【精品解析】高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量的应用表示同步练习

高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量的应用表示同步练习
一、单选题
1．（2021高一下·重庆期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高一下·河东期末）三棱锥 中， 底面ABC， ， ，D为AB的中点， ，则点D到面 的距离等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高二下·昆明期末）蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆 的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆 的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（　　）（单位：cm）
A． B． C． D．
4．（2021高二下·成都月考）在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则直线 与平面 所成角为（　　）
A． B． C． D．
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究距离、夹角问题）如图，点 为矩形 所在平面外一点， 平面 ， 为 的中点， ， ， ，则点 到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·淄博模拟）四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．棱 上存在点 使得 面
B．当 落在 上时， 的取值范围是
C．当 落在 上时，四棱锥 的体积最大值是2
D．存在 的值使得点 到面 的距离为
7．（2020高二上·丽水期末）如图，正三角形 与正三角形 所在平面互相垂直，则二面角 的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·诸暨期末）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高一下·厦门期末）如图是长方体的平面展开图， ， ， ，则在该长方体中（　　）
A． ， ， ， 四点共面
B．直线 与直线 平行
C．直线 与平面 的距离为3
D．三棱锥 外接球的表面积为
10．（2021·汕头模拟）正方体 ，的棱长为4，已知 平面α， ，则关于α β截此正方体所得截面的判断正确的是（　　）
A．α截得的截面形状可能为正三角形
B． 与截面α所成角的余弦值为
C．α截得的截面形状可能为正六边形
D．β截得的截面形状可能为正方形
11．（2021高一下·聊城期末）如图，平面 平面 直线 ，点 ，点 ，且 ，点 、 分别是线段 、 的中点.（　　）
A．当直线 与 相交时，交点一定在直线 上
B．当直线 与 异面时， 可能与 平行
C．当 、 、 、 四点共面且 时，
D．当 、 两点重合时，直线 与 不可能相交
12．（2021高一下·盐城期末）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（　　）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上
D．存在某个位置，使得点 到平面 的距离为
三、填空题
13．（2021·梅县模拟）已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，点 是 的中点，且 ，则球 的表面积为　 　.
14．（2021高二下·温州期中）在四棱锥 中，四边形 为正方形， ， ，平面 平面 ， ，点 为 上的动点，平面 与平面 所成的二面角为 （ 为锐角），则当 取最小值时，三棱锥 的体积为　 　.
15．（2021·绍兴模拟）如图，在棱长为4的正方体 中，M是棱 上的动点，N是棱 的中点.当平面 与底面 所成的锐二面角最小时， 　 　.
16．（2021·海宁模拟）三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直， ，点Q为平面ABC内的动点，且满足 ，记直线PQ与直线AB的所成角为 ，则 的取值范围为　 　.
四、解答题
17．（2021高三上·深州开学考）在四棱锥 中， 底面ABCD， ， ，BD平分 ， .
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
18．（2021高一下·运城期末）如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 平面 ， 是 的中点， ， .
（1）求证： 平面
（2）求点 到平面 的距离.
19．（2021高一下·连云港期末）如图，在长方体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 为面 内的一点．
（1）画出图1中平面 与平面 的交线；
（2）如图2，若 为矩形 对角线的交点， ， ， ，求点 到平面 的距离．
20．（2021高三上·重庆月考）已知四棱锥 中，四边形 是菱形，且 ， 为等边三角形，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上靠近 的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．（2021高二下·桂林期末）如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
22．（2021高三上·水富月考）已知在六面体 中， 平面 ， 平面 ，且 ，底面 为菱形，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角为 ，试问：在线段 上是否存在点 ，使二面角 为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则D(0，0，0)，E(0， ，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
所以 ＝(0， ，1)， ＝(－1，1，0)，
则 ，
则异面直线DE与AC所成角的余弦值为 .
故答案为：B.
【分析】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，利用向量法求出异面直线DE与AC所成角的余弦值 。
2．【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，
在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，
因为 面 ，所以 ，又 ， ，所以 面 ，因为 面 ，所以 ，而AE⊥SB，且 ，所以AE⊥面SBC.
在三角形SAB中，由勾股定理易得 ，则由等面积法可得： ，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为： 。
故答案为：C.
