【备考2022】近十年（2012-2021）全国各地高考数学真题分类汇编 直线与圆（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2012-2021十年全国卷高考数学真题分类精编
直线与圆
（精解精析）
一、高考真题
1.（2020·全国（文））点到直线距离的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．2
2.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知圆，直线，为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
3.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为
(　　)
A．
B．
C．
D．
4.（2020·海南）已知曲线
.（
）
A.若，则是椭圆，其焦点在轴上
B.若，则是圆，其半径为
C.若，则是双曲线，其渐近线方程为
D.若，则是两条直线
5.（2020·浙江）已知点，，．设点满足，且为函数
图像上的点，则（
）
A.
B．
C．
D．
6．（2020·浙江）设直线与圆和圆均相切，则
；
．
7．（2019·浙江）已知圆的圆心坐标是，半径长是，若直线与圆相切于点，则
，
8.（2019·江苏）在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线
的距离的最小值是
。
9.(2018·全国1·文)直线与圆交于两点，则　
.?
10.(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是
(　　)
A．
B．
C．
D．
11.（2018·北京理）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为（
）
A.1
B．2
C．3
D．4
12.(2018·天津·文)在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为　　.?
13．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)圆的圆心到直线的距离为1，则(　　)
A．
B．
C．
D．2
14.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知直线与圆交于
两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则_________.
15.(2016·山东·文)已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是(　　)
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
16.(2016·全国1·文)设直线与圆相交于两点，若，则圆的面积为　　.?
17.(2016·上海·理)已知平行直线，，则的距离是?
　.?
18.(2016·浙江·文)已知，方程表示圆，则圆心坐标是　　，半径是　　.?
19.(2016·天津·文)已知圆的圆心在轴的正半轴上，点在圆上，且圆心到直
线的距离为，则圆的方程为　　.?
20．（2015·山东（理））一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
21.(2015·全国2·文)已知三点，则外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
22.(2015·全国1·理)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则
该圆的标准方程为___________.?
23.(2015高考数学新课标2理科)过三点，，的圆交轴于两点，则(　　)
A．
B．8
C．
D．10
24.(2015·北京·文)圆心为且过原点的圆的方程是(　　)
A.
B.
C.
D.
25.(2015·广东·理)平行于直线且与圆相切的直线的方程是(　　)
A.或
B.或
C.或
D.或
26．（2015·四川（理））设直线与抛物线相交于两点，与圆
相切于点，且为线段的中点.若这样的直线恰有
4条，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
27（2015·重庆（理））已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（
）
A．2
B．
C．6
D．
28．（2015·江苏）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为
29.(2014高考数学课标2理科)设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是________．
30．（2014·全国（文））设点，若在圆上存在点，使得
，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
31.(2014·浙江·文)已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
32.（2014·江西（理））在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
33.（2014·福建（文））已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
34.（2014·四川（文））设，过定点的动直线和过定点的动直线
交于点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
35．（2014·四川（理））设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是
．
36.(2014·北京·文)已知圆和两点，.若圆上存在点，使得，则的最大值为(　　)
A.7
B.6
C.5
D.4
37.(2014·重庆·理)已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数　
　.?
38.(2014·陕西·理T12)若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为　　
.?
39．（2013·全国（理））已知点，，，直线，将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
40．（2013·四川（文））在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是
．
41．（2013·重庆（理））已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
42.（2013·湖南（理））在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）；若光线经过的重心，则等于（
）
A．2
B．1
C．
D．
43．（2013·天津高考文）已知过点的直线与圆相切，且与直线
垂直，则(　　)
A．
B．1
C．2
D.
44.（2013·陕西高考文）已知点在圆O：外，则直线与圆的位置关系是(　　)
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
45．（2013·安徽高考文）直线被圆截得的弦长为(　　)
A．1
B．2
C．4
D.
