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第4章
一元一次方程
时间：100分钟
分值：100分
姓名：
一．选择题（共10小题，每题3分）
1．下列方程为一元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
2．如果关于的方程的解是，那么的值是
A．
B．
C．1
D．2
3．下列方程变形中，正确的是
A．方程，移项得，
B．方程
，去括号得，
C．方程，系数化为1得，
D．方程，去分母得，
4．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果我们设快马天可以追上慢马，则可列方程
A．
B．
C．
D．
5．如图，在矩形中，，动点从点开始沿边以每秒的速度运动；动点从点开始沿边以每秒的速度运动，点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为秒，则当 秒时，四边形为矩形．
A．3
B．4
C．5
D．6
6．新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，设这款服装的进价为元，根据题意可列方程为
A．
B．
C．
D．
7．某工程甲独做需10天完成，乙独做需8天完成．现由甲先做3天，再由甲乙合作完成．若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
8．一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加就可成为一个正方形，设长方形的长为，可列方程为
A．
B．
C．
D．
9．父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是
A．2
B．3
C．4
D．5
10．某中学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得火车与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长
A．1500米
B．1575米
C．2000米
D．2075米
二．填空题（共8小题，每题3分）
11．若关于的方程是一元一次方程，则这个方程的解是 ．
12．如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 ．
13．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于
2
，则关于的方程的解为
．
14．一文具店在某一时间以每件30元的价格卖出两个笔袋，其中一个盈利，另一个亏损．卖这两个笔袋总的盈亏情况是 元（填盈利或亏损多少）
15．一家服装店将某种服装按成本提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利36元，这种服装每件的成本为 ．
16．一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某同学做了全部试题共得85分，他做对了
道题．
17．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36，这个两位数是
．
18．在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟圈，乙每分钟圈，丙每分钟圈，他们同时出发，起点如图所示（甲、乙、丙分别从点、点、点出发），沿环形赛场顺时针运动，则：
①出发后第 分钟甲、丙第一次相遇；
②出发后第 分钟乙、丙第一次相遇；
③出发后第 分钟三人第一次相遇．
解答题（共5小题，共46分）
19．解方程（16分）：
（1）
（2）
；
（4）．
20．（6分）阅读下列材料：让我们来定义一种运算：
，例如，再如，按照这种运算的规定：
请解答下列各个问题．
（1） （只填最后结果）
（2）求的值，使．（写出解答过程）
21．（10分）永辉超市为春节促销，特推出了两种购物方案．
方案一：非会员购物所有商品价格可获九折优惠；
方案二：如交纳400元会费成为该超市会员，则所有商品价格可获八五折优惠．
（1）以（元表示商品价格，分别用含有的式子表示出两种购物方案中支出金额；
（2）若某人计划在超市购买价格为5800元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
（3）哪种情况下，两种方案的支出金额相同？
22．（12分）列一元一次方程解应用题
为喜迎中华人民共和国成立70周年，博文中学将举行以“歌唱祖国“为主题的歌咏比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，而且4袋贴纸与3袋小红旗价格相同．
（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果购买贴纸和小红旗共90袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．恰好全部分完，请问贴纸和小红旗各多少袋？
（3）在（2）条件下，两家文具店的有优惠如下：
．文具店：全场商品物超过800元后，超出800元的部分打八五折；
．文具店，相同商品，“买十件赠一件”．
请问在哪家文具店购买比较优惠？并说明理由．
23．（12分）如图在数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为0，，点以每秒3个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动（点，点同时出发）．
（1）数轴上点表示的数是 ．
（2）经过几秒，点，到原点的距离相等？
（3）点在点左侧运动的情况下，当点运动到什么位置时恰好使？
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第1章
一元二次方程
时间：100分钟
分值：130分
姓名：
一．选择题（共10小题，每题3分）
1．下列方程为一元一次方程的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两面都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，
故选：．
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．
2．如果关于的方程的解是，那么的值是
A．
B．
C．1
D．2
【分析】根据解的意义，把代入方程，得到关于的一次方程，求解即可．
【解答】解：把代入方程，得
解得
故选：．
【点评】本题考查了一次方程的解及解一元一次方程．题目比较简单，理解方程解的意义是解决本题的关键．
3．下列方程变形中，正确的是
A．方程，移项得，
B．方程
，去括号得，
C．方程，系数化为1得，
D．方程，去分母得，
【分析】各方程整理得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、方程，移项得：，不符合题意；
、方程，去括号得：，不符合题意；
、方程，系数化为1得：，不符合题意；
、方程，去分母得：，符合题意，
故选：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
4．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果我们设快马天可以追上慢马，则可列方程
A．
B．
C．
D．