【分析】在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，在三角形SAB中，由勾股定理易得 的长 ，则由等面积法可得 的长，再利用D为AB的中点，从而求出D到平面SBC的距离。
3．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】足球的半径为 ，球心到截面圆 的距离为 ，截面圆 的半径为 直径为 ，由于 所以该蹴鞠的直径所在的区间为[12，13)。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件得出足球的半径，从而求出球心到截面圆 的距离，再结合勾股定理求出截面圆 的半径，从而求出其直径，再结合元素与集合的关系结合已知条件，从而求出该蹴鞠的直径所在的区间。
4．【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则由题意得，B（1，1，0），D（0，0，0），，所以，设平面BDE的法向量为，
则，令y=1，则x=-1，z=-2，所以，
设 直线 与平面 所成角为，则
则.
故答案为：B.
【分析】先建立适当的空间直角坐标系，再利用空间向量求线面角即可.
5．【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，∴ ，
∴点 到平面 的距离 。
故答案为：B.
【分析】分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离 。
6．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PD，
∵PE为△BCS的中位线，∴ PE∥BS，
又 面BFS， 面BFS，∴PE∥面BFS；
在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，∴DE∥BF，
又 面BFS， 面BFS，∴DE面BFS；
又 ，∴面PDE∥面BFS，∴ 面 ，
A符合题意；
对于B：∵ 为等边三角形， ，∴，
当 时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，B不符合题意；
对于C：在Rt△SHE中， ，∴，
当且仅当 时， 的最大值为1.C不符合题意；
对于D：由C的推导可知：当 的最大时，点B到面 的距离d最大，
，
此时 ，
∴，
∴ ，D不符合题意。
故答案为：A
【分析】在四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ， 再利用等边三角形的性质结合矩形的结构特征，再结合中点的性质和射影定理，再结合线面平行的判定定理、四棱锥的体积公式、点到平面的距离公式，进而找出结论正确的选项。
7．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形 与正三角形 中，
BE⊥AC，DE⊥AC，因为面 ⊥面 ，面 面 ，所以BE⊥面ADC，
以E为原点， 为x轴正方向， 为y轴正方向， 为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则
，
平面ACD的一个法向量为
而 ，设 为面BCD的一个法向量，则：
即 ，不妨令x=1，则
设二面角 的平面角为θ，则θ为锐角，
所以 .
故答案为：D
【分析】首先由已知条件的面面垂直即可得出线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ACD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BCD的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。
8．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ， ， ，
，由 得 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
则 .
故答案为：C
【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标表示出夹角的余弦值，再求出直线 与直线 所成角正弦值的最小值.
9．【答案】A,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；共面向量定理；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，在长方体 中， ，所以 ， ， ， 四点共面，A符合题意；
由图可知， 与 为异面直线，B不符合题意；
因为 ，所以由线面平行判定定理可知 平面
即直线 与平面 的距离等于点 到平面 的距离，设点 到平面 的距离为
因为 ，所以
在 中， ，所以 ，
所以 ，又
所以 ，C不符合题意；
因为三棱锥 外接球即为该长方体的外接球，所以三棱锥 外接球的半径 ，即三棱锥 外接球的表面积为 ，D符合题意。
故答案为：AD
【分析】利用长方体的展开图结合四点共面的判断方法、线线平行的判断方法、直线与平面的距离求解方法、三棱锥与外接球的位置关系结合球的表面积公式，从而找出正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A选项：为正三角形的情况为△B1CD1，故A正确；
B选项：不妨设截面a是△B1CD1，由于直线与平面所成角的余弦值等于直线与平面法向量所成角正弦值，且AC1为平面B1CD1的法向量，则∠A1AC1即为直线与法向量为夹角，
设夹角为θ，则其正弦值为，故B正确；
C选项：为正六边形的情况为A1D1，A1B1，B1B，BC，CD，D1D中点连线构成，故C正确；
D选项：由于直线AC1为体对角线，且，在正方体上任找一点(排除A1C1)与A1C1可构成平面β，但无法得到正方形截面,故D错误.
故答案为：ABC
【分析】根据正方体的几何特征，利用向量法求直线与平面所成的角，结合正三角形及正六边形的几何特征求解即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】对于A，设 ，因为 ， ，所以 ，A项正确；
对于B，当 、 是异面直线时，假设 ，则 平面 ，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，所以平面 平面 ，同理可得平面 平面 ，所以平面 平面 ，与已知矛盾，故假设不成立，所以 不可能与 平行，B项错误；
对于C，若 、 、 、 四点共面且 时，可得 平面 ，过 的平面 与平面 相交于 ，所以 ，C项正确；
对于D，若 、 两点重合，则 ，故 ，此时直线 与直线 不可能相交，D项正确.
