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1.1
从问题到方程
考点1．方程的定义
1．下列所给条件，不能列出方程的是
A．某数比它的平方小6
B．某数加上3，再乘以2等于14
C．某数与它的的差
D．某数的3倍与7的和等于29
【分析】根据题意列出各选项中的算式，再根据方程的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：设某数为，
、，是方程，故本选项错误；
、，是方程，故本选项错误；
、，不是方程，故本选项正确；
、，是方程，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了方程的定义，解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
2．在①；②；③；④中，方程共有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】方程是含有未知数的等式，是等式但不含未知数不是方程，含未知数不是等式也不是方程．
【解答】解：（1），含未知数但不是等式，所以不是方程．
（2），是等式但不含未知数，所以不是方程．
（3），是含有未知数的等式，所以是方程．
（4），是含有未知数的等式，所以是方程．
故有所有式子中有2个是方程．
故选：．
【点评】本题主要考查方程的定义，解决关键在于掌握方程的两个要素：（1）含未知数．（2）要是等式．
3．下列叙述中，正确的是
A．方程是含有未知数的式子
B．方程是等式
C．只有含有字母，的等式才叫方程
D．带等号和字母的式子叫方程
【分析】根据方程的定义结合选项选出正确答案即可．
【解答】解：、方程是含有未知数的等式，错误；
、方程是含有未知数的等式，故选项正确；
、并不是只有含有字母，的等式才叫方程，错误；
、含有未知数的等式叫做方程，错误；
故选：．
【点评】本题考查了方程的定义，掌握各知识点的定义是解答本题的关键．
4．在以下的式子中：；；；；；；其中是方程的个数为
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：不是方程，因为不是等式；
不是方程，因为不含有未知数；
、、、都是方程，字母是未知数，式子又是等式；
故选：．
【点评】本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解答此题的关键．
5．下列各式不是方程的是
A．
B．
C．
D．
【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．
【解答】解：、是方程，是未知数，式子又是等式，故本选项不符合题意；
、是方程，、是未知数，式子又是等式，故本选项不符合题意；
、是分式，不是等式，故本选项符合题意；
、是方程，是未知数，式子又是等式，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
6．下列各式，，，为已知数），，中，方程有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答．
【解答】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程．
不是等式，因而不是方程．
，为已知数）不含未知数所以都不是方程．
故有3个式子是方程．
故选：．
【点评】解题关键是依据方程的定义．
含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
7．下列各式中，是方程的个数为
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．
【解答】解：（1）不是方程，因为不含有未知数；
（2）是方程，是未知数，式子又是等式；
（3）不是方程，因为它不是等式；
（4）是方程，未知数是、、；
（5）不是方程，因为它是不等式而非等式；
（6）是方程，未知数是．
因此，（2）、（4）、（6）是方程，个数为3．
故选：．
【点评】本题考查了方程的定义．解题关键是依据方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
8．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中方程式的个数是
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．
【解答】解：①中没有未知数，不是方程；
②、⑤、⑥、⑦符合方程的定义；
③、④都不是等式，不是方程．
故选：．
【点评】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
9．已知式子：①；②；③；④；⑤，其中是等式的有 ①③④⑤ ，是方程的有
．
【分析】等式的特点：用等号连结的式子，方程的特点：①含未知数，②是等式．
【解答】解：①是等式；③即是等式也是方程；④即是等式也是方程；⑤即是等式也是方程，
故答案为：①③④⑤；③④⑤．
【点评】本题主要考查的是方程的定义，熟练掌握方程的概念是解题的关键．
10．在①；②；③；④中，等式有 ②③④ ，方程有
．（填入式子的序号）
【分析】方程是含有未知数的等式，因而方程是等式，等式不一定是方程，只是含有未知数的等式是方程．
【解答】解：等式有②③④，方程有②④．
故答案为：②③④，②④．
【点评】本题考查了方程的定义，方程与等式的关系，是一个考查概念的基本题目．
考点2．一元一次方程的定义
1．若是一元一次方程，则等于
A．1
B．2
C．1或2
D．任何数
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此列出关于的等式，继而求出的值．
【解答】解：根据一元一次方程的特点可得，
解得．
故选：．
【点评】解题的关键是根据一元一次方程的未知数的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答．
2．下列方程是一元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
【分析】只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，根据一元一次方程的定义求解即可．
【解答】解：、是分式方程，故不符合题意；
、是一元二次方程，故不符合题意；
、是一元一次方程，故符合题意；
、是二元一次方程，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程，利用一元一次方程的定义是解题关键．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
3．下列方程是一元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是一元一次方程的选项即可．
【解答】解：．该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意．
．该方程符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故本选项符合题意．
．该方程是分式方程，故本选项不符合题意．
．该方程是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
4．若是关于的一元一次方程，则的值是
A．2
B．
C．
D．4
【分析】根据一元一次方程的定义得出且，求出即可．
【解答】解：是关于的一元一次方程，
且，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出且是解此题的关键．
5．下列方程：①，②，③，④．其中是一元一次方程的个数是
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【分析】根据一元一次方程的定义，逐一判断即可．
【解答】解：①中含有两个未知数，该方程是二元一次方程；
②中方程式一元二次方程；
③方程的左边含有分式，该方程是分式方程；
④符合一元一次方程的定义．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程是一元一次方程．
6．下列是一元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：是一元一次方程，
故选：．
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
7．若是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【分析】根据一元一次方程的定义，可列方程和不等式，即可求的值．
【解答】解：是关于的一元一次方程，
．
故答案是：．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，利用一元一次方程的定义解决问题是本题的关键．
8．若是关于的一元一次方程，则 ，方程的解是
．
【分析】利用一元一次方程的定义判断求出的值，即可确定出方程的解．
【解答】解：是关于的一元一次方程，
，且，
解得：，
方程为，
解得：，
故答案为：；．
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
9．在方程①，②，③，④，⑤，⑥中，是一元一次方程的有 ②④⑥ ．
【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且．
【解答】解：
①是分式方程；
②符合一元一次方程的形式；
③是一元二次方程；
④符合一元一次方程的形式；
⑤是二元一次方程；
⑥符合一元一次方程的形式；
故②④⑥是一元一次方程．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
10．已知方程是关于的一元一次方程，
（1）求和的值．
（2）若满足关系式，求的值．
【分析】（1）由一元一次方程的定义可知，从而可求得的值，将的值代入得到关于的方程，从而可求得的值；
（2）将的值代入，然后依据绝对值的性质得到关于的一元一次方程，从而可求得的值．
【解答】解：（1）方程是关于的一元一次方程，
．
解得：．
将代入得：．
解得．
（2）将代入得：．
或．
或．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义和解法，依据一元一次方程的定义求得的值是解题的关键．
11．若是关于的一元一次方程，求的值．
【分析】只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
【解答】解：是关于的一元一次方程，
且，
解得：，
原式．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
考点3．由实际问题抽象出一元一次方程
1．在雅礼社团年会上，各个社团大放光彩，其中话剧社52人，舞蹈社38人要外出表演，现根据演出需要，从舞蹈社中抽调了部分同学参加话剧社，使话剧社的人数恰好是舞蹈社的人数的3倍．设从舞蹈队中抽调了人参加话剧社，可得正确的方程是
A．
B．
C．
D．
【分析】设从舞蹈队中抽调了人参加话剧社，由抽调后话剧社的人数恰好是舞蹈社的人数的3倍，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设从舞蹈队中抽调了人参加话剧社，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加就可成为一个正方形，设长方形的长为，可列方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】由长方形的周长为，长方形的长为知长方形的宽为，根据正方形的边长相等可列出方程．
【解答】解：长方形的周长为，长方形的长为，
则长方形的宽为，
根据题意，得：，
故选：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是根据长方形的周长表示出其宽及变化后正方形的边长．
3．小明早晨上学时，每小时走5千米，中午放学沿原路回家时，每小时走4千米，结果回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟，问小明家离学校有多远？设小明家离学校有千米，那么所列方程是
A．
B．
C．
D．
