高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章空间向量及其运算
一、单选题
1．给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 ， 满足 ，则 ；③若空间向量 ， ， 满足 ， ，则 ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量 与 的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故答案为：D.
【分析】由空间向量的性质结合单位性质、相等向量以及向量模的定义结合命题的真假对选项逐一判断即可得出答案。
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量 ， ， 是（ ）
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】如图所示，
因为 ，而 ，
，即
由于 与 不共线，所以 ， ， 三向量共面．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平行六面体ABCD－A1B1C1D1的结构特征，进而利用共面向量的判断方法，从而结合三角形法则和向量共线定理，再利用平面向量基本定理，进而推出 ， ， 三向量共面。
3．已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 =2 ，则下列结论正确的是（ ）
A． +2 -2 B． =-2 +3
C． =2 -3 D． =2 -2
【答案】D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】因为 =2 ，
又 ，
所以 ，
整理得 =2 -2 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由空间向量的加、减法运算法则整理即可得出答案。
4．已知在平行六面体 中， ， ， ， ， ， ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行六面体 中，因为 ，所以 ．
所以 ．
故答案为：D.
【分析】根据题意结合平行六边形的几何性质，由向量的运算性质以及数量积的运算性质结合向量模的定义计算出结果即可。
5．如图所示，在平行六面体 中， 与 的交点为M．设 ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由图可得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由向量的加减运算法则计算出结果即可。
6．空间四边形 的各边和对角线均相等， 是 的中点，那么（ ）.
A．
B．
C．
D． 与 的大小不能比较
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，设为a，E是边BC的中点，即有AE⊥BC，即 ，取BD的中点F，连接AF，EF，可得AF＝AE＝ a，EF＝ a，
由余弦定理可得cos∠AEF＝ ，可得 与 夹角的余弦值为 ，则 ，所以 .
故答案为：C．
【分析】首先根据题意由空间四边形的几何性质结合中点的性质，即可得出平行关系以及边之间的关系，再由余弦定理代入数值计算出夹角的余弦值，由此判断出进而得到答案。
7．已知空间向量 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：D.
【分析】由空间向量的运算性质结合数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
8．已知向量 ，且 = +2 ， =-5 +6 ， =7 -2 ，则一定共线的三点是（ ）
A．A B D B．A B C C．B C D D．A C D
【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】A.因为 ，所以A B D共线；
B.因为 ，所以A B C不共线；
C.因为 ，所以B C D不共线；
D.因为 ，所以A C D不共线；
故答案为：A
【分析】由向量共线的性质定理对选项逐一判断即可得出答案。
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B． 的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若向量 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则
【答案】D
【知识点】向量的模；相等向量与相反向量；共面向量定理
【解析】【解答】因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，A是假命题；
由 知， ，且 与 同方向，但A与C，B与D不一定重合，B是假命题；
因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 这种写法，C是假命题；
因为 ，所以 ，即 与 共线，故 ，D是真命题．
故答案为：D．
【分析】 根据空间中任意两个向量必然共面，可判断A；根据相等向量和相反向量的定义，可判断B；根据向量不能比较大小，可判断C；根据相反向量共线，可判断D由此即可得出答案．
二、多选题
10．设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而 运算后是实数， 没有这种运算，B不正确；
，C不正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2020高二上·济宁月考）设动点 在正方体 的对角线 上，记 当 为钝角时，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A,B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
所以 .
又因为 ，
，
因为 为钝角，所以 ，
即 ，
解得 .
故答案为：AB
【分析】首先以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到 ，再解不等式即可得到答案.
12．（2021高一下·昆明期末）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．直线 与 相交
D． ， ， ， 四点在同一平面内
【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：在立方体 中，因为 ， ，所以 . A符合题意；
对于B：在立方体 中， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 . B符合题意；
对于C：依题意可知四边形 是平行四边形，则对角线 与 必然相交. C符合题意；
对于D：
若 四点在同一平面内，由面面平行性质定理可得 ，又 ，所以 ，显然矛盾，从而 四点不在同一平面内. D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用正方体的结构特征，再结合中点的性质、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线线相交的方法、四点共面的判断方法，从而找出结论正确的选项。
13．（2019高二上·晋江月考）已知向量 ，则与 共线的单位向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】设与 共线的单位向量为 ，所以 ，因而 ，得到 ．
故 ，而 ，所以 或 ．
故答案为：AC．
【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．
三、填空题
14．如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 .
