高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量基本定理同步 练习

高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量基本定理同步 练习
一、单选题
1．在以下三个命题中，真命题的个数是（　　）.
①若三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；③若 ， 是两个不共线的向量，而 （ 且 ），则 构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】①正确，作为基底的向量必须不共面；
②正确；
③错误，因为 ， ， 共面，所以 不能构成基底.
故只有①②正确.
故答案为：C.
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共面即可判断出①②正确由此得到答案。
2．若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
3．设 ，且 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ；② ；③ ；④ ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】 ， ， ， 共面，
① ， ， 不能作为空间向量的一个基底．
， ， ， ， ， 不共面，
② ， ， 可作为空间向量的一个基底．
同理， ， ， 不共面， ， ， 不共面，
③ ， ， ；④ ， ， 都可作为空间向量的一个基底．
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义即三个向量不共面对选项逐一判断即可得出答案。
4．（2019·萍乡模拟）如图，已知 ， ， ， ， ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：
因为 ，且 ，∴ ，
∴A（1，0），B（ ），又令 ，则 = ，∴ =7，
又如图点C在∠AOB内，∴ = ，sin = ,又 ，∴C（ ），
∵ ，（m，n∈R），∴（ ）=（m,0）+（ ）=(m ， ）
即 m ， ，解得n= ，m= ，∴ ，
故答案为：A．
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，结合空间向量的线性运算，解方程求出m和n，即可得到式子的值.
5．（2019高二上·丽水期末）在棱长为1的正方体 中， 分别在棱 上，且满足 ， ， ， 是平面 ，平面 与平面 的一个公共点，设 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为 ， 在平面 内，所以 ;同理可得 ， ，解得 ，则 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方体的结构特征，结合空间向量的关系，求出x，y，z，即可得到相应的值.
6．（2018·浙江学考）在三棱锥 中，若 为 的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】=
故答案为:C.
【分析】由若 D为 BC 的中点,根据空间向量的线性表示，选择向量OA、OB、OC为基底,表示出向量AD.
7．（2018高二上·潮州期末）如图：在平行六面体 中， 为 的交点.若 ， ， ，则向量 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得：
，
故答案为：A.
【分析】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解．
8．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有 ，则P，A，B，C四点（　　）
A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由已知可得 ，即 ，可得 ，
所以 ， ， 共面但不共线，故P，A，B，C四点共面．故B符合题意
故答案为：B .
【分析】等式两边同时减去并整理可=（+），则由向量基本定理可知，，共面，所以P，A，B，C四点共面.
二、多选题
9．（2020高二上·福州期中）给出下列命题，其中错误的有（　　）
A．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
B．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
C．在空间中，一个基底就是一个基向量
D．任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底
【答案】A,C,D
【知识点】相等向量与相反向量；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A选项，若 ，对于非零向量 、 ，则 ， ，但 与 不一定共线，A选项错误；
对于B选项，对于空间向量 、 、 ，满足 ， ，则 ，B选项正确；
对于C选项，在空间中，任意不共面的三个非零向量为空间向量的一个基底，C选项错误；
对于D选项，在空间中，任意不共线的三个向量可以共面，不一定可构成空间向量的一个基底，D选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】取 可判断A选项的正误；利用相等向量的概念可判断B选项的正误；利用空间向量基底的概念可判断C、D选项的正误.
三、填空题
10．（2018高二上·集宁月考）已知 是空间任一点， 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 ，则 　 　.
【答案】-1
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】∵ 2x 3y 4z ，
∴ 2x 3y 4z ，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1
∴2x+3y+4z＝﹣1
故答案为：﹣1
【分析】根据空间向量的基本定理，得到﹣2x﹣3y﹣4z＝1，即可求出的值.
11．如图，在正方体 中，用 ， ， 作为基向量，则 =　 　.
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】
，所以 .
【分析】根据向量的加法法则可知：=++=++，所以2=2（++）=（+）+（+）+（+）.