46.（2013·山东高考理）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(　　)
A．
B．
C．
D．
47．（2013·重庆高考文）设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为(　　)
A．6
B．4
C．3
D．2
48.（2013·江西高考理）过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　　)
A.
B．
C．
D．
49．（2012·湖北（文））过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
A．
B．
C．
D．
50．（2012·天津高考理）若直线与圆相切，则的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
51．（2012·陕西高考理）已知圆，是过点的直线，则(　　)
A．与相交
B．与相切
C．与相离
D．以上三个选项均有可能
52.（2012·福建高考文）直线与圆相交于两点，则弦的长度等于(　　)
A．
B．
C.
D．1
53.（2012·安徽高考文）若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是(　　)
A．
B．
C．
D．
54．（2012·重庆高考文）设为直线与圆的两个交点，则(　　)
A．1
B.
C.
D．2
55．（2012·辽宁高考文）将圆平分的直线是(　　)
A．
B．
C．
D．
56.（2012·山东高考文）圆与圆的位置关系为(　　)
A．内切
B．相交C．外切
D．相离
57.(2012·浙江·理)设，则“”是“直线与直线
平行”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
58．（2012·重庆（理））对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（
）
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
59.（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，
，圆的直径为．
(1)求椭圆及圆的方程；
(2)设直线与圆相切于第一象限内的点．
①若直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；
②直线与椭圆交于两点．若的面积为，求直线的方程．
60．（2017·全国（文））在直角坐标系中，曲线与轴交于两点，点的
坐标为，当变化时，解答下列问题：
(1)能否出现的情况？说明理由；
(2)证明过三点的圆在轴上截得的弦长为定值.
61．（2015·全国（文））已知过点且斜率为的直线与圆交于
两点．
(1)求的取值范围；
(2)若，其中为坐标原点，求
62．（2015·广东（理））已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点．
(1)求圆的圆心坐标；
(2)求线段的中点的轨迹的方程；
(3)是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
63.(2014·全国1·文)已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
(1)求的轨迹方程;
(2)当时，求的方程及的面积.
64.(2013·江苏)如图，在平面直角坐标系中，点，直线；设圆的半径为1，圆心在上.
(1)若圆心也在直线上，过点A作圆的切线，求切线的方程;
(2)若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
二．参考答案
1.解析：由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为，故选：B.
2.解析：圆的方程可化为，点到直线的距离为，
所以直线与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以
，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D．
3.解析：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限；
设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．
由题意可得，可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离为；
圆心到直线的距离为
所以，圆心到直线的距离为．故选：B．
4.解析：对于
A，若，则可化为
因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故
A
正确；
对于B，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故
B
不正确；
对于，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，
由可得，故正确；
对于
D，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故
D
正确；
故选：ACD.
5.解析：因为，所以点在以为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线
的右支上，由，可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，
所以由，解得，即．故选：D.
6.解析：设；，由题意，到直线的距离等于半径，即
，所以，所以（舍）或者，
解得
7.解析：可知，把代入得，此时
8.解析：当直线平移到与曲线相切位置时，切点即为点到直线
的距离最小。
由，得（舍），，即切点，
则切点到直线的距离为，故答案为4．
9.解析：圆的方程可化为，
故圆心，半径，圆心到直线的距离，
所以弦长.
10.解法一：由直线易知，，故
圆的圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的取值范围为，即。
所以，故选A．
解法二：设，则点到直线的距离，
令，则代入圆的方程整理得：，利用方程有解条件，则有
解法三：利用三角换元
设，则
∴
11.解析：∵，为单位圆上一点，而直线过点，
所以的最大值为，选
C.
12.解析：画出示意图如图所示，则为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为，半径为1，所以所求圆的方程为，即.
13.解析：由得：，所以圆心坐标为，所以圆心
到直线的距离为：，所以，故选A．
14.解析：因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，
所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知，在梯形中，.
15.解析：圆的方程可化为，故其圆心为，半径
所以圆心到直线的距离.