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】由向量的加、减法运算法则结合 平行六面体的几何性质计算出结果即可。
15．已知 ， ， ， ， ，则以 ， 为邻边的平行四边形 的对角线 的长为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，∴ ．
∴ ，即 ．
故答案为：
【分析】由向量和数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
16．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的值为 ．
【答案】-13
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：-13
【分析】结合向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
17．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
四、解答题
18．如图所示， 、 分别是空间四边形 的边 、 的中点.试判断向量 与向量 、 是否共面.
【答案】解：由题图可得 ，①； ，②.
， .
由①②得 ，即 ，
故向量 与向量 、 共面
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【分析】利用向量的加、减法运算法则以及向量共面的性质定理整理即可得出结果。
19．如图，点M，N分别在对角线 上，且 ．求证：向量 共面．
【答案】证明：如图，在 上取点 ，使 ，
又 ，
，又 ，
，
同理， ，
故由 、 、 共面可知，
向量 ， ， 共面
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】根据题意由已知条件结合线线平行的性质定理即可得出线线平行，再由向量共面的性质定理即可得出结果。
20．如图，在三棱锥 中，G是 的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.
（1）用向量 表示向量 ，并证明你的结论；
（2）设 ，请写出点P在 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.
【答案】（1）解： .
证明如下：
（2）解：若 ，点P在 的内部（不包括边界），
的充分必要条件是： ，且
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 （1）由题意根据空间向量的加法法则推出向量 使得它用基底{ }表示即可 ；
(2)根据题意设出，则点P在内部的充分必要条件是：且结合平面向量三点共线的结论即可得出结果即可．
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一、单选题
1．给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 ， 满足 ，则 ；③若空间向量 ， ， 满足 ， ，则 ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量 ， ， 是（ ）
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
3．已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 =2 ，则下列结论正确的是（ ）
A． +2 -2 B． =-2 +3
C． =2 -3 D． =2 -2
4．已知在平行六面体 中， ， ， ， ， ， ，则 的长为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图所示，在平行六面体 中， 与 的交点为M．设 ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
6．空间四边形 的各边和对角线均相等， 是 的中点，那么（ ）.
A．
B．
C．
D． 与 的大小不能比较
7．已知空间向量 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知向量 ，且 = +2 ， =-5 +6 ， =7 -2 ，则一定共线的三点是（ ）
A．A B D B．A B C C．B C D D．A C D
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B． 的充要条件是A与C重合，B与D重合
C．若向量 满足 ，且 与 同向，则
D．若两个非零向量 与 满足 ，则
二、多选题
10．设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
11．（2020高二上·济宁月考）设动点 在正方体 的对角线 上，记 当 为钝角时，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．1
12．（2021高一下·昆明期末）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B． 平面
C．直线 与 相交
D． ， ， ， 四点在同一平面内
13．（2019高二上·晋江月考）已知向量 ，则与 共线的单位向量 （ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 .
15．已知 ， ， ， ， ，则以 ， 为邻边的平行四边形 的对角线 的长为 ．
16．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的值为 ．
17．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
四、解答题
18．如图所示， 、 分别是空间四边形 的边 、 的中点.试判断向量 与向量 、 是否共面.
19．如图，点M，N分别在对角线 上，且 ．求证：向量 共面．
20．如图，在三棱锥 中，G是 的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.
（1）用向量 表示向量 ，并证明你的结论；
（2）设 ，请写出点P在 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量 与 的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故答案为：D.
【分析】由空间向量的性质结合单位性质、相等向量以及向量模的定义结合命题的真假对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】如图所示，
因为 ，而 ，
，即
由于 与 不共线，所以 ， ， 三向量共面．
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合平行六面体ABCD－A1B1C1D1的结构特征，进而利用共面向量的判断方法，从而结合三角形法则和向量共线定理，再利用平面向量基本定理，进而推出 ， ， 三向量共面。
3．【答案】D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】因为 =2 ，
又 ，
所以 ，
整理得 =2 -2 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由空间向量的加、减法运算法则整理即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行六面体 中，因为 ，所以 ．
所以 ．
故答案为：D.