【分析】设小明家离学校千米，那么小明早晨上学所用的时间为小时，回家所用的时间为小时，根据“回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟”得出等量关系：回家所用的时间上学所用的时间小时，由此列出方程即可．
【解答】解：设小明家离学校千米，根据题意得，
．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，进而找到等量关系是解题的关键．
4．现有鸡兔同笼，已知鸡与兔头数之和为100，鸡与兔脚数之和为360，设鸡有只，所列方程是
A．
B．
C．
D．
【分析】设鸡有只，则兔有只，根据鸡与兔脚数之和为360，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设鸡有只，则兔有只，
依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．一件工作，甲单独完成需20天时间，乙单独完成需15天时间．现有甲先做4天，剩下的甲、乙合作，还需天，列方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】设还需天完工，根据甲完成的工作量乙完成的工作量总工作量（单位，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设还需天完工，
依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，设这个班有学生人，下列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】设这个班有学生人，等量关系为图书的数量是定值，据此列方程．
【解答】解：设这个班有学生人，
由题意得，．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
7．2015年5月10日央行宣布，从5月11日起人民币贷款及存款基准利率下调，一年定期存款利率从下调到，某人于2015年5月21日存入定期为1年的人民币5000元，设到期后银行应向储户支付现金元，则所列方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：一年本息和本金利息，根据此等式列方程即可．
【解答】解：设到期后银行应向储户支付现金元，则所列方程为：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，注意本金、利息、利息税、利率之间的关系是解题关键．
8．某美术兴趣小组有人，计划完成个剪纸作品，若每人做5个，则可比计划多9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列方程：①；②；③；④．其中正确的是
A．①②
B．②④
C．②③
D．③④
【分析】利用剪纸作品的个数人数每人做的个数少做的个数（或多做的个数）及人数（剪纸作品的个数少做的个数（或多做的个数）每人制作的个数，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：，，
方程③④正确．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．制作一件手工制品，如果由一个人完成需10小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则下列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】设先安排人工作，根据前一个小时完成的工作量后两个小时完成的工作量总工作量的，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设先安排人工作，
依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．一件标价为1088元的上衣，按9折销售仍可获利100元，设这件上衣的成本价为元，列方程
A．
B．
C．
D．
【分析】设这件上衣的成本价为元，根据利润售价成本，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设这件上衣的成本价为元，
依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
11．一件夹克衫先按成本价提高标价，再将标价打7折出售，结果获利38元．设这件夹克衫的成本价是元，那么依题意所列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】设这件夹克衫的成本价是元，根据售价成本利润，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设这件夹克衫的成本价是元，
依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．某种家电商场将一种品牌的电脑按标价的9折出售，仍可获利，已知该品牌电脑进价为9000元，如果设该电脑的标价为元，根据题意得到的方程是 ．
【分析】等量关系：电脑按标价的9折出售，仍可获利，即实际售价标价的进价的．
【解答】解：根据题意，得：
．
【点评】标价的9折，即标价的，获利，即获得的利润是进价．
13．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马天可以追上慢马，则可以列方程为 ．
【分析】设快马天可以追上慢马，根据慢马先行的路程快慢马速度之差快马行走天数，即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设快马天可以追上慢马，
由题意，得．
故答案是：．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据数量关系列出关于的一元一次方程是解题的关键．
14．七年级1班有45名同学，其中男生人数比女生人数的2倍少6，设女生人数为名，请列出正确的方程： ．
【分析】根据七年级1班有45名同学，其中男生人数比女生人数的2倍少6，可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15．《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设有人，则根据题意可列方程 ．
【分析】设有人，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设有人，
由题意，得．
故答案是：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
16．20个工人生产螺栓和螺母，已知一个工人一天生产3个螺栓或4个螺母，且一个螺栓配2个螺母，如何分配工人生产螺栓和螺母？如果设生产螺栓的工人数为个，根据题意可列方程为： ．
【分析】安排名工人生产螺栓，名工人生产螺母，根据生产的螺母是螺栓的2倍列方程即可．
【解答】解：设安排名工人生产螺栓，则需安排名工人生产螺母，
根据题意，得：，
故答案是：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据总人数为28人，生产的螺母是螺栓的2倍列出方程是解题的关键．
1.2
解一元一次方程
考点1．等式的性质
1．下列运用等式性质正确的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【分析】直接利用等式的基本性质分别化简得出答案．
【解答】解：、如果，那么，故此选项错误；
、如果，那么，故此选项错误；
、如果，那么，正确；
、如果，那么，故此选项错误．
故选：．
【点评】此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
2．根据等式性质，下列结论正确的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：、左边除以2，右边加2，故错误；
、左边加2，右边加，故错误；
、两边都除以，故正确；
、左边除以2，右边乘以2，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题关键．
3．下列等式变形中不正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【分析】根据等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；根据等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．
【解答】解：、等式两边都加5，故正确；
、等式两边都乘以，故正确；
、两边都除以，故正确；
、时，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边都成一或除以同一个不为0的数，结果仍是等式．
4．己知等式，为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据等式的基本性质可判断选项是否正确．
【解答】解：、根据等式性质1，等式两边都减，即可得到，故这个选项不符合题意；
、根据等式性质1，等式两边都加，即可得到，故这个选项不符合题意；
、根据等式性质2，等式两边都乘以，根据等式性质1，等式两边都加2，即可得到，故这个选项不符合题意；
、根据等式性质2，等式两边都除以时，应加条件，等式不一定成立，故这个选项符合题意；
故选：．
【点评】主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质．
等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
5．下列等式的性质的运用中，错误的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：、等于零时，除以无意义，原变形错误，故这个选项符合题意；
、两边都乘以，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意；
、两边都加上2，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意；
、两边都除以，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题关键．
6．下列选项中，不能由已知等式推出的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据等式的基本性质可判断选项是否正确．
【解答】解：、根据等式性质1，等式两边都加上，即可得到，故这个选项不符合题意；
、根据等式性质1，等式两边都减去2，即可得到，故这个选项不符合题意；
、根据等式性质2，等式两边都乘以，即可得到，故这个选项不符合题意；
、根据等式性质2，等式两边都除以时，应加条件，故这个选项符合题意；
故选：．
【点评】主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质．
等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
7．根据等式的基本性质，下列结论正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【分析】根据等式的性质解答．
【解答】解：、等式的两边同时乘以得到：，故本选项符合题意．
、当时，该结论不成立，故本选项不符合题意．
、等式的两边应该同时加上或者减去，等式不成立，故本选项不符合题意．
、等式的两边应该同时乘以或，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】考查了等式的性质．
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
8．设，，是有理数，下列选项错误的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【分析】根据等式的性质进行判断即可．
【解答】解：、等式两边都加上，等式仍成立，故这个选项不符合题意；
、等式两边都乘以，等式仍成立，故这个选项不符合题意；
、时，等式两边都除以没有意义，等式不成立，故这个选项符合题意；
、等式两边都乘以，等式仍成立，故这个选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
9．已知，利用等式的性质判断和的大小关系是 ．
【分析】利用等式的性质，把等式变形为减等于多少的形式，得结论．
【解答】解：等式的两边都减去，得
，
等式的两边都除以2，得