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合中点的性质，再利用直线与直线的位置关系结合四点共面的判断方法，从而推出线线的位置关系以及点与直线的位置关系，从而找出正确的选项。
12．【答案】A,B,C
【知识点】平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，假设存在，
如图，取 得中点 ，连接 ，
根据题意得： ，故 即为二面角 得平面角，
， ，
在 中， ，
当 时， ，即 ，
所以当二面角 为 时， ，所以A符合题意；
对于B，假设存在，
如图，取 的中点 ，连接 ，
在菱形 中， ， ，则 为等边三角形，
所以 ，
又因 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，又 ，
故当点 在使得 为等边三角形的位置时， ，即B符合题意；
对于C，假设存在，
由对称性可知四面体的外接球的球心，在过底面三角形 的中心且垂直底面三角形 的直线上，底面三角形的外接圆半径为： ，
如图，结合A、B，设 交于点 ，过点 作 平面 ， 为三棱锥 外接球的球心，则 ，
因为 ，所以存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上，C符合题意；
对于D， 点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
若 到平面 的距离为 ，则平面 平面 ．平面 平面 ，
则有 平面 ，即 ，与 是等边三角形矛盾．D不符合题意.
故答案为：ABC．
【分析】 A，判断菱形的对角线AC的长度，即可判断选项的正误；B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB C平面PBQ，PB⊥CD，即可判断；C，求出底面三角形的外接圆的半径，然后判断外接球的半径与外接球的半径的关系，即可判断C的正误；D，若B到平面PDC的距离为 ，则有DB平面PCD，即 ，与 是等边三角形矛盾.
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由 ， ，可得 ，所以 ，
由点 是 的中点，且 ，可求得 ，
又由 ，可得 ，所以 ，
又 且 平面 ，所以 平面 ，
以 为底面， 为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，
则三棱锥 的外接球即为该三棱柱的外接球，
球心 到底面 的距离为 ，
由正弦定理，可得 的外接圆的半径为 ，
所以球 的半径为 ，
所以球 的表面积为 .
故答案为： .
【分析】根据题意由线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面PAB，结合勾股定理求出三角形PAB外接圆的半径，再由点到面的距离公式求出球的半径，把数值代入到球的表面积公式计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以D为原点，分别以DA，DS，DC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DE=m，则平面ADS的一个法向量为，又B(2，0，2)，S(0，1，1)，E(0，0，m)，所以，设平面BSE的一个法向量为
，则有，则，
显然当 取最小值时 ，5m2-4m+8取得最小值，此时，
故答案为：
【分析】利用二面角的求法求得，从而求得m，再利用三棱锥的体积公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】如图
设 ，
设平面 的一个法向量为
令 ， ，则
平面 的法向量的一个法向量为
设平面 与底面 所成的锐二面角为
所以
当 时， 有最大，则 有最小，所以
故答案为：
【分析】 建立合适的空间直角坐标系，MA=k求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，利用向量的夹角公式表示出二面角的关系式，由余弦函数的单调性以及二次函数的性质求解即可.
16．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为 两两垂直，且 ，所以由全等三角形可知 ，
所以三棱锥为正三棱锥，记 在底面 内的投影为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 的轨迹是以 为圆心半径为 的圆，
取 中点 ，连接 ，可知 经过点 ，建立如下图所示的空间直角坐标系：
设 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】 根据已知条件先确定出Q 在平面ABC内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的正弦值的取值范围.
17．【答案】（1）取DC的中点E，连接BE，则 ，
又 ，所以四边形ABED为菱形，
所以 ，
所以 ，即 .
因为 底面 ， 平面ABCD，所以 .
因为 ，所以 平面PBD，
又 平面PBD，所以 .
（2）如图，取AB的中点F，连接DF.
因为 ， 平分 ，所以 .
因为 ，所以 是等边三角形，所以 ，
所以 ，即 .
因为 底面ABCD，所以 ， .
故以D为坐标原点，以DF，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨令 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面PAB的法向量为 ，
则
取 ，得 .
设平面PBC的法向量为 ，
则
取 ，得 .
故 .
