
A．20米/秒，200米
B．18米/秒，180米
C．16米/秒，160米
D．15米/秒，150米
考点5．储蓄问题
1、顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率.
2、储蓄问题中的量及其关系为：
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金+利息
×100%
利息税=利息×税率（20%）
【典型例题】
例6、某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）
考点6．经济销售问题
商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝×100%
商品销售额＝商品销售价×商品销售量
商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
【典型例题】
例7、某商品按进价增加40%标价销售，每件商品能赢利80元．
（1）求每件商品的进价是多少元？
（2）在一次“打折促销”活动中，该商品每件的利润只有10元，求该商品在促销活动中打了多少折销售？（注：打折销售是按标价的百分比收款，加95折是按标价的95%收款；8折是按标价的80%收款）
考点7．工程问题
1．工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量＝工作效率×工作时间
2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
【典型例题】
例8、甲、乙两个工程队共修一条路，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独修需要10天，乙先修1天，剩下的由甲乙共同工作还需要几天修完？
考点8．方案选择问题
【典型例题】
例9、某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每幅定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）问：
（1）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
（2）当购买15盒、30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店买，为什么？
考点9．配套问题
【典型例题】
例10、某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数1：2，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，刚好配套．求多少人生产螺栓？
考点10．数字问题
数字问题的基本关系：数字和数是不同的，同一个数字在不同数位上，表示的数值不同.
【典型例题】
例11、一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36，这个两位数是
岁。
考点11．年龄问题
【典型例题】
例12、儿子今年15岁，爸爸今年39岁，几年前，爸爸的年龄是儿子的4倍？
考点12．和差倍分问题
这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系的关键字，
例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套……”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
1、倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率…”来体现。
2、多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
增长量＝原有量×增长率
现在量＝原有量＋增长量
【典型例题】
例13、某单位第一次向灾区捐款24万元，第二次比第一次的3倍还多5万元，该单位两次共捐款多少万元？
考点13．积分竞赛问题
【典型例题】
例14、10个球队进行足球循环赛，赢一场得3分，平一场得1分，输一场不得分，某球队胜场比负场少2场，共得10分，则该球队平了?
场．
考点14．日历问题
【典型例题】
例15、如果日历上爸爸的生日的那天上、下、左、右四个日期的和为96，那么爸爸的生日是
日．
考点15．浓度问题
【典型例题】
例16、某化工厂现有浓度为15%的稀硫酸175千克，要把它配成浓度为25%的硫酸，需要加入浓度为50%的硫酸多少千克？
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