．
故答案为：．
【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质．注意：两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．
10．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“”的结论．
设、为正数，且．
，
．
①
． ②
．
③
．
④
． ⑤
．
⑥
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是 ④ （填入编号），造成错误的原因是 ．
【分析】根据等式的性质：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．
【解答】解：由，得．
第④步中两边都除以不符合等式性质．
故答案为：④；等式两边除以值为零的式子，不符合等式性质．
【点评】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变．
11．下面的框图表示了解这个方程的流程
在上述五个步骤中依据等式的性质2的步骤有 ①⑤ ．（只填序号）
【分析】等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，依据性质2进行判断即可．
【解答】解：去分母时，在方程两边同时乘上12，依据为：等式的性质2；
系数化为1时，在等式两边同时除以28，依据为：等式的性质2；
故答案为：①⑤．
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
考点2．方程的解与利用等式的性质解方程
1．若关于的方程的解是，则
A．1
B．0
C．2
D．3
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．把代入方程就可以得到了一个关于的方程．解方程就可以求出的值．
【解答】解：把代入方程得到：
解得：．
故选：．
【点评】本题主要考查了方程解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解，可把它叫做“有解就代入”．
2．方程★，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】把代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字．
【解答】解：将代入方程，得：★，
解得：★，
即★处的数字是1，
故选：．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
3．有下列结论：
①若，则；
②若有唯一的解，则；
③若，则关于的方程的解为；
④若，且，则一定是方程的解；
其中结论正确的个数有
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】各项整理得到结果，即可作出判断．
【解答】解：①错误，当，，时，，但是；
②正确，方程整理得：，
由方程有唯一解，得到，即，此时解为；
③错误，由，，方程解得：；
④正确，把，代入方程左边得：，右边，故若，且，则一定是方程的解，
故选：．
【点评】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．下列方程中，解为的方程是
A．
B．
C．
D．
【分析】求出各项中方程的解，即可作出判断．
【解答】解：、方程，移项合并得：，符合题意；
、方程，解得：，不符合题意；
、方程，解得：，不符合题意；
、方程，解得：，不符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．一列方程如下排列：
的解是，
的解是，
的解是，
根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ．
【分析】根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案．
【解答】解：由一列方程如下排列：
的解是，
的解是，
的解是，
得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，
解是的方程：，
故答案为：．
【点评】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题关键．
6．已知是方程的解，则 3 ．
【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．
【解答】解：是方程的解，
，
解得，．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查了方程解的定义，已知是方程的解实际就是得到了一个关于的方程．
7．若关于的方程是一元一次方程，则该方程的解为 ．
【分析】根据一元一次方程的定义可得：，解方程即可算出的值，再把的值代入即可算出的值．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
则方程变为：，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
8．已知是方程的解，那么的值为 3 ．
【分析】把代入方程求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：把代入方程得：，
则原式．
故答案为：3
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．已知是关于的方程的解，则的值是 ．
【分析】根据方程的解得定义，把代入方程，即可得到一个关于的方程，从而求得的值．
【解答】解：把代入，得
，
解得．
故答案是：．
【点评】本题考查了方程的解的定义，正确解方程是关键．
考点3．解一元一次方程
1．在解方程时，去分母后正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】方程两边乘以15去分母得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程去分母得：，
故选：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
2．下列选项中，移项正确的是
A．方程变形为
B．方程变形为
C．方程变形为
D．方程变形为
【分析】根据移项的法则，移项要变号即可判断．
【解答】解：、方程变形为，故选项错误；
、正确；
、方程变形为，故选项错误；
、方程变形为，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了移项，移项的依据是等式的基本性质，注意移项要变号．
3．解方程时，去分母正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线右括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项．
【解答】解：方程两边同时乘以6得：，
去括号得：．
故选：．
【点评】在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用，并注意不能漏乘没有分母的项．
4．下列所给的方程变形中，正确的是
A．把方程移项得
B．把方程去括号得
C．若，则
D．方程去分母得
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，使方程逐渐向形式转化．
等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．即可判断．
【解答】解：、把方程移项得，
所以选项错误，不符合题意；
、把方程去括号得，
所以选项错误，不符合题意；
、若，当时，则，
所以选项错误，不符合题意；
、正确．
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是准确运用等式性质2．
5．解方程，步骤如下：①去括号，得；②移项，得；③合并同类项，得；④系数化为1，得．检验知，不是原方程的解，说明解题的四个步骤中有错误，其中做错的一步是
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】观察可得移项出现错误．
【解答】解：观察得：其中做错的一步是②，
故选：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．下面的框图表示了琳琳同学解方程的流程：
你认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第 一 步开始出现问题，正确完成这一步的依据是 ．
【分析】观察琳琳同学的过程，找出出现问题的步骤即可．
【解答】解：我认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第一步开始出现问题，正确完成这一步的依据是等式的基本性质．
故答案为：一；等式的基本性质
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．当 时，代数式与的值相等．
【分析】根据题意可得方程，根据一元一次方程的求解方法即可求得结果．
【解答】解：根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化1，得：．
故答案为：．
【点评】此题考查一元一次方程的简单应用与解法．注意解题时要细心，掌握解一元一次方程的步骤．
8．当 时，式子与的值互为相反数．
【分析】式子与的值互为相反数就是已知这两个式子的和是0，就可以得到一个关于的方程，解方程就可以求出的值．
【解答】解：根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化1得：．
即当时式子与的值互为相反数．
【点评】本题主要考查相反数的概念，已知相反数就是已知一个相等关系，可以利用方程解决．
9．解下列方程：
；
．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：；
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）
（4）
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
（3）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
（4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）去分母得：，
移项合并得：，
解得：；
（3）去分母得：，
移项合并得：，
解得：；
（4）方程整理得：，即，
移项合并得：，
解得：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．已知关于的方程的解比的解小，求的值．
【分析】分别求得关于的方程、的解，然后根据题意列出关于的方程，通过解方程求得的值．
【解答】解：，
；
，
；
比小，
，
解得：．
【点评】本题考查了解一元一次方程．解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
1.3
列一元一次方程解应用题
考点1．相遇追及问题
1．从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距千米，则列方程为 ．
【分析】本题中的相等关系是：步行从甲地到乙地所用时间乘车从甲地到乙地的时间小时．即：，根据此等式列方程即可．
【解答】解：设甲乙两地相距千米，先利用路程公式分别求得步行和乘公交车所用的时间，再根据等量关系列方程得：．
【点评】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系．
2．列方程解应用题：某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
【分析】由题意可知，此人不管以多大的速度到达学校路程都不变，由此列方程求解．
【解答】解：设从家到学校有千米，15分钟小时，
依题意得：，
，
，
，
答：从家里到学校的路程有11.25千米．
【点评】根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
3．一列客车长200米，一列货车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过18秒，已知客车与货车的速度之比是，问两车每秒各行驶多少米？