【分析】设快马天可以追上慢马，根据路程速度时间，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设快马天可以追上慢马，
依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．如图，在矩形中，，动点从点开始沿边以每秒的速度运动；动点从点开始沿边以每秒的速度运动，点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为秒，则当 秒时，四边形为矩形．
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】当四边形为矩形时，，据此列出方程并解答．
【解答】解：设动点的运动时间为秒，
由题意，得．
解得．
故选：．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据矩形的性质，得到等量关系．
6．新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，设这款服装的进价为元，根据题意可列方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】设这款服装的进价是每件元，根据利润售价进价建立方程．
【解答】解：设这款服装的进价是每件元，由题意，得
．
故选：．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系的运用，解答时根据利润售价进价建立方程是关键
7．某工程甲独做需10天完成，乙独做需8天完成．现由甲先做3天，再由甲乙合作完成．若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】由甲完成的工程乙完成的工程总工程（单位，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加就可成为一个正方形，设长方形的长为，可列方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】由长方形的周长为，长方形的长为知长方形的宽为，根据正方形的边长相等可列出方程．
【解答】解：长方形的周长为，长方形的长为，
则长方形的宽为，
根据题意，得：，
故选：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是根据长方形的周长表示出其宽及变化后正方形的边长．
9．父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】设小强胜了盘，则父亲胜了盘，根据小强胜的盘数父亲胜的盘数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设小强胜了盘，则父亲胜了盘，
根据题意得：，
解得：．
答：小强胜了4盘．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．某中学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得火车与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长
A．1500米
B．1575米
C．2000米
D．2075米
【分析】先将60秒化为小时，设火车长千米，然后根据学生行驶的路程火车的路程火车的长度学生队伍的长度列方程求解即可．
【解答】解：设火车长千米．60秒小时．
根据题意得：．
解得：．
1.575千米米．
答：火车的长为1575米．
故选：．
【点评】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是找到相对速度和等式关系．
二．填空题（共8小题，每题3分）
11．若关于的方程是一元一次方程，则这个方程的解是 ．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：关于的方程是一元一次方程，
，解得：，
此时方程为，
解得：，
故答案为：
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
12．如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为 4 ．
【分析】求出第一个方程的解得到的值，代入第二个方程计算即可求出的值．
【解答】解：方程，
解得：，
把代入第二个方程得：，
去分母得：，
解得：，
故答案为：4
【点评】此题考查了同解方程，同解方程就为方程解相同的方程．
13．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于
2
，则关于的方程的解为 ．
【分析】由相反数得出，由倒数得出，由绝对值得出，然后将其代入关于的方程中，
从而得出的值
．
【解答】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于
2
，
，，，
将其代入关于的方程中，
可得：，
解得：．
【点评】主要考查了相反数，
倒数，
绝对值的概念及其意义，
并利用这些概念得到的数量关系代入含有字母系数的方程中，
利用一元一次方程求出未知数的值
．
14．一文具店在某一时间以每件30元的价格卖出两个笔袋，其中一个盈利，另一个亏损．卖这两个笔袋总的盈亏情况是 亏损4元 元（填盈利或亏损多少）
【分析】尽管是同样的价格卖出，但是由于两个笔袋的成本不一样，所以这是解决问题的出发点，于是分别设两个笔袋的成本来列式计算，求出成本即可．
【解答】解：设两个笔袋的成本分别为元、元，由题意可知
，
解得，
故答案为亏损了4元．
【点评】本题考查的是一元一次方程在利润计算上的应用，计算利润问题抓住成本是关键，此题应该注意盈利与亏损的基数不一样．
15．一家服装店将某种服装按成本提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利36元，这种服装每件的成本为 300元 ．
【分析】首先设这种服装每件的成本价是元，根据题意可得等量关系：进价折进价利润36元，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设这种服装每件的成本价是元，由题意得：
，
解得：，
故答案为：300元．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握利润、进价、售价之间的关系．
16．一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某同学做了全部试题共得85分，他做对了 22 道题．
【分析】设他做对了道题，则做错了道题，根据“做了全部试题共得85分，”列出方程并解答．
【解答】解：设他做对了道题，则做错了道题，
依题意得：，
解得．
故答案是：22．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．难点是设出相应的未知数．
17．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36，这个两位数是 84 ．
【分析】首先设个位数字为，则十位数字为，则原两位数可表示为，数字对调后所得两位数是，再根据“将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36”可得方程：，解方程得到个位数，进而可得十位数字．
【解答】解：设个位数字为，则十位数字为，由题意得：
，
解得：，
则，
答：原两位数是84．