12．（2016高二上·嘉兴期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和BC1相交于点O，若 ，则 =　 　
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：∵ = ， = ， ， ．
∴ = = + + ，与 比较，可得：x= ，y=1，则 = ．
故答案为： ．
【分析】由 = ， = ， ， ．代入化简整理即可得出．
13．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量=++确定的点P与A，B，C共面，那么λ=　 　
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量=++确定的点P与A，B，C，共面，
所以++=1，解得λ=；
故答案为：．
【分析】利用向量共面定理即可得出。
14．已知A、B、C三点不共线，若点M与A、B、C四点共面，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：=x+y+，其中x，y是实数，则x+y=　　 　
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A、B、C三点不共线，点M与A、B、C四点共面，
则对平面ABC外一点O，满足=x+y+，
所以x+y+=1，
所以x+y=．
故答案为：．
【分析】由四点共面的向量表示的条件是三个向量的系数和为1，列出方程求出x+y的值。
四、解答题
15．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′．求证：++=2．
【答案】证明：如图所示，
平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，
+=，
∴++=+=2．
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量的合成法则，即可证出结论。
16．如图，已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，化简+﹣．
【答案】解：平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，延长AB至AE，使得AB=BE，=，=，
∴+﹣=2﹣=．
故答案为：．
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】直接利用空间向量的演算法求解即可。
17．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设=，=，=．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长？
【答案】解：（1）根据向量的三角形法则得到
=++=++
（2）∵||2=(++)2
=2+2+2+2++
=25+9+4+0+（20+12） cos60°
=54
∴||=3
即AE的长为3．
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】（1）根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式，从向量的起点出发，沿着棱到终点．
（2）根据上一问表示出的结果，把要求的向量两边平方，把得到平方式展开，得到已知向量的模长和数量积的关系，代入数据做出结果．
18．如图，设O是 ABCD所在平面外的任一点，已知=，=，=你能用，，表示吗？若能，用，，表示出；若不能，请说明理由．
【答案】解：根据向量加法与减法的几何意义，得；
向量+=，=﹣；
又在平行四边形ABCD中，=，
∴=+
=+
=+﹣
=﹣+．
∴能用，，表示出．
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】根据向量的加法与减法的几何意义，得出用，，表示的线性表示。
19．如图，在空间平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若以，，为空间的一个基底，用这个基底表示．
【答案】解：∵=+，=+，=+，
∴=++=(++)
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】利用向量的平行四边形法则可得：=+，=+，=+，利用空间向量的平行六面体法则可得=++代入即可得出。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量基本定理同步 练习
一、单选题
1．在以下三个命题中，真命题的个数是（　　）.
①若三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；③若 ， 是两个不共线的向量，而 （ 且 ），则 构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（　　）
A． B．
C． D．
3．设 ，且 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ；② ；③ ；④ ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2019·萍乡模拟）如图，已知 ， ， ， ， ，则 等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2019高二上·丽水期末）在棱长为1的正方体 中， 分别在棱 上，且满足 ， ， ， 是平面 ，平面 与平面 的一个公共点，设 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2018·浙江学考）在三棱锥 中，若 为 的中点，则 （　　）
A． B．
C． D．
7．（2018高二上·潮州期末）如图：在平行六面体 中， 为 的交点.若 ， ， ，则向量 （　　）
A． B．
C． D．
8．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有 ，则P，A，B，C四点（　　）
A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线
二、多选题
9．（2020高二上·福州期中）给出下列命题，其中错误的有（　　）
A．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
B．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
C．在空间中，一个基底就是一个基向量
D．任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底
三、填空题
10．（2018高二上·集宁月考）已知 是空间任一点， 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 ，则 　 　.
11．如图，在正方体 中，用 ， ， 作为基向量，则 =　 　.
12．（2016高二上·嘉兴期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和BC1相交于点O，若 ，则 =　 　
13．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量=++确定的点P与A，B，C共面，那么λ=　 　
14．已知A、B、C三点不共线，若点M与A、B、C四点共面，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：=x+y+，其中x，y是实数，则x+y=　　 　
四、解答题
15．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′．求证：++=2．
16．如图，已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，化简+﹣．
17．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设=，=，=．
（1）用，，表示；
（2）求AE的长？
18．如图，设O是 ABCD所在平面外的任一点，已知=，=，=你能用，，表示吗？若能，用，，表示出；若不能，请说明理由．
19．如图，在空间平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若以，，为空间的一个基底，用这个基底表示．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】①正确，作为基底的向量必须不共面；
②正确；
③错误，因为 ， ， 共面，所以 不能构成基底.
故只有①②正确.
故答案为：C.