【分析】设客车的速度为，则货车的速度为，一列客车长200米，一列货车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过18秒，已知客车与货车的速度之比是，可列方程求解．
【解答】解：设客车的速度为，则货车的速度为，根据题意有
解得，
即客车的速度为米秒，货车的速度为10米秒．
【点评】本题考查理解题意的能力，设出速度，根据路程速度时间，以路程做为等量关系列方程求解．
4．一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发．汽车速度60公里小时，我们的速度是5公里小时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人．出发地到目的地的距离是60公里．问：步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）．
【分析】设路人的路程为公里，根据题意找出等量关系：步行者走公路的时间汽车行驶公里的时间，依此等量关系列出方程求解即可
【解答】解法一：
解：设路人的路程为公里，
由题意得：
解得：
（小时）；
解法二：
解：设步行者在出发后经小时与回头接他们的汽车相遇，
由题意得：
，
解得：（小时）；
答：步行者在出发后小时与回头接他们的汽车相遇．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．
5．某人原计划骑车以12千米时的速度由地到地，这样便可以在规定的时间到达，但他因事将原计划出发的时间推迟了20分钟，只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定的时间早4分钟到达地，求、两地间的距离．
【分析】本题的等量关系是时间路程速度，本题的关键语是“比规定的时间早4分钟到达地”，由此可得出，原计划用的时间实际用的时间分钟分钟．
【解答】解：设、两地间距离为千米，
由题意得：，
解方程得；．
答：、两地间距离为24千米．
【点评】重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
6．一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是，根据以上数据，你能否求出火车的长度？若能，火车的长度是多少？若不能，请说明理由．
【分析】设火车的长度是米，根据经过一条长的隧道需要的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是，可列方程求解．
【解答】解：设火车的长度是米，
，
解得，
火车的长度是300米．
【点评】本题考查理解题意的能力，通过隧道和灯光照射表示的什么意思，灯光照射的时间就是走火车的长度的时间，根据速度相等可列方程求解．
7．两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口（快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间为5秒．
（1）求两车的速度之和及两车相向而行时慢车驶过快车某个窗口（慢车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间；
（2）如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少为多少秒？
【分析】（1）快车驶过慢车某个窗口等量关系为：两车的速度之和所用时间快车车长；慢车驶过快车某个窗口等量关系为：两车的速度之和所用时间慢车车长；
（2）等量关系为：两车速度之差时间两车车长之和．
【解答】解：（1）设快，慢车的速度分别为米秒，米秒．
根据题意得，
即两车的速度之和为20米秒；
设慢车驶过快车某个窗口需用秒，
根据题意得，
．
即两车相向而行时，慢车驶过快车某个窗口所用时间为7.5秒．
答：两车的速度之和为20米秒，两车相向而行时，慢车驶过快车某个窗口所用时间为7.5秒；
（2）所求的时间，
，
依题意，当慢车的速度为8米秒时，的值最小，
，
的最小值为62.5秒．
答：从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少为62.5秒．
【点评】找到相应的等量关系是解决问题的关键；难点是得到相应的车速和路程．
8．甲、乙两人同时从地前往相距25.5千米的地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米时，甲先到达地后，立即由地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时，求两人的速度．
【分析】从题意可以理解甲、乙两人从出发到相遇时共走了千米，设乙速度为千米小时，则甲的速度为千米小时，以路程作为等量关系可列方程求解．
【解答】解：设乙的速度是千米时，则
，
解得，
．
答：甲的速度为12千米小时，乙的速度是5千米时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意的能力，关键是知道到相遇时他们共走了米，然后根据路程速度时间，以路程作为等量关系列方程求解．
考点2．环形跑道与时钟问题
1．在6点和7点间，何时分针和时针重合？
【分析】从圆心角的角度看，钟面圆周一周是，分针一小时（60分）转一周，那么每分钟转：；时针一小时（60分）转：，那么每分钟转：；在6点整时，分针落后时针的角度是：，假设时针不动，分针只要再追赶（路程差），这时时针与分针就重合；再根据速度差为：，设6点分时时钟上的分针和时针重合，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：分针每分钟转：；时针一小时（60分）转：，那么每分钟转：；
由题意，得，
解得．
答：6点分时，分针和时针重合．
【点评】本题考查了时间与钟面问题中钟面追及问题，关键是求出追及的路程（用角度表示）和速度差（用角度表示）．
2．甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
【分析】在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程乙路程，两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程乙路程．
【解答】解：设二人同时同地同向出发，分钟后二人相遇，则：
，
解得：．
设两人背向而行，分钟后相遇，则：
，
解得：．
答：二人同时同地同向出发，10分钟后二人相遇；若背向跑，分钟后相遇．
【点评】本题考查环形跑道上的相遇问题和追及问题．相遇问题常用的等量关系为：甲路程乙路程环形跑道的长度，追及问题常用的等量关系为：甲路程乙路程环形跑道的长度．
3．在六点和七点之间，什么时刻时针与分针重合？什么时刻时针与分针成平角？什么时刻时针与分针成直角？
【分析】首先求出时针与分针的运动速度，然后根据题意列出方程，问题即可解决．
【解答】解：由题意得：时针的转动速度为分钟，
分针的转动速度为分钟，
设时针与分针的转动时间为分钟；
当时针与分针重合时，
，
解得：（分钟）．
显然，6点钟时，时针与分针成平角；
当时针与分针成直角时，
，
解得：（分钟）．
【点评】该题主要考查了钟面角、一元一次方程及其应用问题；解题的关键是根据时针与分针的运动速度，正确列出方程，准确求解运算．
4．小明与小刚约好下午在书店门口集合，一同去买课外用书．当小明下午出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），却没有见到小刚．他怀疑自己迟到了，于是朝书店墙上的时钟一看，只见钟面上的时针与分针刚好重合在一起．请你运用学过的数学知识计算一下，这时的准确时间是多少？
【分析】利用分针与时针的速度关系，列出方程求出时针走的圆心角的度数，再由时针走相当于2分钟，即可求出准确时间．
【解答】解：分针的速度是时针速度的12倍，设时针走了，则分针走了，
小明下午出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），且时针与分针刚好重合在一起．
，解得，
时针走相当于2分钟，
时针走过的分钟为分．
这时准确的时间为4时分．
【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是求出时针走了多少度．
考点3．逆水行船问题
1．一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
【分析】设船在静水中的速度为千米每小时，表示出顺水与逆水速度，根据两码头的距离相等列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设船在静水中的速度为千米每小时，
根据题意得：，
去括号得：，
解得：，
（千米）．
答：两码头之间的距离为36千米．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
2．一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24千米小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的距离．
【分析】根据题意可知本题需要设两个城市之间的距离为千米，利用无风时飞机的速度作为相等关系，利用顺风的时间和路程求出的无风时的速度为：，逆风的时间和路程可求出无风时的速度为：，列出方程即可求解．
【解答】解：设两地距离为千米，则有方程：，
解得：，
答：两个城市之间的距离为2448千米．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．此题的关键是要知道利用无风时飞机的速度作为相等关系．一个量的两种不同表示方法作为相等关系是解一元一次方程应用题中一个重要的相等关系，需要掌握．
3．小明在静水中划船的速度为10千米时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度．
【分析】首先设该河的水流速度为千米时，由题意得等量关系：顺水速度顺水行驶时间逆水行驶速度逆水行驶时间，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设该河的水流速度为千米时，由题意得：
，
解得：，
答：该河的水流速度为2千米时．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
4．某船从码头顺流航行到码头，然后逆流返航到码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米小时，水流速度为2.5千米小时，若与的距离比与的距离少40千米，求与的距离．
【分析】设与的距离为千米，则与的距离为千米，船顺水行驶的速度为10千米小时，船逆水流行驶的速度为5千米小时，然后分类讨论：当在与之间时，顺水行驶千米，逆水行驶40千米，根据速度公式利用时间列方程得到；当在点的上游时，顺水行驶千米，逆水行驶千米，根据速度公式利用时间列方程得到，再分别解方程即可．
【解答】解：设与的距离为千米，则与的距离为千米，
当在与之间时，，解得（千米）；
当在点的上游时，，解得（千米）．
答：与的距离为56千米或120千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
考点4．火车过桥问题
1．已知某铁路桥长，现在一列火车匀速通过该桥，
火车从开始上桥到过完桥共用了，整列火车完全在桥上的时间为，则火车的长度为多少？
【分析】等量关系为：
（桥
长火车长）（桥
长火车长），把相关数值代入计算即可
．
【解答】解：
设火车的长度为，根据火车的速度不变可得方程：．
．
答：
火车的长度为．
【点评】考查一元一次方程的应用；根据速度得到等量关系是解决本题的关键，
找到相应时间的路程是解决本题的难点
．
2．等速前进的列车从它进入长的隧道到离开共需30秒，又知隧道顶部一盏固定的灯光，垂直照射火车5秒，求列车的长度？
【分析】要求列车长度．先要计算列车的速度，设列车长度为米，则根据“列车从它进入长的隧道到离开共需30秒，隧道顶部一盏固定的灯光，垂直照射火车5秒”列出方程并解答即可．
【解答】解：设火车长度为，
依题意得：，
解得．
答：列车的长度为120米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
3．一列火车从车头进隧道到车尾出隧道共用了10分钟，已知火车的速度是500米分，隧洞长4800米，问这列火车长是多少米？