故答案为84．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是表示出原两位数与新的两位数，根据数之间的关系列出方程．
18．在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟圈，乙每分钟圈，丙每分钟圈，他们同时出发，起点如图所示（甲、乙、丙分别从点、点、点出发），沿环形赛场顺时针运动，则：
①出发后第 1 分钟甲、丙第一次相遇；
②出发后第 分钟乙、丙第一次相遇；
③出发后第 分钟三人第一次相遇．
【分析】①设出发后第分钟甲、丙第一次相遇，根据甲、丙之间的速度之差运动时间甲、丙之间的路程之差，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
②设出发后第分钟乙、丙第一次相遇，根据乙、丙之间的速度之差运动时间乙、丙之间的路程之差，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
③设出发后第分钟甲、乙第一次相遇，根据甲、乙之间的速度之差运动时间甲、乙之间的路程之差，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再结合“甲、丙第一次相遇后每隔3分钟相遇一次，乙、丙第一次相遇后每隔4分钟相遇一次”，即可得出三人第一次相遇的时间．
【解答】解：①设出发后第分钟甲、丙第一次相遇，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：1．
②设出发后第分钟乙、丙第一次相遇，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：3．
③设出发后第分钟甲、乙第一次相遇，
依题意，得：，
解得：．
（分钟），（分钟），
甲、丙第一次相遇后每隔3分钟相遇一次，乙、丙第一次相遇后每隔4分钟相遇一次．
又（分钟），（分钟），
出发后第7分钟三人第一次相遇．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题，共44分）
19．解方程：
（1）
（2）
（3）；
（4）．
【分析】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出每个方程的解各是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（2）去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（3）去分母得，，
去括号得：，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，；
（4）原方程可化为：，
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．阅读下列材料：让我们来定义一种运算：
，例如，再如，按照这种运算的规定：
请解答下列各个问题．
（1） 7 （只填最后结果）
（2）求的值，使．（写出解答过程）
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式；
故答案为：7；
（2）根据题中的新定义化简得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．永辉超市为春节促销，特推出了两种购物方案．
方案一：非会员购物所有商品价格可获九折优惠；
方案二：如交纳400元会费成为该超市会员，则所有商品价格可获八五折优惠．
（1）以（元表示商品价格，分别用含有的式子表示出两种购物方案中支出金额；
（2）若某人计划在超市购买价格为5800元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
（3）哪种情况下，两种方案的支出金额相同？
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据两种方案算出支出金额即可；
（3）根据题意列出方程即可求出的值．
【解答】解：（1）方案一的支出金额为：，
方案二的支出金额为：；
（2）当时，
，
，
答：方案一更为省钱；
（3）当，
解得：，
答：当时，两种方案的支出金额相同
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
22．列一元一次方程解应用题
为喜迎中华人民共和国成立70周年，博文中学将举行以“歌唱祖国“为主题的歌咏比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有50张，每袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，而且4袋贴纸与3袋小红旗价格相同．
（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果购买贴纸和小红旗共90袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．恰好全部分完，请问贴纸和小红旗各多少袋？
（3）在（2）条件下，两家文具店的有优惠如下：
．文具店：全场商品物超过800元后，超出800元的部分打八五折；
．文具店，相同商品，“买十件赠一件”．
请问在哪家文具店购买比较优惠？并说明理由．
【分析】（1）设每袋贴纸为元，每条红旗为元，列出方程即可求出答案．
（2）设购买贴纸袋，购买小红旗袋，列出方程即可求出答案．
（3）分别计算出两家文具店应付金额即可求出答案．
【解答】解：（1）设每袋贴纸为元，每条红旗为元，
根据题意列出方程可得：，
，
，
答：每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是15和20元．
（2）设购买贴纸袋，购买小红旗袋，
根据题意可知：，
，
，
答：购买贴纸40袋，购买小红旗50袋．
（3）由（2）知购买贴纸40袋，购买小红旗50袋，
因为贴纸每袋15元，红旗每袋20元，
全部金额为：，
在文具店的应付金额为：，
在文具店的应付金额为：，
答：在文具店购买比较优惠．
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
23．如图在数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为0，，点以每秒3个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动（点，点同时出发）．
（1）数轴上点表示的数是 30 ．
（2）经过几秒，点，到原点的距离相等？
（3）点在点左侧运动的情况下，当点运动到什么位置时恰好使？
【分析】（1）根据即可求出答案；
（2）设经过秒，点，到原点的距离相等，分两种情况列出方程即可求出答案；
（3）设经过秒，恰好使，根据题意列出方程即可求出答案；
【解答】解：（1）故答案为：30；
（2）设经过秒，点，到原点的距离相等，分两种情况：
①当点，在原点两侧时，根据题意列方程：
得：，解得：
②当点，重合时，根据题意列方程，
得：，解得：
所以，经过2秒或10秒，点，到原点的距离相等；
（3）设经过秒，恰好使
根据题意得：
解得：．
又
所以当点运动到数轴上表示的点的位置时，
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
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精品试卷·第
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