由图可知，二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取DC的中点E，连接BE，得到四边形ABED为菱形，得 ，再由 底面 ，证得 ，进而得到 平面PBD，即可得到 ；
（2） 以D为坐标原点，以DF，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 分别求得平面PAB和平面PBC的一个法向量结合向量的夹角公式，即可求解。
18．【答案】（1）在矩形 中，连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 .
为 的中点
又 平面 ， 平面
平面
（2）方法一：
， 平面 ， 平面
平面
到平面 的距离等于 到平面 的距离
平面 ， 平面
，又 ，
平面
又 平面
平面 平面
过 作 ，则 平面 即为所求.
在 中， ， ，解得 .
方法二：(等体积法)
设 到平面 的距离为
平面 ， 平面
，又 ，
平面
又
.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1 )连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接MO，由OM// PA，即可证明PA//平面MBD；
(2) 方法一： 可得D到平面P BC的距离等于A到平面PBC的距离，过A作AH⊥PB，则AH⊥平面PBC，AH即为所求；
方法二：设 到平面 的距离为 ，根据等体积法即可求出。
19．【答案】（1）作图．如图1交线为 ．
①过 作 的平行线交 于 ，②延长 和 交于点 ，③连接 交 于 ，④ 为所要作的交线．
（2）由长方体性质，取 为 的交点，则 平面 ，从而 与平面 内直线 垂直， 是矩形，
在 中， ，
， ，
∴ ．
在 中， ．
设点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ．
由 ， ，
即 ，得 ．
所以点 到平面 的距离 ．
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 如图1交线为 ，①过 作 的平行线交 于 ，②延长 和 交于点 ，③连接 交 于 ，④ 为所要作的交线。
（2） 由长方体的性质，取 为 的交点，则 平面 ，从而 与平面 内直线 垂直， 是矩形，在 中结合勾股定理求出EF、PF和PE的长，再利用三角形的面积公式得出的值和 的值，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法，从而求出点 到平面 的距离。
20．【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 和 ，因为 为等边三角形，所以 ；又四边形 是菱形，且 ，所以 为等边三角形，所以 ；又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ；又 ，所以 、 、 两两垂直；以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ；不妨设 ，则 ， ， ， ，0， ， ，0， ；所以 ， ， ， ， ， ；设平面 的一个法向量为 ， ， ，由 ，得 ，令 ，得 ，1， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 ( 1 )取BC的中点F，连接BD、DF和SF，证明 平面 即可证得 ；
( 2 )证明SF、BC、DF两两垂直， 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，求出平面SAB的一个法向量，再求直线DE与平面SAB所成角的正弦值.
21．【答案】（1）由已知得， 平面 ，
平面 ，故
又 ，所以 平面
（2）由（1）知 ．由题设知 ，所以 ，
故 ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 所以可取
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 可取
于是
所以，二面角 的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
22．【答案】（1）连接 ，
四边形 为菱形，
，又 平面 ，
又 ， 平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 .
（2） 平面 ，
为 在平面 上的射影.
为直线 与平面 所成角，
， ，
令 ，则
又四边形 为菱形， ，
为等边三角形，
取 的中点 ，连接 ，
则 ， ，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， ，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则 ， ， ， ， ，
设 ， ， ， 三点共线， ，
，
， ， ， ，
， ， ，
由（1）知 平面 ，
平面 的法向量 ，
，
令平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则
二面角 为 ，
，
解得 ，
， 当 时，点 与点 重合，
存在点 即为点 时，二面角 为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)连接BD，由已知可得BD⊥AC，再由 平面 ，得到BD⊥PA，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，从而得到平面PBD⊥平面PAC；
(2)由PA⊥平面ABCD，可得AC为PC在平面ABCD上的射影，求解三角形证明AH⊥AD， 以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， ，建立空间直角坐标系，设 ， 可得 ，分别求出平面PAC的法向量与平面ACM的法向量，由 二面角 为 ，求得 ，可得点M与点E重合，得到存在点M与点E重合时，二面角P- AC - M为60°.
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量的应用表示同步练习
一、单选题
1．（2021高一下·重庆期末）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则D(0，0，0)，E(0， ，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，
所以 ＝(0， ，1)， ＝(－1，1，0)，
则 ，
则异面直线DE与AC所成角的余弦值为 .
故答案为：B.