【分析】等量关系为：列车速度相应时间隧道长火车身长，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：火车长米，
则：，
解得：．
答：隧道长为200米．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是：得到汽车10分钟行驶的路程隧道长列车长这个等量关系．
4．一列匀速行驶的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道用了18秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒，求这列火车的长为多少米？
【分析】设这列火车的长为米，根据题意表示出火车的速度：米秒，或者是米秒，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：设这列火车的长为米，根据题意得：
，
解得：．
答：这列火车长为400米．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，表示出火车的速度．
考点5．储蓄问题
1．小刚将压岁钱存入某银行，选择的是一年定期的整存整取，年利率是，一年后得到利息140元，求小刚存入了多少压岁钱？
【分析】利息本金利率期数利息税本金利率期数．
【解答】解：设当初小刚存入银行元．则
，
解得：．
答：小刚存入了4000元压岁钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
2．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已知利息税税率为，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设当时一年期定期储蓄的年利率为，
，
解得，，
即当时一年期定期储蓄的年利率为．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
3．储户到银行存款可以获得一定的存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的．
（1）将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时可以得到利息 187 元，扣除个人所得税后实际得到
元．
（2）小明的爸爸把一笔钱按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为，到期支取时，扣除所得税后得本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？
【分析】（1）根据利息本金利率时间列式计算求出本金；根据税率为利息的可得扣除个人所得税后实际利息利息；
（2）设这笔资金是元，根据扣除所得税后得本金和利息共计71232元列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）到期支取时可以得到利息：（元，
扣除个人所得税后实际得到：（元；
（2）设这笔资金是元，根据题意得
，
解得．
答：这笔资金是70000元．
故答案为176，149.6．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
考点6．经济销售问题
1．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元，按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等，求该工艺品每件的进价、标价分别是多少元．
【分析】从题意中可得到相等关系有：每件商品的标价每件商品的进价元；8件工艺品的利润件工艺品的利润．如果设进价为元，则标价为元，可列一元一次方程求解．
【解答】解：设该工艺品每件的进价为元，则标价为元，
依题意有：，
解得，
所以．
所以每件工艺品的进价为155元，标价为200元．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，是一道和商品的进价、标价和利润有关的实际问题，难度中等．
2．某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按标价的八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为．问这种鞋的标价是多少元？
【分析】设这种鞋的标价是元，利用销售价减成本等于利润列方程，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：设这种鞋的标价是元，
根据题意得，
解得．
答：这种鞋的标价是105元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．解决本题的关键是理解利润率的意义．
3．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【分析】若设甲服装的成本为元，则乙服装的成本为元．根据公式：总利润总售价总进价，即可列出方程．
【解答】解：设甲服装的成本为元，则乙服装的成本为元，
根据题意得：，
解得：，．
答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．
【点评】注意此类题中的售价的算法：售价定价打折数．
4．一家商店将某种服装按成本价提高标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本多少元？
【分析】设这种服装每件的成本为元，根据成本价成本价利润列出方程，解方程就可以求出成本价．
【解答】解：设这种服装每件的成本为元，
根据题意得：，
解得：．
答：这种服装每件的成本为125元．
【点评】此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题时要明确利润是在进价的基础上的．
考点7．工程问题
1．一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
【分析】设工作量为1，根据甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，即可求出甲乙的效率；等量关系为：甲的工作量乙的工作量，列出方程，再求解即可．
【解答】解：设乙还需天完成，由题意得
，
解得．
答：乙还需5天完成．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
2．某工作，甲单独干需用15小时完成，乙单独干需用12小时完成，若甲先干1小时，乙又单独干4小时，剩下的工作两人合作，问：再用几小时可全部完成任务？
【分析】设再用小时可全部完成任务，甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据工作总量为1得到：甲的工作量乙的工作量列出方程并解答．
【解答】解：设再用小时可全部完成任务，得
解得
经检验，符合题意．
答：再用4小时可完成全部任务．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
3．某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
【分析】设原计划每小时生产个零件，则实际生产件．题目中的相等关系是：实际24小时生产的件数计划26小时生产的件数．根据相等关系就可以列出方程求解．
【解答】解：设原计划每小时生产个零件，由题意得：
，
解得：，
所以原计划生产零件个数为：，
答：原计划生产780零件．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程．
4．某项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需12天完成，甲、乙二人合做6天以后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程？
【分析】根据甲单独做需20天完成，乙单独做需12天完成，可得出甲、乙每天完成的总工作量，再利用甲、乙两人合作6天后，再由乙继续完成，利用总工作量为1得出等式求出即可．
【解答】解：设乙再做天可以完成全部工程，由题意得：
，
解得：．
答：乙再做3天可以完成全部工程．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，分别表示出甲和乙的工作量，根据总工作量为1可得方程．
5．已知甲、乙两人合作一项工程，甲独做25天完成，乙独做20天完成，甲、乙合作5天后，甲另有任务，乙再独做几天完成？
【分析】设乙再独做天完成，这项工程的工作量为1，根据甲、乙合作5天后完成的工作量乙再独做完成的工作量列出方程解答即可．
【解答】解：设乙再独做天完成，这项工程的工作量为1，由题意得
，
解得：．
答：乙再独做11天完成．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系是解决问题的关键．
考点8．方案选择问题
1．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
【分析】方案一：直接用算术方法计算：粗加工的利润吨数；方案二：首先根据每天精加工的吨数以及天数的限制，知精加工了吨，还有50吨直接销售；方案三：设精加工天，则粗加工天，根据加工的总吨数为140吨列方程求得的值，然后可求得获得的利润．
【解答】解：方案一：（元，
将蔬菜全部进行粗加工后销售，则可获利润630000元
方案二：（元，
将蔬菜尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，则可获利润725000元；
方案三：设精加工天，则粗加工天．
根据题意得：，
解得：，
所以精加工的吨数，吨．
这时利润为：（元
答：该公司可以粗加工这种蔬菜80吨，精加工这种蔬菜60吨，可获得最高利润为810000元．
【点评】本题主要考查的一元一次方程的应用，根据题意列出关于的方程是解题的关键．
2．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台1500元，种每台2100元，种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进、两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，求商场购进这两种型号的电视机各多少台？
（2）若商场销售一台种电视机可获利150元，销售一台种电视机可获利200元，销售一台种电视机可获利250元．该家电商场用9万元从生产厂家购进两种不同型号的电视机共50台，为了使销售时获利最多，该家电商场应该购买哪两种型号的电视机？分别购进多少台？
【分析】（1）本题的等量关系是：两种电视的台数和台，买两种电视花去的费用万元．然后分进的两种电视是、，、，、三种情况进行讨论．求出正确的方案；
（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后判断出获利最多的方案．
【解答】解：
（1）设购种电视机台，则购种电视机购台．
即
．
答：购、两种电视机各25台．
（2）按购，两种，，两种，，两种电视机这三种方案分别计算：
设购种电视机台，则种电视机台
①当选购，两种电视机时，设购种电视机台，购种电视机台，
可得方程
即
②当选购，两种电视机时，设购种电视机台，购种电视机台，
可得方程
③当购，两种电视机时，设购种电视机台，购种电视机为台，可得方程
，，不合题意．
由此可选择两种方案：一是购，两种电视机各25台；
二是购种电视机35台，种电视机15台．
若选择（1）中的方案①，可获利
（元
若选择（1）中的方案②，可获利
（元
故为了获利最多，选择购种电视机35台，种电视机15台．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：两种电视的台数和台，买两种电视花去的费用万元．列出方程，再求解．
考点9．配套问题
1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
【分析】首先设分配x人生产螺栓，则有（28-x）人生产螺母，根据题意可得等量关系：x人生产的螺栓数×2=（28-x）人生产螺母数，由等量关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：设分配x人生产螺栓，则有（28-x）人生产螺母，由题意得：
12x×2=（28-x）×18，
??