所以直线被圆所截弦长为；
由题意可得，故.而，显然
，所以两圆相交.
16.解析：圆的方程可化为，直线方程为，
所以圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离.
由已知，解得，故圆的面积为.
17.解析：
18.解析：由题意，可得，解得或2；
当时，方程为，即，故圆心为，半径为5；当时，方程为，不表示圆。
19.解析：设圆心的坐标为，则；
又点在圆上，则圆的半径
故圆的方程为
20.解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为：，即：，故而选D。
又因为光线与圆相切，
所以，
解得：，或
，故选
D．
21.解析：由题意知，外接圆的圆心是直线与线段垂直平分线的交点为，而线段垂
直平分线的方程为，它与联立得圆心坐标为，则
22.解析：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为；
设圆心为，所以，解得，故圆心为，此时半径，因此该圆的标准方程是.
23.解析：由已知得，，所以，所以，即
为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为5，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．
24.解析：圆的半径
，标准方程为.
25.解析：设与直线平行的直线方程为，
因为直线与圆相切，所以，.
故所求直线的方程为或
.
26．解析：设，，
当斜率存在时，设斜率为，则，相减得：，因为直线与圆相切，所以，即，
的轨迹是直线，代入抛物线得：，所以，又在圆上，代入得：，所以，因为直线恰好有四条，所以；
所以，即时直线恰好有两条；
当直线斜率不存在时，直线有两条，所以直线恰有4条时，故选
D．
27．解析：试题分析：直线过圆心，所以，
所以切线长，选
C.
28.解析：设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此的最大值为直线
与渐近线之间距离为
29.解析：在坐标系中画出圆O和直线y=1，其中在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得
30．解析：依题意，直线与圆有公共点即可，即圆心到直线的距离小于等于1
即可，过作，垂足为，在中，因为，
故，所以，则，解得．
31.解析：圆的方程可化为，因此圆心为，半径.
圆心到直线的距离，
又弦长为4，因此由勾股定理可得，解得.故选B.
32．解析：试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.
33.解析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率．由点斜式得直线，化简得，故选
D．
34．解析：易得，设，则消去得：，所以点在以为直径的圆上，，所以，令，
，则，因为，，所以，所以，；选B.
35．解析：易得，设，则消去得，所以点在以为直径
的圆上，，所以，
36.解析：因为，所以使的点P在以线段为直径的圆上，该圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为1.
由题意知点在圆上，故两圆有公共点.
所以两圆的位置关系为外切、相交或内切，
故，即，解得.
所以的最大值为6.故选B.
37.解析：由为等边三角形可得，到的距离为，即到直线的距离
，即，可求得.
38.解析：因为关于的对称点为，所以圆是以为圆心，以1为半径的圆，其方程为.
39．解析：由题意可得，的面积为，
由于直线与轴的交点为，
由直线将分割为面积相等的两部分，可得，故，
故点在射线上。
设直线和的交点为，由，可得点的坐标为．
①若点和点重合，如图：
则点为线段的中点，故，
把两点的坐标代入直线，求得．
②若点在点和点之间，如图：
此时，点在点和点之间，由题意可得三角形的面积为：
即，即，得，求得，所以
③若点在点的左侧，如图
则，由点的横坐标，求得．
设直线和的交点为，则由，求得点的坐标为，
此时，由题意可得，三角形的面积等于，即，
即，化简可得．
由于此时，，∴．
两边开方，∴
，得，所以
综上可得，的取值范围是
故选
B．
40．解析：取四边形对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：
假设在四边形中任取一点，在中，有，在中，有；而如果在线段上，那么；同理，如果在线段上，那么。如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时就只能是与的交点．易求得
41.．解析：如图圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为
1，
圆的圆心坐标，半径为
3，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即：．
故选
A．
42．解析：建立如图所示的坐标系，可得，故直线的方程为，
的重心为
设，其中，则点关于直线的对称点，
满足，解得，即
易得关于轴的对称点，
由光的反射原理可知四点共线；
直线的斜率为，故直线的方程为
由于直线过的重心，代入化简可得，
解得，或（舍去），
故，故．故选
D．
43.解析：由切线与直线垂直，得过点与圆心的直线与直线
平行，所以，解得.