【分析】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，利用向量法求出异面直线DE与AC所成角的余弦值 。
2．（2021高一下·河东期末）三棱锥 中， 底面ABC， ， ，D为AB的中点， ，则点D到面 的距离等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，
在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，
因为 面 ，所以 ，又 ， ，所以 面 ，因为 面 ，所以 ，而AE⊥SB，且 ，所以AE⊥面SBC.
在三角形SAB中，由勾股定理易得 ，则由等面积法可得： ，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为： 。
故答案为：C.
【分析】在三角形 中，过A作AE⊥SB交SB于E，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，再结合线线垂直证出线面垂直，在三角形SAB中，由勾股定理易得 的长 ，则由等面积法可得 的长，再利用D为AB的中点，从而求出D到平面SBC的距离。
3．（2021高二下·昆明期末）蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆 的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆 的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（　　）（单位：cm）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】足球的半径为 ，球心到截面圆 的距离为 ，截面圆 的半径为 直径为 ，由于 所以该蹴鞠的直径所在的区间为[12，13)。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件得出足球的半径，从而求出球心到截面圆 的距离，再结合勾股定理求出截面圆 的半径，从而求出其直径，再结合元素与集合的关系结合已知条件，从而求出该蹴鞠的直径所在的区间。
4．（2021高二下·成都月考）在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则直线 与平面 所成角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则由题意得，B（1，1，0），D（0，0，0），，所以，设平面BDE的法向量为，
则，令y=1，则x=-1，z=-2，所以，
设 直线 与平面 所成角为，则
则.
故答案为：B.
【分析】先建立适当的空间直角坐标系，再利用空间向量求线面角即可.
5．（高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究距离、夹角问题）如图，点 为矩形 所在平面外一点， 平面 ， 为 的中点， ， ， ，则点 到平面 的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，∴ ，
∴点 到平面 的距离 。
故答案为：B.
【分析】分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离 。
6．（2021·淄博模拟）四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．棱 上存在点 使得 面
B．当 落在 上时， 的取值范围是
C．当 落在 上时，四棱锥 的体积最大值是2
D．存在 的值使得点 到面 的距离为
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A：取BC的中点E，连结DE，取SC中点P，连结PE、PD，
∵PE为△BCS的中位线，∴ PE∥BS，
又 面BFS， 面BFS，∴PE∥面BFS；
在矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，∴DE∥BF，
又 面BFS， 面BFS，∴DE面BFS；
又 ，∴面PDE∥面BFS，∴ 面 ，
A符合题意；
对于B：∵ 为等边三角形， ，∴，
当 时，S与H重合，图形不能构成四棱锥，与已知条件相悖，B不符合题意；
对于C：在Rt△SHE中， ，∴，
当且仅当 时， 的最大值为1.C不符合题意；
对于D：由C的推导可知：当 的最大时，点B到面 的距离d最大，
，
此时 ，
∴，
∴ ，D不符合题意。
故答案为：A
【分析】在四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面 为矩形， ， ，点 是棱 的中点，顶点 在底面 的射影为 ， 再利用等边三角形的性质结合矩形的结构特征，再结合中点的性质和射影定理，再结合线面平行的判定定理、四棱锥的体积公式、点到平面的距离公式，进而找出结论正确的选项。
7．（2020高二上·丽水期末）如图，正三角形 与正三角形 所在平面互相垂直，则二面角 的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形 与正三角形 中，
BE⊥AC，DE⊥AC，因为面 ⊥面 ，面 面 ，所以BE⊥面ADC，
以E为原点， 为x轴正方向， 为y轴正方向， 为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则
，
平面ACD的一个法向量为
而 ，设 为面BCD的一个法向量，则：
即 ，不妨令x=1，则
设二面角 的平面角为θ，则θ为锐角，
所以 .
故答案为：D
【分析】首先由已知条件的面面垂直即可得出线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ACD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BCD的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值。
8．（2021高二下·诸暨期末）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角正弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则 ， ， ，
，由 得 ，
，
，
因为 ，
所以 ，
则 .
故答案为：C
【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标表示出夹角的余弦值，再求出直线 与直线 所成角正弦值的最小值.