24x=504-18x，
???42x=504，
????
x=12；
28-12=16（人）；
答：应分配12人生产螺栓，16人生产螺母，才能使每天生产量刚好配套．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，用生产螺栓的人数表示出生产螺母的人数，再由“螺栓和螺母正好配套”就要求生产螺母的数量是螺栓的2倍，列出方程求解．
2、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【分析】设生产大齿轮的人数为x，则生产小齿轮的人数为85-x，再由两个大齿轮与三个小齿轮配成一套列出比例式，求出x的值即可．
【解答】解：设生产大齿轮的人数为x，则生产小齿轮的人数为85-x，
因为平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，
所以x人生产大齿轮的个数为16x个，（85-x）人生产小齿轮的个数为10×（85-x）个
又两个大齿轮与三个小齿轮酿成一套，可得：
3×16x=2×10×（85-x）
??
48x=1700-20x
??
68x=1700
??
?
x=25．
85-x=85-25=60（人），
答：生产大齿轮的人数为25人，则生产小齿轮的人数为60人．
【点评】完成本题的关键是根据所给条件列出关于x的关系式，求出未知数的值．
考点10．数字问题
1．一个两位数，个位的数字比十位上的数字大1，交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于33，求这个两位数．
【分析】设十位数字是，个位数字是，根据交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于33，可列方程求解．
【解答】解：设十位数字是，
，
．
．
这个两位数是12．
【点评】本题考查是数字问题，关键是设出十位上的数字，表示出个位上的数字，根据新数和原数的和是33列方程求解．
2．已知三个连续偶数的和为2004，这三个连续偶数分别是多少？
【分析】设三个偶数中中间的一个为，最大的一个为，最小的一个为，由三个数的和为2004建立方程求出其解即可．
【解答】解：设三个偶数中中间的一个为，最大的一个为，最小的一个为，
由题意，得，
解得：，
，．
答：这三个连续偶数分别是666，668，670．
【点评】本题考查了一元一次方程解决实际问题的运用，偶数的性质的运用，解答时根据三个偶数的和为2004建立方程是关键．
考点11．年龄问题
1．小明今年12岁，他爸爸今年36岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍？（列方程并估计问题的解）
【分析】设年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍，再根据年后两人的年龄是2倍关系列出方程即可．
【解答】解：设年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍，
根据题意得，，
．
【点评】本题考查了列一元一次方程，需要注意父子二人的年龄都增加．
2．已知：甲的年龄为岁，乙的年龄比甲的年龄的3倍少7岁，丙的年龄比乙的年龄的还多3岁，求甲、乙、丙年龄之和．
【分析】根据题意可用表示出乙和丙的年龄，从而可表示出甲、乙、丙年龄之和．
【解答】解：由题意得：乙的年龄为；丙的年龄为
甲、乙、丙年龄之和．
【点评】本题考查整式的加减，关键在于根据题意列出表达式，然后再根据运算法则进行运算．
3．今年兄弟两年龄和是55岁，若干年前，当哥哥的年龄只有弟弟现在这么大时，弟弟的年龄恰恰是哥哥年龄的一半，问哥哥今年多大岁数？
【分析】设哥哥今年年龄为岁，由“今年兄弟两年龄和是55岁”得出弟弟今年年龄为岁，当哥哥的年龄只有弟弟现在这么大时，即哥哥的年龄为岁时，哥哥增长了岁，这时弟弟的年龄为岁，再根据“弟弟的年龄恰恰是哥哥年龄的一半”列出方程解答即可．
【解答】解：设哥哥今年年龄为岁，弟弟今年年龄为岁，
，
解得．
答：哥哥今年33岁．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
4．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年前兄的年龄是弟的年龄的2倍？
【分析】等量关系为：若干年后兄的年龄若干年后弟的年龄，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设年后，兄的年龄是弟的年龄的2倍，
则年后兄的年龄是，弟的年龄是．
由题意，得，
，，
．
答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍．
【点评】考查一元一次方程的应用，得到若干年后兄弟俩年龄的等量关系是解决本题的关键；注意年后应表示3年前．
考点12．和差倍分问题
1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？
【分析】设出去年该单位为灾区捐款数目，由今年为灾区捐款比去年的2倍多1000元列出方程解方程即可．
【解答】解：设去年该单位为灾区捐款元，
则：，
解得．
答：去年该单位为灾区捐款12000元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解决此类题的关键是找好等量关系，也考查了列一元一次方程求解的能力．
2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的，第二次旅程中用去剩余汽油的，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
【分析】设油箱里原有汽油公斤，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设油箱里原有汽油公斤，可得：
解得：；
答：求油箱里原有汽油10公斤．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答．
考点13．积分竞赛问题
1．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某球队打了14场，负2场，共得24分，这支球队胜多少？
【分析】设胜了场，根据胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某球队打了14场，负2场，共得24分，可以列出关于的方程式，即可解题．
【解答】解：设胜了场，
某球队打了14场，负2场，
平的场数为，
共计分24分，
，
解得：，
答：这支球队胜6场．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题中给据胜场和平场的总场数和总积分列出方程式并求解是解题的关键．
2．某区中学生足球赛共8轮（即每队均需参赛8场）胜一场得3分，平一场得1分，输一场不得分．在这次足球比赛中，猛虎队平的场次是负的场次的2倍，且8场比赛共得17分，该队共胜多少场？
【分析】根据8场比赛共得17分，得出等式求出即可．
【解答】解：设负场，，
解得：．
故负1场，胜5场．
答：该队共胜5场．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出胜、负、平所得总分是解题关键．
3．足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共比赛14场，现已比赛8场，输了1场，共得17分，请问：
（1）前8场比赛中，这支足球队共胜多少场？
（2）这支足球队打满14场比赛，最高能得多少分？
【分析】（1）可设这个队胜了场，然后根据题意“总分17分”列出一元一次方程即可．
（2）显然最后的6场比赛都要胜利才能拿到最高分，由此即可得出答案．
【解答】解：（1）设这个队胜了场，
根据题意，得
解这个方程，得．
答：这个队胜了5场．
（2）解：后6场的最高得分为：，前8场的得分为17，
最高得分为：，
答：最高能得35分．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，在这道题中也贯穿了尝试法的应用，根据题意准确的列出方程，通过分析即可求解，要把所有的情况都考虑进去．
考点14．日历问题
1．如图是一张某月份的日历：
（1）在该日历中能否找出一些列上相邻的3个数，使它们的和分别为25、60和75？
（2）阴影所示的方框中，每行数之和有什么规律？每竖列数之和有什么规律？
【分析】（1）设一列上相邻的3个数中间的数为，则其余两数分别为，，求出这三个数的和为，然后令分别等于25、60和75，求出的值，结合实际意义即可求解；
（2）设阴影所示的方框中，每行的第一个数为，用含的代数式分别表示出其余的3个数，再求出这四个数的和，即可发现规律；同理，设阴影所示的方框中，每列的第一个数为，用含的代数式分别表示出其余的3个数，再求出这四个数的和，即可发现规律．
【解答】解：（1）设一列上相邻的3个数中间的数为，则其余两数为，，
那么这三个数的和为：，
当时，，不合题意舍去；
当时，，，，符合题意；
当时，，，，不合题意舍去；
故在该日历中不能找出一些列上相邻的3个数，使它们的和分别为25、75；能找出一些列上相邻的3个数，使它们的和为60；
（2）设阴影所示的方框中，每行的第一个数为，则其余的3个数为，，，
则这四个数的和为：，
规律为：每一行相邻的四个数之和为偶数；
设阴影所示的方框中，每列的第一个数为，则其余的3个数为，，，
则这四个数的和为：，
规律为：每一列相邻的四个数之和为偶数．
【点评】此题考查了列代数式；难度适中．用到的知识点为：日历中横行相邻两个数相，差1，竖列相邻两个数相差7．
2．如图是某月的日历表，表格中方框内有9个数字．
（1）试探究图1方框中的9个数字之和与方框正中间的数字有什么关系？
（2）如图2不改变方框的大小，任意移动方框的位置试一试，你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？
（3）若设这个方框正中间的数字为，试用含的式子表示这9个数的和．
（4）若当或23时，求方框内的数字之和．
【分析】（1）设中间的数为，表示出其余的数，看相加的结果与中间的数的关系即可；
（2）根据中间数与上下、左右数的关系分析解答；
（3）根据以上规律可得这个关系对任何一个月的月历都成立；
（4）把或23代入即可得到方框内的数字之和．
【解答】解：（1）设正中心的数为，则，
方框中的9个数之和为：
．
所以这9个数之和是方框正中间的数的9倍．
（2）结合图表正中间那个日期为，相邻两数减1与加1，正中间这一行上下分别加7与减7，
据此得到相同的结果，所以这个关系对其他方框成立，用代数式表示即是：中间数为，则9个数之和为．
规律：十字形框中9个数之和等于正中间数的9倍．
（3）用含的式子表示这9个数的和为：．
（4）当时，；