【分析】根据题意结合平行六边形的几何性质，由向量的运算性质以及数量积的运算性质结合向量模的定义计算出结果即可。
5．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由图可得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由向量的加减运算法则计算出结果即可。
6．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，设为a，E是边BC的中点，即有AE⊥BC，即 ，取BD的中点F，连接AF，EF，可得AF＝AE＝ a，EF＝ a，
由余弦定理可得cos∠AEF＝ ，可得 与 夹角的余弦值为 ，则 ，所以 .
故答案为：C．
【分析】首先根据题意由空间四边形的几何性质结合中点的性质，即可得出平行关系以及边之间的关系，再由余弦定理代入数值计算出夹角的余弦值，由此判断出进而得到答案。
7．【答案】D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：D.
【分析】由空间向量的运算性质结合数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
8．【答案】A
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】A.因为 ，所以A B D共线；
B.因为 ，所以A B C不共线；
C.因为 ，所以B C D不共线；
D.因为 ，所以A C D不共线；
故答案为：A
【分析】由向量共线的性质定理对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】向量的模；相等向量与相反向量；共面向量定理
【解析】【解答】因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，A是假命题；
由 知， ，且 与 同方向，但A与C，B与D不一定重合，B是假命题；
因为空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 这种写法，C是假命题；
因为 ，所以 ，即 与 共线，故 ，D是真命题．
故答案为：D．
【分析】 根据空间中任意两个向量必然共面，可判断A；根据相等向量和相反向量的定义，可判断B；根据向量不能比较大小，可判断C；根据相反向量共线，可判断D由此即可得出答案．
10．【答案】A,D
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而 运算后是实数， 没有这种运算，B不正确；
，C不正确.
故答案为：AD.
【分析】根据题意由数量积的运算性质以及向量的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
所以 .
又因为 ，
，
因为 为钝角，所以 ，
即 ，
解得 .
故答案为：AB
【分析】首先以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到 ，再解不等式即可得到答案.
12．【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；共面向量定理
【解析】【解答】对于A：在立方体 中，因为 ， ，所以 . A符合题意；
对于B：在立方体 中， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 . B符合题意；
对于C：依题意可知四边形 是平行四边形，则对角线 与 必然相交. C符合题意；
对于D：
若 四点在同一平面内，由面面平行性质定理可得 ，又 ，所以 ，显然矛盾，从而 四点不在同一平面内. D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】利用正方体的结构特征，再结合中点的性质、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线线相交的方法、四点共面的判断方法，从而找出结论正确的选项。
13．【答案】A,C
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】设与 共线的单位向量为 ，所以 ，因而 ，得到 ．
故 ，而 ，所以 或 ．
故答案为：AC．
【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．
14．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】由向量的加、减法运算法则结合 平行六面体的几何性质计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，∴ ．
∴ ，即 ．
故答案为：
【分析】由向量和数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
16．【答案】-13
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为：-13
【分析】结合向量以及数量积的运算性质代入数值计算出结果即可。
17．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
18．【答案】解：由题图可得 ，①； ，②.
， .
由①②得 ，即 ，
故向量 与向量 、 共面
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【分析】利用向量的加、减法运算法则以及向量共面的性质定理整理即可得出结果。
19．【答案】证明：如图，在 上取点 ，使 ，
又 ，
，又 ，
，
同理， ，
故由 、 、 共面可知，
向量 ， ， 共面
【知识点】共面向量定理
【解析】【分析】根据题意由已知条件结合线线平行的性质定理即可得出线线平行，再由向量共面的性质定理即可得出结果。
20．【答案】（1）解： .
证明如下：
（2）解：若 ，点P在 的内部（不包括边界），
的充分必要条件是： ，且
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】 （1）由题意根据空间向量的加法法则推出向量 使得它用基底{ }表示即可 ；
(2)根据题意设出，则点P在内部的充分必要条件是：且结合平面向量三点共线的结论即可得出结果即可．
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