二、多选题
9．（2021高一下·厦门期末）如图是长方体的平面展开图， ， ， ，则在该长方体中（　　）
A． ， ， ， 四点共面
B．直线 与直线 平行
C．直线 与平面 的距离为3
D．三棱锥 外接球的表面积为
【答案】A,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；共面向量定理；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】如图，在长方体 中， ，所以 ， ， ， 四点共面，A符合题意；
由图可知， 与 为异面直线，B不符合题意；
因为 ，所以由线面平行判定定理可知 平面
即直线 与平面 的距离等于点 到平面 的距离，设点 到平面 的距离为
因为 ，所以
在 中， ，所以 ，
所以 ，又
所以 ，C不符合题意；
因为三棱锥 外接球即为该长方体的外接球，所以三棱锥 外接球的半径 ，即三棱锥 外接球的表面积为 ，D符合题意。
故答案为：AD
【分析】利用长方体的展开图结合四点共面的判断方法、线线平行的判断方法、直线与平面的距离求解方法、三棱锥与外接球的位置关系结合球的表面积公式，从而找出正确的选项。
10．（2021·汕头模拟）正方体 ，的棱长为4，已知 平面α， ，则关于α β截此正方体所得截面的判断正确的是（　　）
A．α截得的截面形状可能为正三角形
B． 与截面α所成角的余弦值为
C．α截得的截面形状可能为正六边形
D．β截得的截面形状可能为正方形
【答案】A,B,C
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A选项：为正三角形的情况为△B1CD1，故A正确；
B选项：不妨设截面a是△B1CD1，由于直线与平面所成角的余弦值等于直线与平面法向量所成角正弦值，且AC1为平面B1CD1的法向量，则∠A1AC1即为直线与法向量为夹角，
设夹角为θ，则其正弦值为，故B正确；
C选项：为正六边形的情况为A1D1，A1B1，B1B，BC，CD，D1D中点连线构成，故C正确；
D选项：由于直线AC1为体对角线，且，在正方体上任找一点(排除A1C1)与A1C1可构成平面β，但无法得到正方形截面,故D错误.
故答案为：ABC
【分析】根据正方体的几何特征，利用向量法求直线与平面所成的角，结合正三角形及正六边形的几何特征求解即可.
11．（2021高一下·聊城期末）如图，平面 平面 直线 ，点 ，点 ，且 ，点 、 分别是线段 、 的中点.（　　）
A．当直线 与 相交时，交点一定在直线 上
B．当直线 与 异面时， 可能与 平行
C．当 、 、 、 四点共面且 时，
D．当 、 两点重合时，直线 与 不可能相交
【答案】A,C,D
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】对于A，设 ，因为 ， ，所以 ，A项正确；
对于B，当 、 是异面直线时，假设 ，则 平面 ，连接 ，取 的中点 ，连接 、 ，因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，所以平面 平面 ，同理可得平面 平面 ，所以平面 平面 ，与已知矛盾，故假设不成立，所以 不可能与 平行，B项错误；
对于C，若 、 、 、 四点共面且 时，可得 平面 ，过 的平面 与平面 相交于 ，所以 ，C项正确；
对于D，若 、 两点重合，则 ，故 ，此时直线 与直线 不可能相交，D项正确.
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合中点的性质，再利用直线与直线的位置关系结合四点共面的判断方法，从而推出线线的位置关系以及点与直线的位置关系，从而找出正确的选项。
12．（2021高一下·盐城期末）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到 位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的（　　）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上
D．存在某个位置，使得点 到平面 的距离为
【答案】A,B,C
【知识点】平面与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，假设存在，
如图，取 得中点 ，连接 ，
根据题意得： ，故 即为二面角 得平面角，
， ，
在 中， ，
当 时， ，即 ，
所以当二面角 为 时， ，所以A符合题意；
对于B，假设存在，
如图，取 的中点 ，连接 ，
在菱形 中， ， ，则 为等边三角形，
所以 ，
又因 ，且 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，又 ，
故当点 在使得 为等边三角形的位置时， ，即B符合题意；
对于C，假设存在，
由对称性可知四面体的外接球的球心，在过底面三角形 的中心且垂直底面三角形 的直线上，底面三角形的外接圆半径为： ，
如图，结合A、B，设 交于点 ，过点 作 平面 ， 为三棱锥 外接球的球心，则 ，
因为 ，所以存在某个位置，使得 ， ， ， 四点落在半径为 的球面上，C符合题意；
对于D， 点 到 的距离为 ，点 到 的距离为 ，
若 到平面 的距离为 ，则平面 平面 ．平面 平面 ，
则有 平面 ，即 ，与 是等边三角形矛盾．D不符合题意.