当时，．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用和列代数式，解决本题的难点是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．
考点15．浓度问题
1．某学校社会实践小分队走访100户家庭，发现一般洗衣水的浓度以为合适，即洗衣水里含的洗衣粉比较合适，因为这时表面活性最大，去污效果最好．现有一个洗衣缸可容纳洗衣水（包括衣服），已知缸中的已有衣服重，所需洗衣水的浓度为，已放了两匙洗衣粉匙洗衣粉约为问还需加多少洗衣粉，添多少水比较合适？
【分析】此题基本数量关系是：原有洗衣水的重量添加洗衣水的重量衣服重量洗衣缸容量，设出需加洗衣粉的重量，表示出添加洗衣水的重量，列出方程即可解答．
【解答】解：设还需加洗衣粉，由题意得，
，
解得；
；
答：还需加的洗衣粉，添加的水．
【点评】解答此题要理清洗衣水的浓度为的含义，理清基本数量关系：原有洗衣水的重量添加洗衣水的重量衣服重量洗衣缸容量．
2．用浓度为和的两种烧碱溶液，
混合制成浓度为的烧碱溶液
300
千克，
需用这两种烧碱溶液各多少千克？
【分析】取出的两种溶液的和是
300
千克，
设出一种溶液表示出另一种溶液的量，
设浓度为的烧碱溶液为千克，的烧碱溶液为千克
．
列方程解答即可
．
【解答】解：
设浓度为的烧碱溶液为千克，的烧碱溶液为千克
．
由题意得：
，
解得：，
（千
克）
．
答：
浓度为和的烧碱溶液中各取
175
千克，
125
千克
．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，
溶液浓度问题，
首先弄清题意，
然后再根据烧碱的含量不变列出方程，
解方程即可
．
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精品试卷·第
2
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1.1
从问题到方程
考点1．方程的定义
1．下列所给条件，不能列出方程的是
A．某数比它的平方小6
B．某数加上3，再乘以2等于14
C．某数与它的的差
D．某数的3倍与7的和等于29
2．在①；②；③；④中，方程共有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下列叙述中，正确的是
A．方程是含有未知数的式子
B．方程是等式
C．只有含有字母，的等式才叫方程
D．带等号和字母的式子叫方程
4．在以下的式子中：；；；；；；其中是方程的个数为
A．3
B．4
C．5
D．6
5．下列各式不是方程的是
A．
B．
C．
D．
6．下列各式，，，为已知数），，中，方程有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．下列各式中，是方程的个数为
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中方程式的个数是
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
9．已知式子：①；②；③；④；⑤，其中是等式的有
，是方程的有
．
10．在①；②；③；④中，等式有
，方程有
．（填入式子的序号）
考点2．一元一次方程的定义
1．若是一元一次方程，则等于
A．1
B．2
C．1或2
D．任何数
2．下列方程是一元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
3．下列方程是一元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
4．若是关于的一元一次方程，则的值是
A．2
B．
C．
D．4
5．下列方程：①，②，③，④．其中是一元一次方程的个数是
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
6．下列是一元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
7．若是关于的一元一次方程，则的值为 ．
8．若是关于的一元一次方程，则
，方程的解是
．
9．在方程①，②，③，④，⑤，⑥中，是一元一次方程的有 ．
10．已知方程是关于的一元一次方程，
（1）求和的值．
（2）若满足关系式，求的值．
11．若是关于的一元一次方程，求的值．
考点3．由实际问题抽象出一元一次方程
1．在雅礼社团年会上，各个社团大放光彩，其中话剧社52人，舞蹈社38人要外出表演，现根据演出需要，从舞蹈社中抽调了部分同学参加话剧社，使话剧社的人数恰好是舞蹈社的人数的3倍．设从舞蹈队中抽调了人参加话剧社，可得正确的方程是
A．
B．
C．
D．
2．一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加就可成为一个正方形，设长方形的长为，可列方程为
A．
B．
C．
D．
3．小明早晨上学时，每小时走5千米，中午放学沿原路回家时，每小时走4千米，结果回家所用的时间比上学所用的时间多10分钟，问小明家离学校有多远？设小明家离学校有千米，那么所列方程是
A．
B．
C．
D．
4．现有鸡兔同笼，已知鸡与兔头数之和为100，鸡与兔脚数之和为360，设鸡有只，所列方程是
A．
B．
C．
D．
5．一件工作，甲单独完成需20天时间，乙单独完成需15天时间．现有甲先做4天，剩下的甲、乙合作，还需天，列方程为
A．
B．
C．
D．
6．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，设这个班有学生人，下列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
7．2015年5月10日央行宣布，从5月11日起人民币贷款及存款基准利率下调，一年定期存款利率从下调到，某人于2015年5月21日存入定期为1年的人民币5000元，设到期后银行应向储户支付现金元，则所列方程为
A．
B．
C．
D．
8．某美术兴趣小组有人，计划完成个剪纸作品，若每人做5个，则可比计划多9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列方程：①；②；③；④．其中正确的是
A．①②
B．②④
C．②③
D．③④
9．制作一件手工制品，如果由一个人完成需10小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则下列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
10．一件标价为1088元的上衣，按9折销售仍可获利100元，设这件上衣的成本价为元，列方程
A．
B．
C．
D．
11．一件夹克衫先按成本价提高标价，再将标价打7折出售，结果获利38元．设这件夹克衫的成本价是元，那么依题意所列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
12．某种家电商场将一种品牌的电脑按标价的9折出售，仍可获利，已知该品牌电脑进价为9000元，如果设该电脑的标价为元，根据题意得到的方程是 ．
13．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马天可以追上慢马，则可以列方程为 ．
14．七年级1班有45名同学，其中男生人数比女生人数的2倍少6，设女生人数为名，请列出正确的方程： ．
15．《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？这个物品的价格是多少？设有人，则根据题意可列方程 ．
16．20个工人生产螺栓和螺母，已知一个工人一天生产3个螺栓或4个螺母，且一个螺栓配2个螺母，如何分配工人生产螺栓和螺母？如果设生产螺栓的工人数为个，根据题意可列方程为： ．
1.2
解一元一次方程
考点1．等式的性质
1．下列运用等式性质正确的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
2．根据等式性质，下列结论正确的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
3．下列等式变形中不正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．己知等式，为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
5．下列等式的性质的运用中，错误的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．下列选项中，不能由已知等式推出的是
A．
B．
C．
D．
7．根据等式的基本性质，下列结论正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．设，，是有理数，下列选项错误的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9．已知，利用等式的性质判断和的大小关系是 ．
10．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“”的结论．
设、为正数，且．
，
．
①
． ②
．
③
．
④
．
⑤
．
⑥
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是 （填入编号），造成错误的原因是 ．
11．下面的框图表示了解这个方程的流程
在上述五个步骤中依据等式的性质2的步骤有 ．（只填序号）
考点2．方程的解与利用等式的性质解方程
1．若关于的方程的解是，则
A．1
B．0
C．2
D．3
2．方程★，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是，那么★处的数字是
A．1
B．2
C．3
D．4
3．有下列结论：
①若，则；
②若有唯一的解，则；
③若，则关于的方程的解为；
④若，且，则一定是方程的解；
其中结论正确的个数有
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．下列方程中，解为的方程是
A．
B．
C．
D．
5．一列方程如下排列：
的解是，
的解是，
的解是，
根据观察得到的规律，写出其中解是的方程：
．
6．已知是方程的解，则
．
7．若关于的方程是一元一次方程，则该方程的解为 ．
8．已知是方程的解，那么的值为 ．
9．已知是关于的方程的解，则的值是
．
考点3．解一元一次方程
1．在解方程时，去分母后正确的是
A．
B．
C．
D．
2．下列选项中，移项正确的是
A．方程变形为
B．方程变形为
C．方程变形为
D．方程变形为
3．解方程时，去分母正确的是
A．
B．
C．
D．
4．下列所给的方程变形中，正确的是