44.解析：由点在圆外，得，∴圆心到直线的距离
，则直线与圆相交．
45.解析：依题意，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，
所以结合图形可知弦长的一半为，故弦长为4.
46.解析：由题知，直线一定与点的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线
的斜率一定是，只有选项A中直线的斜率为.
47.解析：因为圆的圆心为，半径为2，所以的最小值.
48.解析：由得，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．
故；所以当，即时，取得最大值，此时点到直线的距离.
设此时直线的斜率为，则方程为，即，则有
，解得，由图可知直线的倾斜角为钝角，故取
49．解析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，通过观察图形，显然只需该直线与直线垂直即可，又已知
，则所求直线的斜率为，又该直线过点，易求得该直线的方程为；故选
A.
50.解析：由题意可得，化简得，
解得
51.解析：把点代入圆的方程的左侧得，故点在圆的内部，所以过点的直线与圆相交．
52.解析：圆心到直线的距离为1，所以.
53.解析：欲使直线与圆有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆
的半径即可，即，解得.
54.解析：因为直线与圆的圆心(0，0)，所以所得弦长.
55.解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为．四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．
56.解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、之和为5，而，所以两圆相交．
57.解析：与平行的充要条件为且，可解得或，故是的充分不必要条件.
58．解析：过定点，点在圆内，所以直线与圆相交但不过圆心
59.解析：（1）因为椭圆的焦点为，，可设椭圆的方程为
．
又点在椭圆上，所以，解得
因此，椭圆的方程为
因为圆的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线与圆相切于，则，
所以直线的方程为，即．
由，消去，得．（
）
∵直线与椭圆有且只有一个公共点，
∴．
因为，所以．
因此，点的坐标为．
②因为三角形的面积为，所以，从而．
设，
由（
）得，
所以
?
因为，所以，即，
解得
(舍去），则，因此的坐标为．
综上，直线的方程为
60.解析：(1)不能出现的情况，理由如下：
设，则满足，所以.
又的坐标为，故的斜率与的斜率之积为，所以不能出现的
情况。
(2)的中点坐标为，可得的中垂线方程为；
由(1)可得，所以的中垂线方程为；
联立
又，可得
所以过三点的圆的圆心坐标为，半径，
故圆在轴上截得弦长为，即过三点的圆在轴上截得弦长为定值。
61．解析：
（1）由题意可得，直线的斜率存在，
设过点的直线方程：，即：．
由已知可得圆的圆心的坐标，半径．
故由，解得：?
故当，过点的直线与圆相交于两点．
（2）设，
由题意可得，经过点的直线方程为，代入圆的方程，可得，
∴，，
∴
由，解得，
故直线的方程为，即．圆心在直线上，长即为圆的直径，所以
62.解析：（1）由得，
∴
圆的圆心坐标为；
（2）设，
∵
点为弦中点，即
，
∴，即
∴
线段
的中点的轨迹的方程为
（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心,
r
为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点
当直线与圆相切时，由，得，
又，结合上图可知当时，直线：
与曲线只有一个交点．
63.解析：设，则，
由题设知，故，即
由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是.
(2)由(1)可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而.
因为的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.
又，到的距离为，，所以的面积为.
64.解析：(1)由题设，圆心是直线和的交点，解得点，于是切线的斜率必存在.
设过的圆的切线方程为，
由题意，，解得或
故所求切线方程为或
(2)因为圆心在直线上，所以圆的方程为.
设点，因为，
所以，化简得，即，所以点在以为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点在圆上，所以圆与圆有公共点，则，
即
由，得;
由，得.
所以点的横坐标的取值范围为.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)