故答案为：ABC．
【分析】 A，判断菱形的对角线AC的长度，即可判断选项的正误；B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB C平面PBQ，PB⊥CD，即可判断；C，求出底面三角形的外接圆的半径，然后判断外接球的半径与外接球的半径的关系，即可判断C的正误；D，若B到平面PDC的距离为 ，则有DB平面PCD，即 ，与 是等边三角形矛盾.
三、填空题
13．（2021·梅县模拟）已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，点 是 的中点，且 ，则球 的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】由 ， ，可得 ，所以 ，
由点 是 的中点，且 ，可求得 ，
又由 ，可得 ，所以 ，
又 且 平面 ，所以 平面 ，
以 为底面， 为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，
则三棱锥 的外接球即为该三棱柱的外接球，
球心 到底面 的距离为 ，
由正弦定理，可得 的外接圆的半径为 ，
所以球 的半径为 ，
所以球 的表面积为 .
故答案为： .
【分析】根据题意由线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面PAB，结合勾股定理求出三角形PAB外接圆的半径，再由点到面的距离公式求出球的半径，把数值代入到球的表面积公式计算出结果即可。
14．（2021高二下·温州期中）在四棱锥 中，四边形 为正方形， ， ，平面 平面 ， ，点 为 上的动点，平面 与平面 所成的二面角为 （ 为锐角），则当 取最小值时，三棱锥 的体积为　 　.
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：以D为原点，分别以DA，DS，DC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DE=m，则平面ADS的一个法向量为，又B(2，0，2)，S(0，1，1)，E(0，0，m)，所以，设平面BSE的一个法向量为
，则有，则，
显然当 取最小值时 ，5m2-4m+8取得最小值，此时，
故答案为：
【分析】利用二面角的求法求得，从而求得m，再利用三棱锥的体积公式求解即可.
15．（2021·绍兴模拟）如图，在棱长为4的正方体 中，M是棱 上的动点，N是棱 的中点.当平面 与底面 所成的锐二面角最小时， 　 　.
【答案】
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】如图
设 ，
设平面 的一个法向量为
令 ， ，则
平面 的法向量的一个法向量为
设平面 与底面 所成的锐二面角为
所以
当 时， 有最大，则 有最小，所以
故答案为：
【分析】 建立合适的空间直角坐标系，MA=k求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，利用向量的夹角公式表示出二面角的关系式，由余弦函数的单调性以及二次函数的性质求解即可.
16．（2021·海宁模拟）三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直， ，点Q为平面ABC内的动点，且满足 ，记直线PQ与直线AB的所成角为 ，则 的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为 两两垂直，且 ，所以由全等三角形可知 ，
所以三棱锥为正三棱锥，记 在底面 内的投影为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 的轨迹是以 为圆心半径为 的圆，
取 中点 ，连接 ，可知 经过点 ，建立如下图所示的空间直角坐标系：
设 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】 根据已知条件先确定出Q 在平面ABC内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的正弦值的取值范围.
四、解答题
17．（2021高三上·深州开学考）在四棱锥 中， 底面ABCD， ， ，BD平分 ， .
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）取DC的中点E，连接BE，则 ，
又 ，所以四边形ABED为菱形，
所以 ，
所以 ，即 .
因为 底面 ， 平面ABCD，所以 .
因为 ，所以 平面PBD，
又 平面PBD，所以 .
（2）如图，取AB的中点F，连接DF.
因为 ， 平分 ，所以 .
因为 ，所以 是等边三角形，所以 ，
所以 ，即 .
因为 底面ABCD，所以 ， .
故以D为坐标原点，以DF，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨令 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面PAB的法向量为 ，
则
取 ，得 .
设平面PBC的法向量为 ，
则
取 ，得 .
故 .
由图可知，二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取DC的中点E，连接BE，得到四边形ABED为菱形，得 ，再由 底面 ，证得 ，进而得到 平面PBD，即可得到 ；
（2） 以D为坐标原点，以DF，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 分别求得平面PAB和平面PBC的一个法向量结合向量的夹角公式，即可求解。
18．（2021高一下·运城期末）如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， 平面 ， 是 的中点， ， .
（1）求证： 平面
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）在矩形 中，连接 交 于点 ，则 为 的中点，连接 .