A．把方程移项得
B．把方程去括号得
C．若，则
D．方程去分母得
5．解方程，步骤如下：①去括号，得；②移项，得；③合并同类项，得；④系数化为1，得．检验知，不是原方程的解，说明解题的四个步骤中有错误，其中做错的一步是
A．①
B．②
C．③
D．④
6．下面的框图表示了琳琳同学解方程的流程：
你认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第 步开始出现问题，正确完成这一步的依据是 ．
7．当
时，代数式与的值相等．
8．当
时，式子与的值互为相反数．
9．解下列方程：
；
．
10．解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）
（4）
11．已知关于的方程的解比的解小，求的值．
1.3
列一元一次方程解应用题
考点1．相遇追及问题
1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为
。
2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？
3、一列客车长200米，一列货车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过18秒，已知客车与货车的速度之比是5：3，问两车每秒各行驶多少米？
4、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发．汽车速度60公里/小时，我们的速度是5公里/小时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行这部分人．出发地到目的地的距离是60公里．问：步行者在出发后经多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）．
5、某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。
6、一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。
7、两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。
⑴
两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？
⑵
如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？
8、甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。
考点2．环形跑道与时钟问题
1、在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？
2、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
3、在六点和七点之间，什么时刻时针与分针重合？什么时刻时针与分针成平角？什么时刻时针与分针成直角？
4、小明与小刚约好下午4：30在书店门口集合，一同去买课外用书．当小明下午4：00出门赶到书店门口时（路上用去的时间不超过1小时），却没有见到小刚．他怀疑自己迟到了，于是朝书店墙上的时钟一看，只见钟面上的时针与分针刚好重合在一起．请你运用学过的数学知识计算一下，这时的准确时间是多少？
考点3．逆水行船问题
1、一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。
2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间的距离。
3、小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。
4、某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。
考点4．火车过桥问题
1、已知某铁路桥长500m，现在一列火车匀速通过该桥，火车从开始上桥到过完桥共用了30s整列火车完全在桥上的时间为20s，则火车的长度为多少m？
2、等速前进的列车从它进入600m长的隧道到离开共需30秒，又知隧道顶部一盏固定的灯光，垂直照射火车5秒，求列车的长度？
3、一列火车从车头进隧道到车尾出隧道共用了10分钟，已知火车的速度是500米/分，隧洞长4800米，问这列火车长是多少米？
4、一列匀速行驶的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道用了18秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒，求这列火车的长为多少米？
考点5．储蓄问题
1、小刚将压岁钱存入某银行，选择的是一年定期的整存整取，年利率是3.5%，一年后得到利息140元，求小刚存入了多少压岁钱？
2、老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
3、储户到银行存款可以获得一定的存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的20%．
（1）将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时可以得到利息
元，扣除个人所得税后实际得到
元．
（2）小明的爸爸把一笔钱按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时，扣除所得税后得本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？
考点6．经济销售问题
1、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？
3、甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？
4、一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
考点7．工程问题
一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部
分由乙单独做，还需要几天完成？
2、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?
3、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？
4、某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?
5、已知甲、乙二人合作一项工程，甲25天独立完成，乙20天独立完成，甲、乙二人合5天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？
考点8．方案选择问题
1、某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：
如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
2、某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
考点9．配套问题
1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？
2、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
考点10．数字问题
1、一个两位数，个位数字比十位数字小1，这个两位数的个位十位互换后，它们的和是33，求这个两位数.
2
、已知三个连续偶数的和为2004，这三个连续偶数分别是多少？
考点11．年龄问题
1、小明今年12岁，他爸爸今年36岁，几年后爸爸的年龄是小明年龄的2倍？（列方程并估计问题的解）
2、已知：甲的年龄为m岁，乙的年龄比甲的年龄的3倍少7岁，丙的年龄比乙的年龄的还多3岁，求甲、乙、丙年龄之和．
3、今年兄弟两年龄和是55岁，若干年前，当哥哥的年龄只有弟弟现在这么大时，弟弟的年龄恰恰是哥哥年龄的一半，问哥哥今年多大岁数？
4、兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？
考点12．和差倍分问题
1、某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？
2、旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
考点13．积分竞赛问题
1、足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某球队打了14场，负2场，共得24分，这支球队胜多少？
2、某区中学生足球赛共8轮（即每队均需参赛8场）胜一场得3分，平一场得1分，输一场不得分．在这次足球比赛中，猛虎队平的场次是负的场次的2倍，且8场比赛共得17分，该队共胜多少场？
3、足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共比赛14场，现已比赛8场，输了1场，共得17分，请问：
（1）前8场比赛中，这支足球队共胜多少场？
（2）这支足球队打满14场比赛，最高能得多少分？
考点14．日历问题
1、如图是一张某月份的日历：
（1）在该日历中能否找出一些列上相邻的3个数，使它们的和分别为25、60和75？
（2）阴影所示的方框中，每行数之和有什么规律？每竖列数之和有什么规律？
2、如图是某月的日历表，表格中方框内有9个数字．
（1）试探究图1方框中的9个数字之和与方框正中间的数字有什么关系？
（2）如图2不改变方框的大小，任意移动方框的位置试一试，你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？
（3）若设这个方框正中间的数字为a，试用含a的式子表示这9个数的和m．
考点15．浓度问题
1、用浓度为5%和53%的两种烧碱溶液，混合制成浓度为25%的烧碱溶液300千克，需用这两种烧碱溶液各多少千克？
2、某学校社会实践小分队走访100户家庭，发现一般洗衣水的浓度以0.2%-0.5%为合适，即100kg洗衣水里含200-500g的洗衣粉比较合适，因为这时表面活性最大，去污效果最好．现有一个洗衣缸可容纳15kg洗衣水（包括衣服），已知缸中的已有衣服重4kg，所需洗衣水的浓度为0.4%，已放了两匙洗衣粉（1匙洗衣粉约为0.02kg）问还需加多少kg洗衣粉，添多少kg水比较合适？
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精品试卷·第
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