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共面即可判断出①②正确由此得到答案。
2．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】 ， ， ， 共面，
① ， ， 不能作为空间向量的一个基底．
， ， ， ， ， 不共面，
② ， ， 可作为空间向量的一个基底．
同理， ， ， 不共面， ， ， 不共面，
③ ， ， ；④ ， ， 都可作为空间向量的一个基底．
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义即三个向量不共面对选项逐一判断即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：
因为 ，且 ，∴ ，
∴A（1，0），B（ ），又令 ，则 = ，∴ =7，
又如图点C在∠AOB内，∴ = ，sin = ,又 ，∴C（ ），
∵ ，（m，n∈R），∴（ ）=（m,0）+（ ）=(m ， ）
即 m ， ，解得n= ，m= ，∴ ，
故答案为：A．
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，结合空间向量的线性运算，解方程求出m和n，即可得到式子的值.
5．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为 ， 在平面 内，所以 ;同理可得 ， ，解得 ，则 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方体的结构特征，结合空间向量的关系，求出x，y，z，即可得到相应的值.
6．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】=
故答案为:C.
【分析】由若 D为 BC 的中点,根据空间向量的线性表示，选择向量OA、OB、OC为基底,表示出向量AD.
7．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得：
，
故答案为：A.
【分析】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解．
8．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由已知可得 ，即 ，可得 ，
所以 ， ， 共面但不共线，故P，A，B，C四点共面．故B符合题意
故答案为：B .
【分析】等式两边同时减去并整理可=（+），则由向量基本定理可知，，共面，所以P，A，B，C四点共面.
9．【答案】A,C,D
【知识点】相等向量与相反向量；空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】对于A选项，若 ，对于非零向量 、 ，则 ， ，但 与 不一定共线，A选项错误；
对于B选项，对于空间向量 、 、 ，满足 ， ，则 ，B选项正确；
对于C选项，在空间中，任意不共面的三个非零向量为空间向量的一个基底，C选项错误；
对于D选项，在空间中，任意不共线的三个向量可以共面，不一定可构成空间向量的一个基底，D选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】取 可判断A选项的正误；利用相等向量的概念可判断B选项的正误；利用空间向量基底的概念可判断C、D选项的正误.
10．【答案】-1
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】∵ 2x 3y 4z ，
∴ 2x 3y 4z ，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1
∴2x+3y+4z＝﹣1
故答案为：﹣1
【分析】根据空间向量的基本定理，得到﹣2x﹣3y﹣4z＝1，即可求出的值.
11．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】
，所以 .
【分析】根据向量的加法法则可知：=++=++，所以2=2（++）=（+）+（+）+（+）.
12．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：∵ = ， = ， ， ．
∴ = = + + ，与 比较，可得：x= ，y=1，则 = ．
故答案为： ．
【分析】由 = ， = ， ， ．代入化简整理即可得出．
13．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量=++确定的点P与A，B，C，共面，
所以++=1，解得λ=；
故答案为：．
【分析】利用向量共面定理即可得出。
14．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A、B、C三点不共线，点M与A、B、C四点共面，
则对平面ABC外一点O，满足=x+y+，
所以x+y+=1，
所以x+y=．
故答案为：．
【分析】由四点共面的向量表示的条件是三个向量的系数和为1，列出方程求出x+y的值。
15．【答案】证明：如图所示，
平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，
+=，
∴++=+=2．
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量的合成法则，即可证出结论。
16．【答案】解：平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，延长AB至AE，使得AB=BE，=，=，
∴+﹣=2﹣=．
故答案为：．
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】直接利用空间向量的演算法求解即可。
17．【答案】解：（1）根据向量的三角形法则得到
=++=++
（2）∵||2=(++)2
=2+2+2+2++
=25+9+4+0+（20+12） cos60°
=54
∴||=3
即AE的长为3．
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】（1）根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式，从向量的起点出发，沿着棱到终点．
（2）根据上一问表示出的结果，把要求的向量两边平方，把得到平方式展开，得到已知向量的模长和数量积的关系，代入数据做出结果．
18．【答案】解：根据向量加法与减法的几何意义，得；
向量+=，=﹣；
又在平行四边形ABCD中，=，
∴=+
=+
=+﹣
=﹣+．
∴能用，，表示出．
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】根据向量的加法与减法的几何意义，得出用，，表示的线性表示。
19．【答案】解：∵=+，=+，=+，
∴=++=(++)
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【分析】利用向量的平行四边形法则可得：=+，=+，=+，利用空间向量的平行六面体法则可得=++代入即可得出。
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