为 的中点
又 平面 ， 平面
平面
（2）方法一：
， 平面 ， 平面
平面
到平面 的距离等于 到平面 的距离
平面 ， 平面
，又 ，
平面
又 平面
平面 平面
过 作 ，则 平面 即为所求.
在 中， ， ，解得 .
方法二：(等体积法)
设 到平面 的距离为
平面 ， 平面
，又 ，
平面
又
.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1 )连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接MO，由OM// PA，即可证明PA//平面MBD；
(2) 方法一： 可得D到平面P BC的距离等于A到平面PBC的距离，过A作AH⊥PB，则AH⊥平面PBC，AH即为所求；
方法二：设 到平面 的距离为 ，根据等体积法即可求出。
19．（2021高一下·连云港期末）如图，在长方体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 为面 内的一点．
（1）画出图1中平面 与平面 的交线；
（2）如图2，若 为矩形 对角线的交点， ， ， ，求点 到平面 的距离．
【答案】（1）作图．如图1交线为 ．
①过 作 的平行线交 于 ，②延长 和 交于点 ，③连接 交 于 ，④ 为所要作的交线．
（2）由长方体性质，取 为 的交点，则 平面 ，从而 与平面 内直线 垂直， 是矩形，
在 中， ，
， ，
∴ ．
在 中， ．
设点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ．
由 ， ，
即 ，得 ．
所以点 到平面 的距离 ．
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 如图1交线为 ，①过 作 的平行线交 于 ，②延长 和 交于点 ，③连接 交 于 ，④ 为所要作的交线。
（2） 由长方体的性质，取 为 的交点，则 平面 ，从而 与平面 内直线 垂直， 是矩形，在 中结合勾股定理求出EF、PF和PE的长，再利用三角形的面积公式得出的值和 的值，再利用三棱锥的体积公式结合等体积法，从而求出点 到平面 的距离。
20．（2021高三上·重庆月考）已知四棱锥 中，四边形 是菱形，且 ， 为等边三角形，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上靠近 的三等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 和 ，因为 为等边三角形，所以 ；又四边形 是菱形，且 ，所以 为等边三角形，所以 ；又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ；
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以 平面 ；又 ，所以 、 、 两两垂直；以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ；不妨设 ，则 ， ， ， ，0， ， ，0， ；所以 ， ， ， ， ， ；设平面 的一个法向量为 ， ， ，由 ，得 ，令 ，得 ，1， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，又 ， ， ，所以 ， ， ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 ( 1 )取BC的中点F，连接BD、DF和SF，证明 平面 即可证得 ；
( 2 )证明SF、BC、DF两两垂直， 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，求出平面SAB的一个法向量，再求直线DE与平面SAB所成角的正弦值.
21．（2021高二下·桂林期末）如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）由已知得， 平面 ，
平面 ，故
又 ，所以 平面
（2）由（1）知 ．由题设知 ，所以 ，
故 ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 所以可取
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 可取
于是
所以，二面角 的余弦值为 ．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可；
（2）利用向量法直接求解即可.
22．（2021高三上·水富月考）已知在六面体 中， 平面 ， 平面 ，且 ，底面 为菱形，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角为 ，试问：在线段 上是否存在点 ，使二面角 为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）连接 ，
四边形 为菱形，
，又 平面 ，
又 ， 平面 ，
又 平面 ，
平面 平面 .
（2） 平面 ，
为 在平面 上的射影.
为直线 与平面 所成角，
， ，
令 ，则
又四边形 为菱形， ，
为等边三角形，
取 的中点 ，连接 ，
则 ， ，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， ，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则 ， ， ， ， ，
设 ， ， ， 三点共线， ，
，
， ， ， ，
， ， ，
由（1）知 平面 ，
平面 的法向量 ，
，
令平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则
二面角 为 ，
，
解得 ，
， 当 时，点 与点 重合，
存在点 即为点 时，二面角 为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)连接BD，由已知可得BD⊥AC，再由 平面 ，得到BD⊥PA，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，从而得到平面PBD⊥平面PAC；
(2)由PA⊥平面ABCD，可得AC为PC在平面ABCD上的射影，求解三角形证明AH⊥AD， 以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， ，建立空间直角坐标系，设 ， 可得 ，分别求出平面PAC的法向量与平面ACM的法向量，由 二面角 为 ，求得 ，可得点M与点E重合，得到存在点M与点E重合时，二面角P- AC - M为60°.
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